آشنایی با نسبیت - ۹

رابطه سرعت‌ها در نسبیت آلمانی

حالا که معلوم شد چارچوب‌های لخت با تبدیلات لورنتز به یکدیگر ترجمه می‌شوند، بد نیست بپرسیم این تبدیلات چه تفاوتی با تبدیلات گالیله دارند؛ چرا وقتی به نور توجه نمی‌کردیم، نسبیت ایتالیایی درست بود؟ برای رسیدن به جواب، بیایید قسمت هفتم را دوباره مرور کنیم. در آنجا گفتیم که جهان‌خط نور در نمودار فضازمان معمولی، تقریباً روی خط افقی می‌افتد. پس به ازای موجوداتی که سرعتشان از سرعت نور خیلی کمتر است و جهان‌خط‌شان به‌راحتی در چارچوب فضازمان معمولی رسم می‌شود، فرقی نمی‌کند که محور افقی مکان (x) را در نظر بگیریم یا جهان‌خط نور را؛ در هر صورت، موجودات معمولی با تقریب خوبی متوجه جهان‌خط نور نمی‌شوند. به عبارتی خلاصه، موجوداتی که سرعتشان از سرعت نور خیلی کمتر است، با تقریب خوبی در قواعد نسبیت ایتالیایی صدق می‌کنند. یعنی نسبیت ایتالیایی حالت خاصی از نسبیت آلمانی است.

طبق آنچه در قسمت پنجم گفتیم، سرعت جسم در چارچوب لخت به سرعت چارچوب اضافه می‌شود تا سرعت جسم در چارچوب لخت دیگر مشخص شود. این قاعده از نسبیت ایتالیایی نتیجه شد. از طرفی، در انتهای قسمت پنجم اشاره کردیم که انشتین این قاعده را برای نور درست نمی‌داند. الآن فهمیدیم که نه تنها نور، بلکه هر چیزی که سرعتش حول‌وحوش سرعت نور باشد، در نسبیت ایتالیایی صدق نمی‌کند. بر این اساس، تمام چیزهایی که سرعتشان به سرعت نور نزدیک است، در رابطه ایتالیایی مجموع سرعت‌ها صدق نمی‌کنند.

برای یافتن معادلهٔ آلمانیِ مجموع سرعت‌ها، مثال ساده‌ای را مطرح می‌کنیم. فرض کنید توپی در چارچوب ماشین با سرعت c/2 پیش می‌رود و خود ماشین هم با سرعت c/2 نسبت به درخت حرکت می‌کند. در این صورت، سرعت توپ در چارچوب درخت چقدر است؟

نمودار فضازمان در چارچوب ماشین به صورت شکل ۱ است.

همچنین شکل ۲ نمودار فضازمان را در چارچوب درخت نشان می‌دهد. طبق آنچه در قسمت هشتم گفتیم، خط‌چین سبز یکی از خطوط زمان‌ثابت از دید ناظر ماشینی است. حال اگر بتوانیم جهان‌خط توپ را در چارچوب درخت مشخص کنیم، می‌توانیم سرعت توپ را در چارچوب درخت به‌دست آوریم.

با توجه به شکل ۱، ناظر ماشینی در هر لحظه می‌بیند که توپ وسط ماشین و نور سمت راست است. بنابراین در شکل ۳، خط زرد (که معرف جهان‌خط توپ است) را طوری رسم می‌کنیم که از نقطه A بگذرد. توجه کنید که روی خط‌چین سبز، نقطه A تنها نقطه‌ای است که فاصله‌اش تا ماشین و نور سمت راست به یک اندازه است. یعنی به ازای زمانِ ثابتی که با خط‌چین سبز مشخص شده‌است، طول‌های AB و AC با یکدیگر برابرند.

بدین ترتیب، جهان‌خط توپ مشخص می‌شود و سرعت توپ را نشان می‌دهد. سرعت توپ در چارچوب درخت 0.8 است. البته چون محور زمان را با c مقیاس‌بندی کرده‌ایم، باید بگوییم سرعت توپ در چارچوب درخت 0.8c است. این عدد، نه مجموع c/2 و c/2 است و نه اختلاف آنها! ظاهراً ارتباط پیچیده‌تری میان سرعت اجسام در چارچوب‌های لخت وجود دارد. این ارتباط را می‌توان با استفاده از شیب و معادله خطوط در حالت عمومی یافت، اما چون از ابتدا قصد نداشتیم که فرمولی را نشان دهیم، با این فرمول نیز کاری نداریم.

علی‌رغم نداشتن فرمول، باز هم قادریم نکته مهمی را درباره تغییرات سرعت بفهمیم. برای رسیدن به آن نکته، بیایید مسأله بالا را به ازای چند سرعت دیگر نیز بررسی کنیم.

مثلاً فرض کنید سرعت ماشین نسبت به درخت 0.5c و سرعت توپ نسبت به ماشین 0.2c باشد (شکل ۴). در این صورت نمودار فضازمان شکل ۵ را داریم:

یعنی سرعت توپ در چارچوب درخت حدود 0.64c است.

یا اگر سرعت توپ نسبت به ماشین 0.8c باشد (شکل ۶)، نمودار فضازمان به صورت شکل ۷ درمی‌آید. یعنی سرعت توپ در چارچوب درخت حدود 0.92c است.

یا اگر سرعت توپ نسبت به ماشین 0.95c باشد (شکل ۸)، نمودار فضازمان به صورت شکل ۹ خواهد بود. یعنی سرعت توپ در چارچوب درخت حدود 0.96c است.

این اعداد را در جدول ۱ خلاصه می‌کنیم.

به‌علاوه تغییرات سرعت را نیز در جدول ۲ می‌آوریم.

همان طور که می‌بینید، هر چه سرعت توپ در چارچوب ماشین به سرعت نور نزدیک‌تر می‌شود، سرعت آن در چارچوب درخت سخت‌تر تغییر می‌کند. مثلاً اگر سرعت توپ در چارچوب ماشین از 0.2c به 0.5c برود، ناظر درختی می‌گوید که سرعت توپ 0.16c تغییر کرده‌است؛ حال آنکه اگر از 0.5c به 0.8c برود، ناظر درختی می‌گوید که سرعت توپ 0.12c تغییر کرده‌است. یعنی به ازای سرعت‌های بالاتر در چارچوب ماشین، تغییرات سرعت در چارچوب درخت کندتر می‌شود. این نتیجه با نسبیت ایتالیایی در تضاد است. در نسبیت ایتالیایی، شتاب جسم در چارچوب لخت اول با شتاب جسم در چارچوب لخت دوم، تفاوتی نداشت. به‌علاوه، هیچ قاعده‌ای نبود که جسم را از شتاب نامتناهی منع کند؛ اگر شتاب جسم به مدت نامتناهی حفظ می‌شد، سرعت آن نیز نامتناهی می‌شد. اما، در نسبیت آلمانی دیده می‌شود که هرچه سرعت جسم به سرعت نور نزدیک‌تر می‌شود، شتاب جسم در چارچوب دیگر کمتر می‌شود. اگر سرعت جسم در چارچوب ماشین خیلی‌خیلی به سرعت نور نزدیک باشد، شتاب جسم در چارچوب درخت نزدیک به صفر می‌شود. یعنی سرعت جسم در چارچوب درخت تقریباً برابر با سرعت نور می‌شود و همین مقدار باقی می‌ماند.

بنابراین سرعت نور، حد نهایی سرعت است و هیچ چارچوبی نمی‌توان یافت که سرعت جسم را بیش از سرعت نور اندازه بگیرد.

در قسمت‌های بعدی دوباره به این قاعده مهم برمی‌گردیم و بیشتر درباره‌اش حرف می‌زنیم.