آشنایی با نسبیت - ۵

جمع سرعت‌ها

شاید شما هم فیلم «انشتین و ادینگتون» را دیده باشید. اوایل فیلم، چنین مکالمه‌ای بین آلبرت انشتین و پسرش هانس که حدوداً ۷-۸ ساله است، صورت می‌گیرد (البته آنچه در ادامه می‌خوانید، کمی با تصورات ما آمیخته شده و دقیقاً چیزی نیست که در فیلم اتفاق می‌افتد! یاد منوچهر نوذری بخیر!):

آلبرت: قایق داره با سرعت خاصی به ساحل نزدیک میشه. اگه من جورابمو مچاله کنم و به سمت ساحل پرت کنم، سرعت جورابم چقدره؟
هانس (با کمی شک): سرعت قایق به سرعت جوراب اضافه میشه؟
آلبرت: آفرین! حالا اگه به جای جوراب، نور فانوس باشه، چی میشه؟ سرعت نور چقدره؟
هانس: باز هم سرعت قایق به سرعت نور اضافه میشه؟
آلبرت: نهههه!
هانس (با تعجب بسیار): نه؟! چرا نه؟!

سؤال اول ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

بیایید ابتدا سؤال اول را بررسی کنیم و ببینیم هانس از کجا فهمید که سرعت قایق به سرعت جوراب اضافه می‌شود.

فرض کنید قایق آلبرت در ۲ متری ساحل قرار دارد و آلبرت جورابش را با سرعت ۱ متر بر ثانیه به سمت ساحل می‌اندازد. قایق ۴ ثانیه بعد به ساحل می‌رسد. پس اگر مختصات فضازمان را در چارچوب قایق رسم کنیم، نقطه T1 موقعیت کنونی قایق و نقطه T2 موقعیت نهایی قایق را نشان می‌دهد (شکل ۱). برای سادگی فرض کنید تمام حرکت‌ها با تندی ثابت انجام می‌شود (هرچند این فرض عملاً درست نیست!). بنابراین با اتصال نقطه T1 به نقطه T2، جهان‌خط ساحل مشخص می‌شود. همچنین چون آلبرت جورابش را با سرعت ۱ متربرثانیه پرتاب کرده است، پس به‌راحتی خط قرمز را به عنوان جهان‌خط جوراب می‌کشیم.

حالا به سراغ هانس می‌رویم. هانس در ساحل ایستاده است. پس جهان‌خط ساحل در نمودار فضازمان او، منطبق بر محور زمان است (شکل ۲). از دید هانس، قایق در لحظه صفرم در ۲ متری ساحل بود. او این نقطه را در نمودار فضازمان خود، با B1 مشخص می‌کند. مسلماً در این لحظه، جوراب هم در همان نقطه قرار دارد (جوراب هنوز در دستان آلبرت است). پس اگر موقعیت نخست جوراب را با S1 نشان دهد، S1 روی B1 می‌افتد. همچنین او می‌بیند که پس از چهار ثانیه، قایق به ساحل می‌رسد. او این نقطه را روی نمودار فضازمان با B2 نشان می‌دهد و با وصل کردن آن به B1، جهان‌خط قایق را مشخص می‌کند. اما جهان‌خط جوراب چه شکلی است؟

هانس برای یافتن جهان‌خط جوراب، باید بتواند موقعیت جوراب را در زمان دیگری مشخص کند. متأسفانه خودش هیچ داده دیگری ندارد. پس دست به دامن پدرش می‌شود.

هانس: بابا! چقدر طول کشید تا تو ببینی جوراب به ساحل رسید؟‌
آلبرت: کف دستمو بو نکرده بودم که تو اینو ازم میپرسی! اصلاً اندازه نگرفتم که چقدر طول کشید! اما خوشبختانه نمودار فضازمان رو دارم! جهان‌خط ساحل، جهان‌خط جوراب رو تقریباً در یک و سه‌دهم ثانیه بعد از پرتاب جوراب قطع کرده. پس تقریباً یک و سه‌دهم ثانیه طول کشیده تا جوراب به ساحل برسه. یا دقیقاً چهارسوم ثانیه.
هانس: اشکالی داره من هم همین زمان رو در نظر بگیرم؟
آلبرت: اگه نسبیت ایتالیایی رو قبول داشته باشی، نُچ! تو اون نسبیت، زمان من متحرک و توی ساکن یک جور میگذره.

بدین ترتیب، هانس نقطه S2 را به‌راحتی روی نمودار فضازمان مشخص می‌کند. این نقطه جایی است که مکان جوراب در لحظه چهارسوم ثانیه صفر می‌شود تا جهان‌خط جوراب با جهان‌خط ساحل برخورد کند. اکنون همه چیز معلوم شد. هانس جهان‌خط جوراب را در نمودار فضازمان خودش دارد و می‌بیند که جوراب در مدت چهارسوم ثانیه، ۲ متر جابه‌جا شده است. پس سرعت جوراب یک و نیم متربرثانیه است. یعنی سرعت جوراب نسبت به ساحل، با مجموع سرعت جوراب نسبت به قایق و سرعت قایق نسبت به ساحل، برابر است.

این تساوی، همان چیزیست که هانس در فیلم به پدرش گفت و پدرش او را تحسین کرد. البته این تساوی پیامد دیگری هم دارد که در فیلم اشاره‌ای به آن نشد، ولی بحث ما را تکمیل می‌کند. ما از قسمت سوم قرار گذاشتیم که راجع به چارچوب‌های لخت حرف بزنیم. یعنی فرض می‌کنیم که قایق با سرعت ثابتی نسبت به ساحل حرکت می‌کند. در این صورت، تغییرات سرعت جوراب نسبت به قایق، دقیقاً با تغییرات سرعت جوراب نسبت به ساحل برابر است (مراقب باشید! تغییرات سرعت را با خود سرعت اشتباه نگیرید). به عنوان مثال، اگر هانس ببیند که سرعت جوراب در هر ثانیه، ۲ متربرثانیه افزایش می‌یابد، آلبرت هم همین نظر را خواهد داشت، چرا که سرعت قایق نسبت به ساحل تغییر نمی‌کند و تساوی بالا در نسبیت ایتالیایی همواره درست است.

سؤال دوم ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

حالا به سراغ سؤال دوم می‌رویم. به نظرتان چرا وقتی آلبرت به جای جوراب، پای نور را وسط کشید، پاسخ هانس را رد کرد؟ کجای استدلال بالا (یا ادعاهای قسمت‌های قبلی) اشتباه بود که داستان نور را متفاوت می‌کند؟ آیا این تفاوت فقط مخصوص نور است یا چیزهای دیگری هم هستند که از تساوی بالا پیروی نمی‌کنند؟

سعی می‌کنیم در قسمت بعد جوابی برای این سؤال‌ها پیدا کنیم ...