پارادوکس مونتی هال

مسئله پارادوکس مونتی هال یک مسئله احتمالاتی است که در اوایل دهه ۱۹۷۰ توسط آماردان و ریاضی‌دان مرلین مونتی هال مطرح شد.

این مسئله مربوط است به روشی که یک شرکت کننده باید در پیش بگیرد تا احتمال برنده شدن آن را در مسابقه افزایش دهد.

این مسئله از دل یک برنامه تلوزیونی استخراج شده است که مونتی هال شروع به اجرا و تولید آن به اسم Let's Make a Deal یا بیا معامله کنیم کرد!

مسابقه تلویزیونی بدین صورت برگزار می‌شود که سه تا در وجود دارد که شرکت کننده می‌تواند یکی از این سه تا در را انتخاب کند و فقط داخل یکی از این سه در، جایزه است.

فرض کنید شرکت کننده در شماره 1 را انتخاب می‌کند، دو تا در می‌ماند، شماره 2 و 3.

مجری برنامه یکی از درها را باز می‌کند و اتفاقاً همیشه دری را باز می‌کند که پوچ باشد، سپس از شرکت کننده می‌پرسد که آیا میخواهد انتخابش را تغییر بدهد یا نه؟!

سوالی که پیش می‌آید این است که در استراتژی عوض کردن درها، دری که انتخاب کردیم را عوض کنیم بهتر است یا خیر.

چیزی که به ظاهر پیش می‌آید این است که مثلاً با حذف در شماره 3، در شماره 1 و 2 باقی مانده که در پشت یکی از درها ماشین است و در آن یکی نیست که احتمال برنده شدن ما در اینجا 1/2 است که خیلی اهمیت ندارد چون در هر حالت احتمال برنده شدن 1/2 است. پس تفاوتی بین عوض کردن یا نکردن ما وجود ندارد.

ظاهر قضیه این را بیان می‌کند اما در واقعیت اشتباه است.

به نفع شرکت کننده است که همیشه در را عوض کند، یعنی عوض کردن در، بهترین استراتژی است.

ما در 1 را انتخاب می‌کنیم، در 2 هم مانده است، احتمال حضور ماشین در پشت درِ 1، 1/3 و احتمال حضور ماشین در پشت در 2، 2/3 است.

یعنی اگر در را عوض کنیم شانس برنده شدن 2 برابر می‌شود.

به نظر می‌رسد این غلط و غیر منطقی است، به همین خاطر اسم پارادوکس را انتخاب کردند.

بیایید حالت‌های کلی را بررسی کنیم:

همانطور که مشاهده می‌کنید شرکت کننده‌ای که در انتخاب اول می‌ماند تنها در یکی از سه مورد برنده می شود، در حالی که بازیکنی که تعویض می کند در دو مورد از سه مورد برنده است.

با استفاده از قانون بیز نشان می‌دهیم:

H3 : مجری درب 3 را پوچ می‌کند

Ci :ماشین پشت درب i است

Xi : انتخاب درب 1 توسط شرکت کننده