چرا فاکتوریل صفر می‌شود یک؟

فاکتوریل صفر برابر یک است
فاکتوریل صفر برابر یک است


در ریاضیات خوانده‌ایم که !0 به صورت قراردادی برابر 1 است. اما چرا؟

این سوال را در Quora دیدم و مطلبی که در ادامه می‌خوانید بازنشر یکی از بهترین پاسخ‌‌هاست.


اول ببینیم فاکتوریل چیست؟

ویکی‌پدیای فارسی فاکتوریل را اینگونه تعریف می‌کند:

فاکتوریل (به فرانسوی: Factorielle) هر عدد طبیعی در ریاضیات از حاصل‌ضرب آن عدد در تمام اعداد طبیعی کوچک‌تر از آن بدون صفر به دست می‌آید. فاکتوریل عددی مانند n را !n می‌نویسند و «اِن فاکتوریل» می‌خوانند. همچنین طبق قرارداد، فاکتوریل صفر همیشه برابر با یک است.
فرمول سادۀ محاسبۀ فاکتوریل
فرمول سادۀ محاسبۀ فاکتوریل


فاکتوریل اعداد 0 تا 5
فاکتوریل اعداد 0 تا 5

به صورت بازگشتی هم می‌توان فاکتوریل را فرموله کرد:

فرمول بازگشتی فاکتوریل
فرمول بازگشتی فاکتوریل

از تعریف بازگشتی، فرمول جالبی به دست می‌آید:

فرمول جدید محاسبۀ فاکتوریل
فرمول جدید محاسبۀ فاکتوریل

خب حالا بیایید فاکتوریلِ چند عدد را با فرمول جدید محاسبه کنیم:

فاکتوریل اعداد 1 تا 3 در فرمول جدید
فاکتوریل اعداد 1 تا 3 در فرمول جدید

و اکنون فاکتوریل 0:

مقدار فاکتوریل 0 با فرمول جدید
مقدار فاکتوریل 0 با فرمول جدید

به همین راحتی اثبات شد که فاکتوریل صفر برابر است با یک. 1=!0

روش‌های دیگری هم برای اثبات وجود دارد ولی این یکی ساده‌تر است .


حالا یک سوال دیگر؛ اصلاً چه نیازی به !0 داریم؟

!0 کاربردهای فراوانی دارد. مثلاً در بحث ترکیبات ریاضی، فرمول زیر را داریم:

فرمول ترکیب در ریاضی
فرمول ترکیب در ریاضی

حالا با فرض n=k فرمول به این شکل تغییر می‌کند:

اگر k=n باشد
اگر k=n باشد

اینجاست که فاکتوریل صفر به درد می‌خورد. فاکتوریل صفر کاربردهای دیگری هم دارد که از حوصلۀ این مقاله خارج است.