ریاضیات تشخیص (مقدمه ای بر قانون بیز)

فرض کنید پزشک هستید، و بیماری با مجموعه ای از عوارض(Symptoms) نزد شما می آید. برای مثال، فرض کنید صورت بیمار پر از لکه های قرمز کوچک است. از آنجه که شما پزشک هستید می دانید دو بیماری هستند که می توانند موجب بروز چنین لکه هایی شوند:

آبله (Smallpox): بیماری بسیار خطرناک که می تواند به راحتی بیمار را از پا در آورد، و به راحتی درمان نمی شود
آبله مرغان (Chickenpox): بیماری که آنقدر خطرناک نیست و به راحتی درمان می شود

اما چطور می توانید با استفاده از عوارض تشخیص دهید بیمار به کدام بیماری دچار است؟ از آنجاکه پزشک هستید می دانید احتمال بروز این عوارض به شرط آبله ۰.۹۹ و احتمال بروز عوارض به شرط آبله مرغان ۰.۸ است. در نتیجه، آیا تشخیص شما باید آبله باشد؟ می توانید اطلاعات فوق را به صورت زیر به زبان ریاضیات نشان دهید:

در عبارات فوق علامت | به معنای «به شرط»، و p به معنای احتمال است. در نتیجه، (آبله | جوش های قرمز)p خوانده می شود «احتمال جوش های قرمز به شرط اینکه بیمار مبتلا به آبله باشد». اما اگر با استفاده از اطلاعات فوق نتیجه بگیریم بیمار مبتلا به آبله است تشخیص درستی داده ایم؟ پاسخ این سوال خیر است. در این محاسبات پارامتر بسیار مهمی وجود دارد که مد نظر قرار نگرفته است. این پارامتر تجربه قبلی ما در رابطه با میزان شیوع این بیماری ها در جامعه است. در واقع بیماری آبله بسیار نادر، و بیماری آبله مرغان بسیار رایج است. می توانیم این تجربه را با استفاده از یک عدد نشان دهیم. فرض کنید میزان شیوع آبله ۰.۰۰۱، و میزان شیوع آبله مرغان ۰.۱ است. حال می توانیم از این اطلاعات در تشخیص خود استفاده کنیم. با ضرب این اطلاعات در موارد قبلی به اعداد زیر خواهیم رسید:

با در نظر گرفتن تجربه قبلی مان در رابطه با میزان شیوع بیماری ها تشخیص آبله مرغان منطقی تر از آبله به نظر می رسد. در نتیجه می توانیم بگوییم بیمار ما دچار آبله مرغان است و جای نگرانی چندانی نیست.

آنچه با هم بررسی کردیم نمونه ای از قانون بیز (Bayes’ Theorem) است. قانون بیز یکی از قوانین بسیار پرکاربرد احتمال است که با آن می توانید تجربه قبلی خود را در محاسبه احتمالات دخیل کنید. در این قانون به تجربه قبلی ما اصطلاحا احتمال پیشین (Prior Probability)، به احتمال بیماری های مختلف اصطلاحا درست نمایی (Likelihood)، و به احتمال نهایی هر بیماری احتمال پسین (Posterior Probability) می گویند.

در واقع این احتمال پیشین، یا تجربه یک پزشک، یا مهندس است که در تشخیص درست بیماری یا مشکل به کمک وی می آید. با گذشت زمان و کسب تجربه احتمال پیشین مشکلات مختلف در ذهن ما شکل می گیرد و در انجام کارها ما را یاری می کند.

منبع: Bayes’ rule: A tutorial introduction to Bayesian analysis اثر جیمز استون.