https://virgool.io/feed/@Tjooybar آموزش ریاضی پایه دوازدهم برای رشته های ریاضی، تجربی و انسانی fa 2026-06-12 07:43:30 https://files.virgool.io/upload/users/154850/avatar/fdHFve.png?height=120&width=120 https://virgool.io/@Tjooybar https://virgool.io/@Tjooybar/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%86-%DA%AF%D9%88%DB%8C%D8%A7-yc5t8groibag این مطلب مخصوص دانش آموزان پایه دوازدهم انسانی ( کتاب ریاضی و آمار ۳ - فصل سوم الگوهای غیر خطی درس دوم) می باشد در ابتدا مبحث توان گویا را آموزش می دهیم و در ادامه ۲۰ سوال به عنوان نمونه تستهای نکته دار این فصل را قرار داده ایم. دانش آموزان عزیز می توانند به کمک این تست ها علاوه بر یادگیری خود ارزیابی نیز داشته باشند. تدریس فصل در قالب ویدپو در پست قرار داده شده است. علاوه بر این در پست بعدی حل تست ها در قالب ویدئو نشان داده شده است.توان گویادر مطالب آموخته شده قبل با مفهوم توان های صحیح اعداد و نحوه ریشه گیری دوم وسوم آشنا شده اید در این قسمت ضمن یادآوری مطالب فوق با ریشه n ام و توان گویا آشنا می شویم مسائلی را مطرح می کنیم که در آن به توان گویا نیاز باشد. به عنوان مثال اگر شخصی ده میلیون تومان با سود سالیانه بیست درصد در بانک سرمایه گذاری کند سرمایه او از فرمول زیر به دست می آید:فرمول رشد سرمایه (برای ۱۰ میلیون تومان سرمایه اولیه و رشد ۲۰ درصد سالیانه) که در آن t زمان برحسب سال می باشد، مثلا بعد از گذشت یکسال سرمایه او دوازده میلیون وبعد از گذشت دوسال سرمایه او چهارده میلیون وچهارصد هزار تومان خواهد شد. اگر این شخص بخواهد برای مدت کمتر از یکسال برای مثال ۶ ماه یا ۲۰۰ روز محاسبه کند چگونه می تواند این کار را انجام دهد؟ به عنوان مثال دیگر اگر جرم اولیه نوعی باکتری c گرم باشد وهر ساعت جرم باکتری دوبرابر شود جرم باکتری بعد از t ساعت از فرمول زیر بدست می آید:فرمول کلی روشد نمایی باکتری هابعد از ۳ ساعت جرم باکتری ۸ برابر می گردد حال اگر ما بخواهیم جرم باکتری بعد از ۴۵ دقیقه محاسبه کنیم چگونه باید محاسبه کنیم؟ مثال هایی از این قبیل اهمیت توان گویا را نشان می دهد.در این قسمت ابتدا با ریشه n ام آشنا می شویم. ریشه nام زوج برای اعداد مثبت تعریف می شود. اگر a عدد منفی باشد ریشه nام زوج تعریف نمی شود. اگر a عددحقیقی مثبت باشد. ریشه های دوم عدد a برابر است با:به عبارت دیگر ، ریشه های دوم عدد a همان ریشه های معادله درجه دوم:برای مثال ریشه های دوم عدد ۴۹ از معادله ی زیر بدست می آید:پس ۷ و ۷- ریشه های دوم عدد ۴۹ هستند. . ریشه n ام فرد برای هر عدد حقیقی تعریف می شود به عنوان مثال ریشه پنجم عدد ۳۲- همان جواب معادله :از آنجا که ۳۲- برابر ۲- به توان ۵ است، ریشه پنجم ۳۲- برابر ۲- می شود. اصولا اگر توان یک عدد با فرجه ی رادیکان برابر باشد آنگاه: در واقع در صورتی که n زوج باشد برابر قدرمطلق a می شود و در صورتی که n فرد باشد خود a می شود. همچنین برای هر عدد طبیعی n (بزرگتر از ۲)، ریشه ی n ام a (در صورتی که a عدد مثبت باشد) برابر است با: تبدیل ریشه n ام به توان گویادر واقع رادیکال به فرجه ی n هم توان یک nام است. فرمول بالا در حالت کلی به شکل زیر است:در ویدئوی زیر به طور کاملتر موضوع توان گویا آموزش داده شده است. همچنین مثال های متنوعی از این مبحث حل شده است که می توانید مشاهده کنید: https://www.aparat.com/v/Hid7f توابع نمایی اگر a یک عدد حقیقی مثبت و مخالف یک باشد تابع زیر را تابع نمایی می نامیم:دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی و برد آن اعداد حقیقی مثبت است. اگر a>1 تابع صعودی است یعنی با افزایش x ، مقدار y افزایش می یابد و برای a بین صفر و یک باشد تابع نزولی است یعنی وقتی x بزرگ می شود مقدار y کم می شود. در شکل های زیر نمودار توابع نمایی به ازای مقادیر مختلف a را مشاهده می کنید.نمودار تابع نمایی به ازا مقداری مختلف aرشد و زوال تابع نمایی معادله کلی رشد نمایی به صورت زیر است، که در آن (f(t بیانگر مقدار نهایی، c بیانگر مقدار اولیه و r بیانگر میزان رشد (تغییرات بر حسب اعشار ) و t بیانگر زمان است.فرمول کلی رشد نماییبه عنوان مثال اگر شخصی مبلغ ده میلیون تومان با سود سالیانه پانزده درصد سرمایه گذاری کند میزان سرمایه او بعد از t سال از فرمول زیر بدست می آید:مثلا بعد از دو سال سرمایه او برابر می شود با:معادله کلی زوال نمایی نیز به فرم زیر است، که در آن f(t) بیانگر مقدار نهایی ، c بیانگر مقدار اولیه،r بیانگر میزان نزول (بر حسب اعشار) و t بیانگر زمان است.فرمول کلی زوال نماییبه عنوان مثال اگر جمعیت کشوری 20000000 نفر اگر رشد جمعیت این کشور بانرخ یک درصد در حال کاهش باشد جمعیت بعد از 10 سال برابربا:در ویدئوی زیر توابع نمایی (رشد و زوال نمایی) آموزش داده شده است. همچنین مثال های متنوعی از علوم اقتصاد، زیست شناسی و... حل شده است. https://www.aparat.com/v/1HuU2 از آنجا که مخاطب اصلی این ویدئو دانش آموزان پایه دوازدهم انسانی می باشند، نمونه ای از تست های نکته دار و مشابه کنکور در ادامه برای شما قرار می دهیم. دانش آموزان عزیز سعی نمایند به عنوان یک خودآزمایی به سوالات پاسخ دهند. در پایان بعد از زدن دکمه submit می توانید با زدن دکمه view score نتیجه را مشاهده نمایید. همچنین در پست بعدی پاسخ کامل (در قالب ویدئو) قابل مشاهده است. https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfnDuRgAY0kBeIwGSTQ1YAr2gi5NaOc_zZxcy0IuwJPxmkijg/viewform?usp=sf_link آموزش ریاضی آموزش ریاضی Sun, 29 Mar 2020 17:12:18 +0430 https://virgool.io/@Tjooybar/%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%A8%D8%B1%D8%AF-%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82-z5yb8u6nkvmb این مطلب در اصل برای دانش آموزان سال دوازدهم رشته ریاضی نوشته شده است اما سایر دانش آموزان و دانش پژوهان نیز می توانند با مطالعه ی مقاله و مشاهده ویدپو های آموزشی با کاربرد مشتق در زمینه های مختلف آشنا شوند. در فصل چهارم کتاب حسابان ۲ با مفهوم مشتق و روش های مشتق گیری آشنا شدیم.حال در ادامه در فصل پنج با بعضی از کاربردهای مشتق آشنا می شویم. در واقع پی می بریم که چگونه مشتق در حل مسائل علوم مختلف نظیر ریاضی، فیزیک، علوم اقتصادی و برنامه ریزی ها طراحی های علمی نقش دارد.در علوم مختلف به تناوب با مسائلی رو به رو می شویم که علاقه مندیم حداکثر نمودن یا حداقل نمودن متغیر مورد هدفمان به نتیجه مطلوب دست پیدا کنیم. به عنوان یک مثال ساده، ورقه مقوایی مربع شکل داریم می خواهیم از چهار گوشه ی آن چهار مربع هم اندازه ببریم و ضلع مربع گوشه ها را تا بزنیم تا جعبه دربازی مثل جعبه شیرینی یا جعبه کفش به طور که بیشترین گنجایش را داشته باشد یا برای محافظت از تیرهای چراغ برق در بیابان آن ها را با کابل هایی به زمین می بندیم سوال پیش رو این است که چطور امکان پذیر است که با کمترین کابل بهترین استحکام را داشته باشد. یا در مواقعی نیاز به رسم تقریبی معادلاتی داریم که در مسائل با آنها رو به رو هستیم در حالی که حل مستقیم این معادلات بسیار دشوار است یا با شکل آنها به قدر کافی آشنا نیستیم. همه این موارد در واقع کاربرد های اصلی مشتق در علوم مختلف می باشد.در ادامه با برخی کاربردهای مشتق آشنا می شویم:۱) نقاط بحرانی و اکسترمم های تابعبه نقاطی از دامنه تابع (به جز نقطه ابتدا و انتها) که مشتق در آنها تعریف نشده یا برابر صفر باشد، نقاط بحرانی می گوییم. ماکزیمم ها و مینیمم های نسبی یک تابع در نقاط بحرانی ظاهر می شوند و این مسئله اهمیت این نقاط را افزایش داده است. اگر بازه ی بازی یافت شود که نقطه ای از این بازه عرضش از عرض بقیه نقاط این بازه بزرگتر یا مساوی باشد این نقطه ماکزیمم نسبی است واگر کوچکتر یا مساوی بقیه نقاط این همسایگی باشد مینیمم نسبی نام دارد. به مجموعه نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی موجود در یک تابع اکسترمم های نسبی تابع گفته می شود. مشابه همین مسئله، در صورتی که عرض نقطه ای در تابع از تمام نقاط موجود در دامنه تابع بیشتر باشد، ماکزیمم مطلق نامیده می شود. و بالعکس به نقطه ای کمترین عرض را در دامنه داشته باشد مینیمم مطلق می گوییم. به مجموعه نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق، اکسترمم مطلق گفته می شود.در ویدئو زیر روش بدست آوردن نقاط بحرانی و اکسترمم های تابع نشان داده شده است. همچنین مثالی متنوعی مشابه مثال های کتاب را حل کرده ایم: https://www.aparat.com/v/MRFt9 ۲) بهینه سازییکی از موارد کاربرد اکسترمم های مطلق استفاده از آن در مسائل بهینه سازی است در مسائل بهینه سازی مثلا کمیتی مانند سطح، حجم، طول و..... را می خواهیم ماکزیمم یا مینیمم کنیم یا سود حاصل از یک سرمایه گذاری را ماکزیمم نماییم. برای منظور مراحل زیر را باید انجام دهیم: الف)‌ فهم مسئله: در مرحله اول می بایست به طور کامل شرایط مسئله را بررسی کنیم. برای این کار شاید لازم باشد شکل رسم کنیم یا معادلات موجود را مشخص کنیم. در مسائل بهینه سازی دو عامل از اهمیت بالایی برخوردار هستند. اول هدف مسئله یا همان خواسته اصلی ما می باشد. مثلا می خواهیم حجم استوانه ای را ماکزیمم کنیم یا طول مسیری را حداقل نماییم. و دوم متغیر اصلی مسئله می باشد. درواقع آنچه تغییر می دهیم تا به ما در رسیدن به هدف اصلی کمک کند. تشخیص این دو عامل در ابتدای کار بسیار مهم استب) ایجاد معادله ی تک متغیره: در مرحله دوم باید معادله ای بر اساس متغییر های اصلی ایجاد می کنیم. برای این کار می بایست به کمک معادلات موجود، روابط میان متغیرها را مشخص کرده و همه آنها را بر اساس متغیر اصلی بدست آوریم. در نتیجه یک تابع بر اساس متغیر اصلی حاصل می شود. پ) مشخص کردن اکسترمم مطلق معادله ی اصلی: در مرحله نهایی اکسترمم مطلق تابع اصلی (براساس هدف مسئله مشخص می شود به دنبال مینیمم مطلق هستیم یا ماکزیمم مطلق) را به کمک مشتق گیری از تابع بدست می آوریم. فرایند حل مسائل بهینه سازیبرای درک بهتر توجه شما را به ویدئو آموزشی زیر جلب می کنم: https://www.aparat.com/v/6i0Gh ۳) تعیین نزولی یا صعودی بودن تابع:یکی از کاربرد های مشتق مشخص کردن صعودی یا نزولی بودن تابع است. برای بررسی جهت تغییرات و تعیین نقاط اکسترمم نسبی یک تابع از آزمون اول مشتق استفاده می کنیم. بدین منظور از معادله تابع مشتق گرفته تعیین علامت می کنیم در فاصله ای که مشتق مثبت باشد تابع صعودی است در فاصله ای که مشتق منفی باشد تابع نزولی است در فاصله ای که مشتق صفر باشد. تابع ثابت است اگر مشتق تابعی به ازای مقدار معینی تغییر علامت دهد تابع به ازای آن مقدار ماکزیمم یا مینیمم است اگر این تغییر علامت از مثبت به منفی باشد آن نقطه ماکزیمم تابع است واگر از منفی به مثبت باشد آن نقطه مینیمم تابع است و اگر تغییر علامت ندهد اکسترمم محسوب نمی شود. برای فهم بهتر این مطلب توجه شما را به ویدئو آموزشی زیر جلب می کنم: https://www.aparat.com/v/MA1hi ۴) جهت تقعر و نقطه عطف:‍اگر گودی یک منحنی به طرف بالا باشد می گوییم تقعر آن منحنی به طرف بالاست. و اگر گودی یک منحنی به طرف پایین باشد می گوییم تقعر منحنی به طرف پایین است. نقطه ای از منحنی که درآن تقعر عوض می شود به شرط آنکه خط مماس داشته باشد، نقطه عطف نامیده می شود. در عمل برای بررسی جهت تقعر و نقطه ی عطف یک منحنی از آزمون دوم مشتق استفاده می کنیم. برای این منظور از معادله تابع مشتق دوم گرفته و تعیین علامت می کنیم. در فاصله ای که مشتق دوم منفی باشد تقعر به طرف پایین است در فاصله ای که مشتق دوم مثبت باشد تقعر منحنی به طرف بالاست اگر مشتق دوم به ازای مقدار معینی تغییر علامت دهد به شرط آنکه تابع در آن نقطه خط مماس داشته باشد نقطه عطف منحنی است. برای آموزش بهتر می توانید ویدئو زیر را مشاهده کنید: https://www.aparat.com/v/3tg0U ۵) رسم نمودار تابع:از اطلاعاتی که در قسمت های قبل کسب کردیم، به منظور رسم نمودار یک تابع استفاده می کنیم. برای رسم نمودار یک تابع معمولا اعمال زیر را انجام می دهیم:الف) دامنه تابع را تعیین می کنیم ب) در صورت داشتن مجانب، مجانب های تابع را می یابیمج) نقاط تلاقی تابع را با محورهای مختصات در صورت امکان تعیین می کنیمد) مشتق تابع را گرفته نقاط بحرانی و نقاط اکسترمم را در صورت وجود تعیین می کنیمه) مشتق دوم گرفته جهت تقعر و نقطه عطف تابع را در صورت وجود تعیین می کنیمو) جدول جهت تغییرات تابع را تشکیل می دهیم وبا استفاده از جدول نمودار تابع را رسم می کنیم آموزش کامل این مبحث به همراه مثال های متنوع در ویدئوی زیر قابل مشاهده است: https://www.aparat.com/v/7KJfF مدرس: تیمور جویبار آموزش ریاضی آموزش ریاضی Thu, 26 Mar 2020 02:22:34 +0430