آشنایی با نسبیت - ۸

تبدیلات لورنتز

در قسمت‌های قبل دیدیم که تبدیلات گالیله‌ای نمی‌توانند چارچوب‌های لخت را به‌درستی ترجمه کنند، چرا که سرعت نور را تغییر می‌دهند و این موضوع در تضاد با تجربه است.

حال می‌خواهیم تبدیل درست را بیابیم. بگذارید نمودارهای فضازمان را دوباره رسم کنیم:

اگر به شکل‌های ۱ و ۲ نگاه کنید، می‌بینید در هر لحظه:

• الف) ناظر ماشینی می‌گوید فاصله ماشین تا درخت، یک‌سوم فاصله درخت تا نور سمت راست است.
• ب) ناظر درختی می‌گوید فاصله ماشین تا درخت، یک‌دوم فاصله درخت تا نور سمت راست است.

بنابراین، آیا ماشین در هر لحظه، در دو مکان متفاوت قرار دارد؟ شاید شما دوست داشته باشید چنین نتیجه‌ای بگیرید. به هر حال وقتی دیدید سرعت نور به سرعت چشمه نور بستگی ندارد و احتمالاً از تعجب شاخ درآوردید، شاید این یکی چیز عجیب هم درست باشد و ماشین در هر لحظه، در دو مکان متفاوت قرار داشته باشد!! اما بیایید ساده‌تر فکر کنیم تا زیادی درگیر چیزهای عجیب نشویم. بیایید فرض کنیم ما اسیر عقلی هستیم که به ما می‌گوید هیچ چیزی در یک لحظه، در دو جا نیست. در این صورت، تناقض ظاهری بالا را چطور حل کنیم؟

اگر مفهوم «در یک لحظه» برای دو ناظر، متفاوت باشد، آنگاه مشکل‌مان حل می‌شود. یعنی «زمانی» که ناظرِ ماشینی ادعای الف را بر زبان می‌آورد، با «زمانی» که ناظر درختی ادعای ب را بر زبان می‌آورد، یکسان نیست. اگر این طور باشد، هیچ مشکل عقلی بین ادعاهای الف و ب وجود ندارد.

در این صورت آیا می‌توانیم بگوییم چه چیزهایی همزمان‌اند؟ یا به عبارت واضح‌تر، در شکل ۳، به ازای رویداد فرضی A در چارچوب درخت، چه رویدادی در چارچوب ماشین همزمان با A است؟

از شکل ۲ می‌دانیم که در چارچوب ماشین، فاصله ماشین تا درخت، یک‌سوم فاصله درخت تا نور سمت راست است؛ یا ماشین وسط دو باریکهٔ نور است. پس خطی از A عبور می‌دهیم و نقطه برخورد آن با جهان‌خط ماشین و نور سمت چپ را به ترتیب B و D می‌نامیم. حالا A را ثابت می‌گیریم و خط را می‌چرخانیم. این خط را آنقدر می‌چرخانیم تا طول AB با طول BD برابر شود. اگر این شرط تأمین شود، به وضعیتی می‌رسیم که به لحاظ فیزیکی اتفاق می‌افتد. در این وضعیت، فاصله میان ماشین تا هر کدام از باریکه‌های نور یکسان است و چون نور با سرعت ثابتی پیش می‌رود، پس هر دو باریکه این فاصله یکسان را در مدت یکسانی طی می‌کنند. یعنی رویدادهای A و D همزمان‌اند.

با دنبال کردن شکل‌های ۴ تا ۸، مشخص می‌شود که طول AB و BD در شکل ۷ برابر شده‌است. روند تغییرات طول AB و BD نشان می‌دهد که تنها در یک نقطه طول آنها یکسان می‌شود. پس فقط توجه خود را به شکل ۷ معطوف می‌کنیم. خط‌چین سبزی که در شکل ۷ می‌بینید، رویدادهای همزمان با A را در چارچوب ماشین نشان می‌دهد، زیرا روی این خط، ماشین وسط دو باریکه نوری است. خطوط موازی با این خط، خطوط زمان‌ثابت را در چارچوب ماشین نشان می‌دهند (شکل ۹).

بدین ترتیب، مفهوم همزمانی و خطوط زمان‌ثابت را در چارچوب ماشین پیدا کردیم و ارتباط آنها با چارچوب درخت روشن شد (به شکل ۹ دقت کنید). حالا باید ببینیم خطوط مکان‌ثابت کجا می‌افتند. پیدا کردن آنها خیلی ساده است. ما می‌دانیم ناظر ماشینی، مکان ماشین را همواره ثابت می‌بیند. پس جهان‌خط ماشین، یکی از خطوط مکان‌ثابت است. درنتیجه، خطوط مکان‌ثابت خطوطی هستند که به موازات جهان‌خط ماشین رسم شوند (شکل ۱۰).

در گام بعدی باید ببینیم هر سلول چارچوب درخت چه ارتباطی با سلول متناظر با آن در چارچوب ماشین دارد. منظور از سلول، ناحیه‌ای است که بین رویدادها قرار می‌گیرد (فراموش نکنید که رویدادها چیزهای مطلقی هستند). ما سه رویداد O و A و B را در نظر می‌گیریم. از طرفی، اگر چارچوب ماشین به صورت شکل ۲ در نظر بگیریم، رویدادهای A و B و C و D روی یک خط افقی قرار می‌گیرند، زیرا همه آنها همزمان‌اند. در شکل ۱۱ این نقاط را نشان داده‌ایم و برای اینکه حین محاسبات بعدی سردرگم نشویم، آنها را A' و B' و C' و D' نامیده‌ایم.

چون سرعت نور در شکل ۱۱ برابر با یک است، پس همواره طول O'B' با طول A'B' مساوی است و مساحت مثلث O'A'B' از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

از طرفی، مساحت مثلث OAB در شکل ۱۲، برابر با ۶ سانتی‌متر مربع است (ابعاد هر سلول صفحه شطرنجی را ۱ سانتی‌متر در ۱ سانتی‌متر در نظر بگیرید). با توجه به اینکه مساحت مثلث OAB باید با مساحت مثلث O'A'B' برابر باشد، پس طول O'B' برابر با جذر ۱۲ می‌شود (تقریباً ۳/۵ سانتی‌متر).

بدین ترتیب، ناحیه صورتی در شکل ۱۲، به طور یکتا با ناحیه صورتی در شکل ۱۱ متناظر است. یعنی چارچوب درخت را به طور یکتا می‌توانیم به چارچوب ماشین ترجمه کنیم. تبدیلی که مثلث «کشیده‌شده» شکل ۱۲ را به مثلث قائم‌الزاویه شکل ۱۱ تبدیل می‌کند، تبدیل لورَنتز نام دارد. در این تبدیل، برخلاف تبدیل گالیله‌ای، زمان نیز حاضر است و تغییر می‌کند.