به بهانه مسئله (۲)

بنیامین خان‌زاده، دانشجوی کارشناسی ریاضی دانشگاه شریف

آیا حل هر مسئله‌ای ارزشمند است؟

آیا حل هر سوالی و به هر قیمتی، حتی با استفاده از راه‌حل‌های طولانی و پرکار، ارزشمند است؟

مثلاً اگر یک سوال را با حالت‌بندی و بررسی تک‌تک حالات حل کنیم، آیا این روش برای ما ارزشمند است؟

حال اگر بتوانیم قاعده‌ای کلی بیان کنیم که با آن بتوان هر سوالی از آن نوع را حل کرد، ارزش آن چگونه تغییر می‌کند؟

 می‌توان این پرسش را گسترده‌تر کرد: آیا راه‌حل‌های کوتاه و سریع الزاماً بهترین راه‌حل‌ها هستند؟

چه چیزی باعث می‌شود بعضی راه‌حل‌ها مبتکرانه و بعضی دیگر صرفاً پرکاری تلقی شوند؟

علت مطلوبیت یا نامطلوبیت یک راه‌حل چیست؟

در کتاب ریاضیات چیست؟ می‌خوانیم:

«تا همین اواخر، اثبات حدس گولدباخ کاملاً دست‌نیافتنی به نظر می‌رسید. اما امروز، راه‌حل این مسئله دیگر دور از دسترس نیست. در سال ۱۹۳۱، اشنیرلمان، ریاضیدان روس جوان و گمنام، موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمتغیره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد که هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰ عدد اول نمایش داد. گرچه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات حدس گولدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.

 بعداً وینوگرادوف، با استفاده از روش‌های هاردی و لیتلوود و همکاری رامانوچان، تعداد اعداد اول مورد نیاز را از ۳۰۰۰۰۰ به ۴ کاهش داد. این نتیجه به حد مطلوب در حدس گولدباخ بسیار نزدیک‌تر است، ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهم‌تر از اختلاف میان ۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف تنها برای اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» برقرار است؛ به بیان دقیق‌تر، او نشان داد که عدد صحیحی  وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح  را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴ عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف غیرمستقیم و غیرسازنده است و راهی برای تعیین  به ما نمی‌دهد، برخلاف اثبات اشنیرلمان.»

این موضوع را می‌توان در حوزه‌های دیگر نیز بررسی کرد:

 • در فیزیک: آیا ارائه یک تئوری پیچیده که جهان را به طور کامل توضیح می‌دهد ارزشمند است، یا یک تئوری ساده با دامنه محدودتر و جواب‌های محدودتر؟

 • در دانشگاه: آیا محتوای دروس و چارت درسی باید به اندازه‌ای پیچیده باشد که دانشجو در فهم مطالب دچار سختی شود و از کشف تدریجی علم لذت ببرد، یا اینکه باید ساده و قابل فهم برای همه باشد؟ چرا سنت‌های سخت‌گیرانه در ریاضیات می‌تواند ثمرات مثبت داشته باشد؟ چرا تربیت نکردن یک تکنسین سطحی، بهتر از تربیت تکنسینی است که سریع اما بدون درک عمیق، ایده‌ها را به کار می‌گیرد؟

 • در فلسفه: آیا نگاه صرفاً تکنیکال نشانه سادگی و کارآمدی است یا نشانه ساده‌بینی و محدودیت تفکر؟

هدف از این یادداشت، حرکتی به سمت پرسش‌های دقیق‌تر و صحیح‌تر است؛ چراکه پرسش خوب نیمی از دانش است. پرسش‌ها و دیدگاه‌های مطرح شده در این متن می‌توانند، و بلکه نیازمند آن هستند که مورد نقد  یا توسعه قرار بگیرند. شما می‌توانید با ثبت و ارسال نظرات خود در این امر مشارکت نمایید.