تعریف یا تجربه در ریاضی

اصولا آموزش مطالب در ریاضی با تعاریف آغاز می شوند. تعاریفی که شاید کاملا انتزاعی به نظر برسند و رابطه ای با تجربه های خارجی تعریف کننده نداشته باشند. همه ما داستان نیوتن و جاذبه و سیب را شنیده ایم. و بسیاری تجربه های مشابه دیگر برای پیشروهای عرصه فیزیک. این نشان می دهد جرقه های ورود به هر مطلبی تجربه های شخصی بوده اند. حال برای بسط آن تجربه و توجیه حالت های دیگر نیاز به تعاریفی داریم. مثلا نیوتن بعد از این اتفاق قوانین سه گانه خود را به مرور ارائه کرده است. قانون دوم به رابطه F=ma اشاره دارد که در واقع مبنای تعریف جرم قرار می گیرد. (نسبت نیرو به شتابی که یک جسم می گیرد) یعنی تعاریف از تجربه ها ساخته می شوند. اما گویی تجربه ها بر مبنای تعاریف در حال اتفاق افتادن هستند که قبلا توسط خالق دیگری ارائه شده اند.

در ریاضی هم از این دست مثال ها کم نداریم. شکی نیست که علاقه به دانستن شیب خط مماس بر تابع منجر به تعریف مشتق توسط نیوتن و لایب نیتز شده است. البته که در مورد نیوتن این موضوع احتمالا از علاقه او به فیزیک نشأت گرفته است. یک مثال دیگر تعریف نقطه بحرانی در موضوع کاربرد مشتق است که کاملا کاربرد اختصار کردن دارد. ریاضیدان ها حوصله نداشته اند بگویند [نقاطی که مشتق در آنها صفر است یا مشتق ناپذیرند] و کلمه بحرانی (فرنگی اش critical) را ساخته اند و به جای آن استفاده می کنند.

• تعاریف شگفت آور

اما بعضی تعاریف انسان را به شگفتی در می آورند! مثل سری فوریه که انسان در می ماند که این تعریف حاصل کدام تجربه بوده است؟ یا بهتر بگویم حاصل چقدر موانست و معاشرت با ریاضی می شود این تعریف؟!

بعضی تعاریف هم هر چقدر بگردیم معادل تجربی در عالم برایش نمی یابیم و در می مانیم که چگونه و با چه درک و فکری تعریف شده اند. مثل اعداد مختلط که انگار در عالم دیگری شامل بر عالم ما موجودند و کسی با عروج از عالم ما به آن عالم، آن را کشف و شهود کرده و حالا برگشته و فهمیده ایم که این اعداد حقیقی که با آنها سرگرمیم زیرمجموعه ای از مجموعه بزرگتری است و اتفاقا سیر و سلوک در اعداد مختلط در نهایت منجر به حل مسائل حل نشده ای در عالم ما می شود. مثل انتگرال هایی در اعداد حقیقی که با قوانینی که بر انتگرال مختلط حل می شوند. قضیه مانده ها در انتگرال مختلط را می گویم که بعضی انتگرال های حقیقی را حل می کند. بگذریم...

• تعاریف زشت

هربار که آموزش موضوعی را با تعریف آن آغاز می کنم با این جمله دانش آموزان مواجه می شوم که کجا بدردمان می خورد این ریاضی لعنتی! (هر چند که هر جوری که شروع کنم این جمله را خواهم شنید!)

مثلا مشتق را با تعریف مشتق می کنم؛ این که سهل است، حد را با تعریف شروع می کردیم در کتاب درسی نظام قبلی! آخ که چه بلبشویی می شد در کلاس، که آقا شما دیگه کی هستی که به این چیزا علاقه داری و ...

می دانید من حس می کنم شروع یک موضوع با تعریف مثل این است که بخواهید یک مسیحی را مسلمان کنید و برای ایجاد انگیزه در او، از مسائل اعتقادی سنگین شروع کنید. باید قبول کنیم که تجربیات یک معتقد واقعی و عالم، در طول زندگی و مطابقت هر روز آن ها با اعتقاداتی که دارد منجر به تثبیت آنها شده و حالا او می تواند اعتقادات خود را براساس تعاریفی پایه گذاری کند. چقدر سختش کردم!

اصلا مگر می شود بیاییم برای دانش آموز سوم دبستان (مثلا!) n ضلعی منتظم را تعریف کنیم و حالا بیاییم بگوییم اگر n مقدار ۳ داشته باشد می شود مثلث متساوی الاضلاع. نمی شود خب... باید بارها و سال ها با مثلث متساوی الاضلاع و مربع و پنج ضلعی منتظم کلنجار رفت و بعد تعریف آن را هضم کرد.

خلاصه که شروع با تعریف چقدر زشت است... انگار با ماشین رفته ایم شمال و در طول مسیر تماما خواب بوده ایم. حظی می بریم از آن، ولی آن کسی که مستمر از پنجره ماشین مناظر را دیده کجا و کسی که در مقصد بیدار شده کجا؟!... اصلا تغییرات آرام فضا و تماشای آن، خود لذت بخش است.

یک سری هم به چی بخونم بزنید ببینید چه خبره!!!!