https://virgool.io/feed/@mohhamadtahmasbi826 علاقه‌مند به ریاضی، منطق، فلسفه، ادبیات... گاهی می‌نویسم، گاهی می‌سرایم... fa 2026-06-17 11:08:51 https://files.virgool.io/upload/users/199023/avatar/HZTAzN.jpeg?height=120&width=120 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA-%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%88%D9%86%D9%87-%DA%86%DB%8C%D8%B3%D8%AA-vf2zutwpxtwr وقتی در دوره کارشناسی ارشد، با شوق بسیاری وارد دنیای منطق ریاضی شدم، یکی از شاخه‌های آن، یعنی ریاضیات وارونه یا همان ریاضیات معکوس، که ترجمه reverse mathematics است، بیش از سایر حوزه‌های منطق توجه مرا به خود جلب کرد. برای همین، تصمیم گرفتم تا پایان‌نامه‌ام، مرتبط با ریاضیات وارونه باشد؛ و خوشبختانه همه چیز همان‌طور که می‌خواستم پیش رفت، و «ریاضیات وارونه در حساب» شد عنوان پایان‌نامه‌‌ام. تحقیقات مربوطه را انجام دادم، متنِ پایان‌نامه را نوشتم و در شهریورماه ۱۴۰۱ در دانشگاه تربیت مدرس از آن دفاع کردم؛ می‌توانی با جست‌وجوی عنوان پایان‌نامه در اینترنت، به جلسه ارائه پایان‌نامه دسترسی پیدا کنی، و از طریق کتاب‌خانه دانشگاه، به متن آن. اما در این نامه، قصد دارم تا داستان آشناییم را با ریاضیات وارونه برایت روایت کنم، و نیز ریاضیات وارونه را با زبانی ساده به تو معرفی کنم، تا بدانی که ریاضیات وارونه چیست و چه می‌خواهد. سعی کرده‌ام همه چیز را ساده بیان کنم و تا حد امکان از نوشتن مطالبی که نیازمند مقدماتی پیشرفته است بپرهیزم. گرچه توصیه می‌کنم پیش از مطالعه ادامه این نامه، نامه‌ی «فرآیند اثبات منطقی و قضیه ناتمامیت گودل»، و نیز نامه‌ی «زبان‌های صوری، نظریه صدق تارسکی و قضیه تمامیت گودل» را بخوانی.داستان از آنجا شروع شد که از جایی به بعد، پرسشی منطقی مثل خوره به جانم افتاده بود! هر موقع قضیه‌ای پیش رویم اثبات می‌شد، بلافاصله می‌پرسیدم آیا استفاده از این فرض برای اثباتِ حکم ضروری است؟ باید حتما از این فرض استفاده کنیم تا حکم را اثبات کنیم؟ نمی‌شود از این فرض استفاده نکنیم و حکم را اثبات کنیم؟! این پرسش‌ها را آنقدر از استادم پرسیدم تا اینکه گفت: «تو که اینقدر به اینگونه پرسش‌ها علاقه داری، خوب است بدانی شاخه‌ای از منطق ریاضی وجود دارد که همین پرسش‌ها را بررسی می‌کند؛ نام آن شاخه ریاضیات وارونه است».تصور کن کسی برای تو اثبات کند که «خدا وجود دارد» و در اثبات خود، از جمله «جهان منظم است» استفاده کند. همین‌طور فرض کن اثبات او هیچ ایراد منطقی نداشته باشد.همین‌جا، بلافاصله پرسشی منطقی خودنمایی می‌کند:آیا برای اثبات جمله «خدا وجود دارد» حتما باید از جمله «جهان منظم است» استفاده کنیم؟ یا اینکه می‌توانیم بدون فرض کردنِ جمله‌ی «جهان منظم است» و با فرض کردنِ جمله‌ای دیگر، جمله «خدا وجود دارد» را اثبات کنیم؟این پرسش منطقی، همان پرسشی است که ریاضیات وارونه را متولد کرده است. وقتی دانستم ریاضیات وارونه دقیقا آن حوزه‌ای است که پرسشی که برای من پیش‌آمده بود را بررسی می‌کند، به آن علاقه‌مند شدم. خب طبیعی هم هست. فرض کن پرسشی داری و بعد می‌فهمی کسی پیش از تو آن پرسش را مطرح کرده و به آن پاسخ گفته است؛ علاقه‌مند هستی که سراغ او بروی، حرف‌هایش را بشنوی و ببینی چگونه به پرسشی که برای تو پیش آمده بود پاسخ گفته است؛ اصلا به نظرم پایه و اساس دانش، همین پرسیدن است. اینکه تو چه پرسش‌هایی را مطرح می‌کنی و اولویت را به کدام پرسش‌ها می‌دهی، مسیر علمیِ تو را مشخص می‌کند. اصلا فلسفه مطالعه کردن نیز به نظرم همین است؛ درباره‌ی موضوعی، پرسش‌هایی ذهنت را درگیر کرده‌اند. بعدا می‌فهمی کتابی هست که دقیقا این پرسش‌های تو را بررسی می‌کند. پس با شور و اشتیاق و از روی نیاز، به سراغ آن کتاب می‌روی و آن را مطالعه می‌کنی؛ بدون اکراه، و بدون آنکه زوری بالای سرت باشد! آری مطالعه کردن می‌تواند دلایل دیگری هم داشته باشد، اما به نظرم این، یکی از دلایل اصلی است. همین‌طور است فلسفه مشورت کردن، تحقیق کردن و ... . خلاصه به نظرم آن چیزی که پایه و اساس است، «پرسیدن» است. دانشمندان موفق، تا جایی که من می‌دانم، پیش از آنکه محققان برجسته‌ای باشند، پرسشگرانِ خبره‌ای بوده‌اند. اگر یادت باشد، در نامه‌ی «داستان شکل‌گیری رابطه عاطفی من و منطق ریاضی» گفته بودم که دلیل اینکه تا این اندازه به منطق ریاضی علاقه‌مند شدم، همین بود که دقیقا پرسش‌هایی را بررسی می‌کرد که برای من پیش آمده بود! بنابراین، انتخاب گرایش تحصیلی‌ام در دوره کارشناسی ارشد، و نیز انتخاب موضوع پایان‌نامه‌ام، با سیری کاملا طبیعی، بنا بر پرسش‌هایی که در ذهن داشتم، انجام شد. حالا بیا تا برایت از ریاضیات وارونه بگویم، تا بدانی که چگونه تلاش می‌کند به آن پرسش بنیادی پاسخ گوید. اما پیش از آن، اجازه بده همان پرسش را، این بار به شکلی دقیق‌تر بیان می‌کنم.فرض کن L، مجموعه‌ی زبان (مرتبه یک) باشد، T یک نظریه (مجموعه‌ای از جمله‌ها) در زبان L باشد، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است. فرض کن که T، مثلا پنج عضو داشته باشد. در واقع، ما اکنون در دستگاهی منطقی هستیم، که مفاهیم اولیه را مشخص، و پنج جمله را به عنوان بُنداشت (axiom) فرض کرده‌ایم. اکنون تصور کن که توانسته‌ایم جمله A را در T اثبات کنیم. و فرض کن که برای اثبات جمله A، از هر پنج جمله‌ای که در T وجود دارد، استفاده کرده‌‌ایم. همین‌جا، یک پرسش منطقی پیش می‌آید که بررسی آن، ریاضیات وارونه را پدید می‌آورد؛ و آن پرسش چنین است:«آیا استفاده از همه بنداشت‌ها برای اثبات A ضروری بود»؟ به عبارتی، آیا نمی‌توانستیم مثلا از بنداشت پنجم استفاده نکنیم و جمله A را اثبات کنیم؟ یا اینکه برای اثبات A، لازم است حتما به گونه‌ای از بنداشت پنجم استفاده کنیم؟ این پرسش‌، پرسشی اساسی است که پاسخ دادن به آن‌ معمولا ساده نیست. برای اینکه این پرسش برایت بیشتر جا بیفتد، بیا سری به تاریخ بزنیم. اقلیدس در چند صد سال پیش از میلاد مسیح، اثری نوشته است که به «اصول اقلیدس» شهرت دارد. او در این اثر تاریخی، پنج جمله را به عنوان بنداشت در نظر می‌گیرد، و تلاش می‌کند با استفاده از این پنج جمله، قضیه‌های مهم هندسه را اثبات کند. بنداشت پنجم اقلیدس، که شاید از نظر تاریخی مهم‌ترین بنداشت در ریاضیات باشد، بیان می‌کند:«به ازای هر نقطه خارج از یک خط، یک و تنها یک خط وجود دارد که از آن نقطه می‌گذرد و با خط داده شده موازی است». البته بیان بالا، دقیقا جمله‌ی اقلیدس نیست، بلکه یک معادل منطقی آن است. چون این بیان از جهاتی ساده‌تر است، بیا از آن به عنوان بنداشت پنجم اقلیدس یاد کنیم. بنداشت پنجم، به سادگیِ پذیرش بنداشت‌های دیگر نبود. مثلا بنداشت چهارم بیان می‌کند که همه زاویه‌های قائمه بر هم قابل انطباق‌اند، یا بنداشت سوم می‌گوید به ازای هر نقطه و هر پاره‌خط، دایره‌ای وجود دارد که مرکزش نقطه‌ی داده شده، و شعاعش پاره‌خطِ داده شده باشد. این‌ها جمله‌هایی هستند که تا اندازه‌ای با شهود ما هم‌خوانی دارند؛ اما بنداشت پنجم، حکمی را صادر می‌کند که برایمان ناآشنا است، و تحقیق درستیِ آن کار دشواری به نظر می‌رسد. ریاضیدان‌ها، تلاش کردند تا بنداشت پنجم را با استفاده از چهار بنداشتِ دیگر اثبات کنند. یعنی خواستند به نحوی این جمله‌ را که کمتر شهودی بود، به کمک چهار بنداشت دیگر که به تجربه و شهود انسان نزدیک‌تر بود، اثبات کنند و از درستی آن مطمئن شوند. اما هیچکس موفق نشد که این اثبات را انجام دهد! وقتی امید ریاضیدان‌ها برای اثبات بنداشت پنجم به ناامیدی گرایید، تلاش کردند تا نقیضِ این جمله را اثبات کنند. یعنی تلاش کردند با استفاده از چهار بنداشت دیگر، اثبات کنند که بنداشت پنجم غلط است؛ اما در این زمینه نیز، کسی موفقیتی بدست نیاورد! تا اینکه بعدها، اثبات شد که بنداشت پنجم، مستقل از چهار بنداشت دیگر است؛ یعنی با استفاده از چهار بنداشت اول، نه می‌توان بنداشت پنجم را اثبات کرد، نه می‌توان آن را رد کرد! اما این اثبات چگونه اتفاق افتاد؟ با همان روشی که اکنون در منطق ریاضی کاملا شناخته شده است و من در نامه‌ی «زبان‌های صوری، نظریه صدق تارسکی و قضیه تمامیت گودل» آن روش را برایت شرح دادم؛ در واقع، ریاضیدان‌ها دو مدل برای چهار بنداشت اول پیدا کردند، که در یکی بنداشت پنجم درست بود، و در دیگری غلط! بنا بر «قضیه درستی» در منطق ریاضی، اگر قرار بود که بنداشت پنجم توسط چهار بنداشت اول اثبات شود، باید در هر مدلی که برای چهار بنداشت اول در نظر بگیریم، بنداشت پنجم درست باشد. و اگر قرار بود نقیض بنداشت پنجم توسط چهار بنداشت اول اثبات شود، باید در هر مدلی که برای چهار بنداشت اول در نظر می‌گیریم، بنداشت پنجم غلط باشد. حال آنکه هیچ یک از این دو اتفاق نیفتاد. بنابراین، استقلالِ بنداشت پنجم از چهار بنداشت دیگر به اثبات رسید، و این مسأله‌ی پیچیده‌ی تاریخی، حل شد. وقتی می‌دانیم بنداشت پنجم مستقل از چهار بنداشت دیگر است، و پذیرشش نیز برایمان ساده نیست، چه اجباری هست که آن را بپذیریم؟ می‌توانیم مثلا جمله‌ای متضاد با آن را به عنوان بنداشت بپذیریم و هندسه‌ای جدید بنا کنیم! و همین اتفاق هم افتاد، و هندسه‌های نااقلیدسی پدید آمد. گرچه پیدایش این هندسه‌ها، پیش از اثبات استقلال بنداشت پنجم اتفاق افتاد، اما به هر حال، این اثبات، به این هندسه‌ها اعتباری دوچندان بخشید.اقلیدس در اثبات بسیاری از قضیه‌های هندسه، از بنداشت پنجم استفاده کرده بود؛ مثلا یکی از آن قضیه‌ها، قضیه معروفِ فیثاغورث بود. وقتی بنداشت پنجم کمتر بدیهی است، و نیز بعدا اثبات شد که این بنداشت مستقل از چهار بنداشت دیگر است و منطق به ما اجازه می‌دهد چهار بنداشت اول را بپذیریم و بنداشت پنجم را نپذیریم، آن پرسش اساسی که در ابتدا مطرح کردم، نقشی پررنگ‌تر به خود گرفت. یعنی این پرسش واقعا اهمیت پیدا کرد که آیا در اثبات قضیه فیثاغورث، استفاده از بنداشت پنجم ضروری است؟ یا اینکه می‌توان بدون استفاده از بنداشت پنجم قضیه فیثاغورث را اثبات کرد؟ اما برای پاسخ دادن به این پرسش، چه روشی وجود دارد؟ اجازه بده همین پرسش را به شکلی کلی‌تر و دقیق‌تر بیان کنم:فرض کن L، مجموعه‌ی زبان باشد، T یک نظریه در زبان L باشد، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است. برای سادگی، فرض کن T تنها پنج عضو دارد. اکنون تصور کن که توانسته‌ایم جمله A را در T اثبات کنیم. و فرض کن که برای اثبات جمله A، از هر پنج جمله‌ای که در T وجود دارد، استفاده کرده‌‌ایم. نام بنداشت پنجم را v بگذار. فرض کن v مستقل از چهار بنداشت دیگر باشد. می‌خواهیم به پرسش زیر پاسخ دهیم:«آیا استفاده از v، برای اثبات A ضروری است»؟مجموعه S=T-{v} را به عنوان یک نظریه جدید در نظر بگیر. یعنی مجموعه‌ای که اعضای آن دقیقا چهار بنداشت اول هستند. می‌توان با استدلالی نه‌ چندان پیچیده و با کمک تعدادی از قضیه‌های مقدماتیِ منطق ریاضی، حقیقت زیر را نشان داد:«بنداشت v برای اثبات A ضروری است، اگر و فقط اگر v⇔A در S اثبات‌پذیر باشد»نتیجه مهم قضیه بالا، پدید آمدن روشی است برای اینکه بفهمیم آیا بنداشتی مفروض برای اثبات یک جمله ضروری است یا نه. نمادگذاری بالا را در نظر بگیر. چون جمله A در نظریه T اثبات می‌شود، بنا بر «قضیه استنتاج» می‌دانیم v⇒A در S اثبات می‌شود. پس برای اینکه پاسخ پرسشمان را بیابیم، تلاش می‌کنیم تا ببینیم A⇒v در S اثبات می‌شود یا نه. اگر اثبات شد، نتیجه می‌شود که بنداشت v برای اثبات A ضروری است. به عبارتی، باید فرآیندی وارونه را طی کنیم. در ریاضیات، فرآیند معمولی چنین است که تلاش می‌کنیم از بنداشت‌‌هایمان استفاده کنیم و جملات جدیدی را اثبات کنیم. اما در اینجا، به پیش نمی‌رویم، و قصد اثبات جمله جدیدی را نداریم، بلکه تلاش می‌کنیم تا با فرض برقراریِ یک جمله‌ی از قبل اثبات شده، یکی از بنداشت‌هایمان را اثبات کنیم. نام ریاضیات وارونه، به نیکی چنین فرآیندی را یادآور می‌شود. برای آنکه این بحث را در بستر ریاضیات ببینی، مثال‌هایی واقعی از دنیای ریاضی را به تو نشان می‌دهم. در ابتدا، بیا به همان هندسه اقلیدسی نظر کنیم. گفتم که اقلیدس در اثبات بسیاری از قضیه‌های هندسه اقلیدسی مانند قضیه فیثاغورث، از بنداشت پنجم استفاده کرده است. یعنی اگر S مجموعه چهار بنداشت اول اقلیدس، v بنداشت پنجم و A قضیه فیثاغورث باشد، v⇒A در S اثبات می‌شود. پرسش این بود که آیا استفاده از بنداشت پنجم برای اثبات قضیه فیثاغورث ضروری است یا نه؟ کافی است فرآیندِ وارونه را طی کنیم و ببینیم که آیا جمله A⇒v در S اثبات می‌شود یا نه. به عبارتی، باید ببینیم که آیا می‌توان با فرض کردن چهار بنداشت اول اقلیدس و قضیه فیثاغورث، بنداشت پنجم اقلیدس را اثبات کرد یا نه. پاسخ مثبت است و چنین اثباتی وجود دارد. در نتیجه، برای اثبات قضیه فیثاغورث، استفاده از بنداشت پنجم ضروری است و اگر بنداشت پنجم را نداشته باشیم، قضیه فیثاغورث را نیز نخواهیم داشت! یکی از نتایج این کشف، این است که در هندسه‌های نااقلیدسی، قضیه فیثاغورث برقرار نیست؛ چرا که در این هندسه‌ها بنداشت پنجم برقرار نیست. و نیز می‌توان اثبات کرد که بنداشت پنجم معادل با جمله زیر است:«مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث برابر با دوقائمه است».بنابراین برای اثبات این جمله، فرض کردن بنداشت پنجم ضروری است. و علاوه بر این دو جمله که ذکر آن‌ها گذشت، جملات بسیاری وجود دارند که معادل با بنداشت پنجم اقلیدس هستند و در نتیجه برای اثبات آن‌ها، لازم است حتما از بنداشت پنجم اقلیدس استفاده کنیم‌.اکنون بیا مثالی دیگر را، این بار در بستر نظریه مجموعه‌ها بررسی کنیم.نظریه مجموعه‌ها، می‌تواند به عنوان نظریه‌ای در نظر گرفته شود، که تقریبا همه قضیه‌های ریاضی را می‌توان در آن بیان و اثبات کرد. این نظریه را می‌توان در دستگاه ZFC، به شکلی منطقی صورت بندی کرد؛ Z حرف اول واژه زِرمِلو است، F حرف اول واژه فِرانکِل، و C حرف اول واژه Choice (انتخاب). زرملو و فرانکل نام دو ریاضیدان است، و کلمه انتخاب، به بنداشت انتخاب (Axiom of choice) اشاره دارد. بیا بنداشت انتخاب را با AC نشان دهیم. این بنداشت نیز درست مانند بنداشت پنجم اقلیدس، از نظر تاریخی اهمیت بسیار دارد و بحث و جدل‌های بسیاری در منطق و فلسفه ریاضی به راه انداخته است. در واقع، ZFC مجموعه‌ای از جملات است که در زبانی چون L که فقط شامل یک نماد رابطه‌ای دو جایی است، در نظر گرفته می‌شود. ZF دارای ۹ بنداشت (البته بعضی از آن‌ها، شِمای بنداشت هستند) است و AC نیز بنداشت انتخاب است. پس می‌توان نوشت:ZFC=ZF∪{AC}برای آنکه تصوری از ZF داشته باشی، خوب است بدانی که جملات زیر، بنداشت‌هایی در ZF هستند: «مجموعه‌ای وجود دارد که هیچ عضوی ندارد»«اگر X و Y دو مجموعه باشند، آنگاه مجموعه‌ای وجود دارد که شامل اعضای X و اعضای Y است و هر عضو آن، یا عضوی از X است یا عضوی از Y»و ...پذیرش بنداشت انتخاب، درست مانند پذیرش بنداشت پنجم اقلیدس، خیلی ساده نیست. این بنداشت پای مفهوم بی‌نهایتِ بالفعل (actual infinity) را به شکلی جدی به میان می‌کشد. بعضی از ریاضیدان‌ها، برای همین، آن را نمی‌پذیرند. این موضوع، اهالی ریاضی را بر آن داشت که تلاش کنند AC را با استفاده از بنداشت‌های ZF اثبات کنند. تلاش ریاضیدان‌ها برای اثبات AC شکست خورد و هیچ‌کس نتوانست AC را از ZF نتیجه بگیرد. همچنین، کسی موفق نشد AC را رد کند؛ به عبارتی، تلاش‌ها برای اثبات نقیضِ AC در ZF نیز موفقیت‌آمیز نبود.تا اینکه سرانجام، گودِل، طبق معمول به فریاد ریاضیدان‌ها رسید و اثبات کرد که نمی‌توان نقیض AC را در ZF اثبات کرد. و بعدا کوهن توانست اثبات کند که خود AC نیز در ZF اثبات نمی‌شود. بنابراین اگر دستاوردهای گودل و کوهِن را کنار هم قرار دهیم، نتیجه می‌گیریم که AC در ZF نه اثبات می‌شود و نه رد می‌شود؛ به عبارتی، AC مستقل از ZF است. در واقع AC همان رابطه‌ای را با ZF دارد که بنداشت پنجم اقلیدس با چهار بنداشت اول اقلیدس. در اثبات بسیاری از قضیه‌های مهم نظریه مجموعه‌ها و نیز ریاضیاتِ مدرن مانند جبر پیشرفته، آنالیز، توپولوژی و ... از AC استفاده می‌شود. اکنون که می‌دانیم AC مستقل از ZF است، پرسشِ بنیادی ریاضیات وارونه، یعنی این پرسش که آیا استفاده از AC برای اثبات یک قضیه‌ مشخصِ ریاضی ضروری است یا نه، از اهمیتی دوچندان برخوردار می‌شود. یکی از قضیه‌هایی که در ZFC اثبات می‌شود، و در اثبات این قضیه از AC استفاده می‌شود، قضیه خوش‌ترتیبی است. این قضیه بیان می‌کند که «هرمجموعه‌ای خوش‌ترتیب شدنی است». در نتیجه، جمله‌ی AC⇒WO در ZF اثبات می‌شود که در آن، منظورم از WO قضیه خوش‌ترتیبی است. «آیا فرض کردن AC برای اثبات WO ضروری است»؟ بنا بر توضیحاتی که بحث آن گذشت، اگر نشان دهیم که WO⇒AC در ZF اثبات می‌شود، آنگاه نتیجه می‌شود که فرض کردن AC برای اثبات WO ضروری است. اما می‌توان از قضیه خوش‌ترتیبی بنداشت انتخاب را نتیجه گرفت. به عبارتی، می‌توان نشان داد که WO⇒AC در ZF اثبات می‌شود؛ و این یعنی بنداشت انتخاب و قضیه خوش‌ترتیبی معادل هستند و فرض کردن بنداشت انتخاب برای اثبات قضیه خوش‌ترتیبی ضروری است. در واقع رابطه بنداشت انتخاب و قضیه خوش‌ترتیبی، درست مانند رابطه بنداشت پنجم اقلیدس و قضیه فیثاغورث است. دیدی که در اثبات قضیه فیثاغورث از بنداشت پنجم اقلیدس استفاده شده بود، و فهمیدی که بنداشت پنجم اقلیدس برای اثبات قضیه فیثاغورث ضروری است. همچنین دیدی که در اثبات قضیه خوش‌ترتیبی از بنداشت انتخاب استفاده شده بود، و فهمیدی که بنداشت انتخاب برای اثبات قضیه خوش‌ترتیبی ضروری است. اکنون خوب است مثالی از اثبات یک جمله را به تو نشان دهم که در آن اثبات، از جمله مشخصی استفاده شده، در حالی که فرض کردنِ آن جمله ضروری نیست! جمله زیر را که مربوط به نظریه اندازه است در نظر بگیر:«زیرمجموعه‌هایی از مجموعه اعداد حقیقی (R) وجود دارند که لِبِگ‌اندازه‌ناپذیر هستند»نام این جمله را B بگذار. اگر با نظریه اندازه آشنا باشی، احتمالا B و اثبات آن را دیده‌ای. اثبات معروفی که برای B وجود دارد، اثباتِ ویتالی است؛ جوسِپ ویتالی در ۱۹۰۵ وجود زیرمجموعه‌هایی از R را نشان داد که لبگ اندازه‌ناپذیرند؛ او در این اثبات، از بنداشت انتخاب استفاده کرد. پرسش بنیادی ریاضیات وارونه را در این باره به کار می‌بریم:«آیا استفاده از AC برای اثبات B ضروری است»؟طبق توضیحات بالا می‌دانیم که جمله AC⇒B در ZF اثبات می‌شود. اگر نشان دهیم که جمله B⇒AC نیز در ZF اثبات می‌شود، نتیجه می‌گیریم که استفاده از AC برای اثبات B ضروری است. پس تلاش می‌کنیم به گونه‌ای از جمله B، جمله AC را نتیجه بگیریم. اما تلاش‌هایمان نتیجه نمی‌دهد و موفق نمی‌شویم! بنابراین، حدس می‌زنیم که B⇒AC در ZF اثبات نمی‌شود؛ اما هنوز به درستی این حدس اطمینان نداریم، چرا که هنوز آن را اثبات نکرده‌ایم. در سال ۱۹۷۰ رابرت سالُوی نشان داد که مدلی برای ZF وجود دارد، که در آن بنداشت انتخاب برقرار نیست، و همه زیرمجموعه‌های R لبگ‌اندازه‌پذیرند. به عبارتی، او وجود مدلی را برای ZF∪{¬AC} نشان داد که در آن B¬ برقرار است. همین‌جا، بنا بر قضیه درستی، نتیجه می‌شود که B در ZF اثبات نمی‌شود و برای اثبات B ناچاریم جمله‌ای دیگر را به عنوان بنداشت به ZF اضافه کنیم. نام این جمله را X بگذار. می‌دانیم X می‌تواند همان AC یا هر جمله‌‌ای معادل با AC باشد. اما پرسش مهم این‌جاست که آیا X الزاما باید AC یا جمله‌ای معادل با AC باشد؟ به عبارتی، آیا برای اثبات B، به همه قدرت AC نیاز داریم؟ در سال ۲۰۰۵ مَتیو فُرمَن با انتشار مقاله‌ای نشان داد قضیه هان-باناخ، که آن را با H نشان می‌دهم، B را نتیجه می‌دهد. از طرفی، H اکیدا ضعیف‌تر از AC است؛ یعنی AC⇒H در ZF اثبات می‌شود، اما H⇒AC در ZF اثبات نمی‌شود. در نتیجه، X می‌تواند قضیه هان-باناخ باشد که اکیدا ضعیف‌تر از بنداشت انتخاب است. پس حدسمان درست بود؛ یعنی B⇒AC در ZF اثبات نمی‌شود؛ چرا که در غیر این صورت، از آن‌جایی که H⇒B در ZF اثبات می‌شود، نتیجه می‌گیریم که H⇒AC در ZF اثبات می‌شود‌ در حالی که می‌دانیم این‌گونه نیست.بنابراین، استفاده از بنداشت انتخاب برای اثبات وجود زیرمجموعه‌هایی از R که لبگ‌اندازه‌ناپذیر هستند، ضروری نیست. گرچه اثبات رایجی که برای نشان دادن وجود چنین زیرمجموعه‌هایی به کار می‌رود، اثباتی است که از بنداشت انتخاب استفاده می‌کند. به طور کلی، هدف اصلی ریاضیات وارونه، همین است که برای هر قضیه مشخص از ریاضیات، بررسی کند که آیا استفاده از بنداشتی مفروض برای اثبات آن قضیه ضروری است یا نه، و در نهایت بنداشت‌های ضروری برای اثبات آن قضیه را پیدا کند. البته همه این کارها را نه در بستر چهار بنداشت اول اقلیدس، و نه در بستر ZF، بلکه در بستر «حساب مرتبه دوم» یا second order arithmetic انجام می‌دهد. با سه مثالی که ذکر آن‌ها گذشت، تلاش کردم تا فرآیند انجام چنین کاری را به طور اجمالی توضیح دهم. قطعا می‌توان فنی‌تر سخن گفت و بیشتر وارد جزئیات شد. اما هدف من از این نوشتار، صرفا یک معرفی خودمانی از ریاضیات وارونه بود. اگر به این موضوع علاقه‌مند شدی و خواستی بیشتر درباره آن بدانی، کتابِ «Reverse mathematics; proofs from the inside out»که به قلم آقای «stillwell» نوشته شده است، منبع بسیار مناسب و خودخوانی برای مطالعه بیشتر در این زمینه است. من هم سعی کرده‌ام در فصل اول پایان‌نامه‌ام، با زبانی گویا و به دور از حاشیه‌های اضافی، مقدماتِ تکنیکیِ مورد نیاز برای ورود به دنیای ریاضیات وارونه را در اختیارت قرار دهم. نامه را همین‌جا به پایان می‌برم. ممنونم که وقتت را به من سپردی. امیدوارم تا اندازه‌ای با حال و هوای ریاضیات وارونه آشنا شده باشی. محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Tue, 10 Jan 2023 22:34:55 +0330 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/%D8%A7%D8%B5%D8%A7%D9%84%D8%AA-%D9%88%D8%AC%D9%88%D8%AF-%D8%A7%D8%B3%D8%A7%D8%B3-%D9%81%D9%84%D8%B3%D9%81%D9%87-%D9%85%D9%84%D8%A7%D8%B5%D8%AF%D8%B1%D8%A7%DB%8C-%D8%B4%DB%8C%D8%B1%D8%A7%D8%B2%DB%8C-f89y8uq3cwaf این بار، بر خلاف قبلا که درباره فلسفه زندگی، ریاضیات، منطق ریاضی، فلسفه تحلیلی و شاهکارهای بعضی از مشهورترین فیلسوفان اروپایی قرن بیستم میلادی برایت نوشتم، قصد دارم تا شاهکار یک فیلسوف شرقی را نشانت دهم، و تو را به قرنِ یازدهمِ هجریِ مشرق زمین ببرم! جایی که پرآوازه‌ترین فیلسوفِ ایرانی زندگی می‌کند. کسی که بسیاری از مسلمانان به او افتخار می‌کنند و بسیاری از ایرانیان، هنگامی که نامش را بر زبان می‌آورند، با احترامی دوچندان این کار را انجام می‌دهند. همان‌طور که از عنوان نامه پیدا است، منظورم ملاصدرای شیرازی است. کتاب معروفی دارد تحت عنوان «اسفار اربعه». او، پایه‌گذار مکتبی است که به حکمت متعالیه مشهور است؛ مکتبی که در کنار مکتب‌های مشاء و اشراق، از مهم‌ترین مکاتب فلسفه اسلامی است؛ آری! تاریخ فلسفه، پر است از نام‌های دهن پُر کنی که می‌شنوی! بعضی نام‌ها از غرب می‌آیند؛ دکارت و اسپینوزا، هگل و هایدگر، فرگه و راسل، تارسکی و ویتگنشتاین... . بعضی نام‌ها از شرق؛ فارابی و ابن سینا، خواجه نصیرالدین طوسی و شیخ اشراق، میرداماد و ملاصدرا... .هر کدام نظرات خاص خود را دارند و سعی کرده‌اند به بعضی از پرسش‌های مهم فلسفی که ذهن بشر مدت‌ها درگیرش بوده، پاسخی قانع‌کننده بدهند. پاسخ‌هایی که گاهی مکمل هم، گاهی متضاد با هم، و گاهی با یکدیگر متناقض می‌نماید! من در این نامه، از بین همه این نام‌ها، به نام ملاصدرا نظر می‌کنم و از میان همه مفاهیم مهم فلسفی، مفهوم وجود را مورد تحقیق قرار خواهم داد. اول اجازه بده تا قبل از شروع بحث، حال و هوای بحث را برایت توصیف کنم یا به قول ورزشکاران، بیا پیش از انجام ورزش اصلی، ابتدا کمی نرمش کنیم. بیا فلسفه را از یک جهت، به دو نوع کلی تقسیم کنیم؛ فلسفه غرب و فلسفه شرق. و فلسفه شرق را از یک جهت، به دو نوع؛ فلسفه اسلامی و فلسفه غیراسلامی. منظورم از فلسفه اسلامی، که معمولا منظور هر کسی که این عبارت را رسماً به کار می‌برد همین است، فلسفه مسلمانان است، نه فلسفه اسلام! این تفکیک بسیار مهم است. منظور این نیست که چنین فلسفه‌ای لاجرم از اسلام برمی‌خیزد. بلکه منظور این است که این اندیشه‌ها و این مکاتب و این فلسفه‌ها، در بستر فرهنگی و جغرافیایی مسلمانان شکل گرفته است و غالبا این فیلسوف‌ها، مسلمان بوده‌اند. کسی که گمان کند حرف فلسفه اسلامی از آن جهت که فلسفه اسلامی است، حرف اسلام است یا برعکس، به خطا رفته است. دقت کن! من نمی‌گویم حرف اسلام حرف فلسفه اسلامی هست یا نیست، منظورم این است که قرار نیست الزاما چنین باشد! جانِ فلسفه، استدلال است و برهان. حال آن فیلسوف می‌خواهد مسلمان باشد، یهودی باشد یا خداناباور. ما از او می‌خواهیم که برهان خود را برای مدعایش اقامه کند. و استدلالی که پیش‌فرض‌هایی غیر یقینی داشته باشد، دیگر برهان نیست؛ بلکه یا خطابه است، یا مجادله است، یا مغالطه یا هر چیزی جز برهان. اگر فیلسوفی برای اثبات حرفش، حدیث و روایت بخواند، یا به تاریخ ارجاع دهد یا ...، دیگر حرف او، یک حرف فلسفی نیست. یک امر است، یک پند است، یک سخن اخلاقی است یا ... . هنگام انجام یک تحقیق اکیدا فلسفی، مثل کاری که اکنون قصد انجامش را داریم، وقتی می‌خواهیم آرای ملاصدرا یا ابن سینا یا هر فیلسوف دیگری که نماینده‌ای از فلسفه اسلامی است بررسی کنیم، به حرف‌های او از آن جهت که فیلسوف است نظر می‌کنیم، نه از آن جهت که مسلمان است! آری گاهی برای آنکه بدانیم چه شد که مثلاً ملاصدرا چنین ایده‌ای به ذهنش رسید، یک بررسی تاریخی و روانشناسانه کمک‌کننده است و در چنین تحقیقی، مسلمان بودن او مهم خواهد بود. اما در یک تحقیق فلسفیِ صرف، حرف‌های او را در خلأ بررسی می‌کنیم! صرفا می‌خواهیم بدانیم که اولا دقیقا چه گفته و منظورش چه بوده، و ثانیا برای چنین حرفی چه برهانی آورده است، و ثالثا آیا چنین برهانی قابل قبول هست یا نه. کاری نداریم که او مسلمان بوده یا نامسلمان، مومن بوده یا کافر و ... . این از مرحله اول نرمش! پیش از شروع بحث اصلی، خوب است بدانی که فلسفه اسلامی یک رشته معروف دانشگاهی در ایران است و دانشجویان فلسفه، می‌توانند در این گرایش ادامه تحصیل بدهند. همچنین، یکی از مباحث داغ حوزه علمیه در ایران بوده و هست. کمتر کسی است که در ایران، چه از راه دانشگاه چه از راه حوزه، شروع به مطالعه فلسفه کرده باشد و تا حدی با آرای اصلی فارابی و ابن سینا و شهاب‌الدین سُهرِوَردی و ملاصدرا آشنایی نداشته باشد. حتی در کتاب‌های فلسفه‌ی رشته علوم انسانی مقطع دبیرستان در ایران، این فیلسوفان مسلمان و اندیشه‌های اصلی آن‌ها مورد تاکید قرار گرفته است. و جالب است که یکی از مهم‌ترین بحث‌های فلسفه اسلامی، همین مفهوم وجود و مشتقاتِ آن است. من و تو، قصد داریم در این نامه، همین مفهوم را در نظر آوریم و درباره آن بپرسیم و تلاش کنیم تا با کمک گرفتن از اندیشه خود، پاسخی بیابیم.از تو پوزش می‌خواهم که ورود به بحث اصلی را تا این اندازه به تاخیر انداخته‌ام، اما می‌خواهم پیش از شروع، دوباره مقدمه‌‌ای دیگر به تو بگویم! این مقدمه بیشتر جنبه شخصی دارد و به شخص من مربوط است اما شاید گفتنش به تو، خالی از لطف نباشد. راستش را بخواهی، من از دوران دبیرستان مطالعه منطق و فلسفه را آغاز کردم. همان‌طور که می‌دانی، رشته من ریاضیات بود و این مطالعات، ارتباط مستقیمی با تحصیل آکادمیک من نداشت. اولین کتاب منطقی که آن را با استادی شروع کردم، «منطق مظفر» اثر محمدرضا مظفر بود. این کتاب، یکی از کتاب‌های مرجع منطق در حوزه علمیه است. محتوای کتاب، همان مباحث اصلی منطق ارسطویی است که به شکلی سازمان‌بندی شده در قالب یک کتاب درسی تنظیم شده است. منطقی که در رشته علوم انسانی در دبیرستان‌های ایران تدریس می‌شود، زیرمجموعه کوچکی از مباحث گسترده‌ی این کتاب است. خب، برای آغاز مطالعه فلسفه، دانستن مقدماتی از منطق ضروری است. اگر منطق نخوانده باشیم، احتمال بیشتری دارد که به دام مغالطه‌ها بیفتیم یا در استدلال‌هایمان دچار خطا شویم. برای همین، معمول است که پیش از مطالعه فلسفه، چند واحد منطق هم پاس می‌کنند؛ همان‌طور که ریاضیات عمومی پیش‌نیاز فیزیک کلاسیک است! پس از مطالعه منطق ارسطویی با کتاب منطق مظفر، مطالعه کتاب «بِدایَةُ الحِکمة» اثر معروف محمدحسین طباطبایی را نزد استادی آغاز کردم. این کتاب، چکیده‌ای از مباحث مهم فلسفه ملاصدرا یا همان حکمت متعالیه را در خود دارد و تلاش کرده در حجمی کم، مهم‌ترین احکام فلسفه ملاصدرا را بیان و اثبات کند. اتفاقا همان ابتدا هم با مفهوم وجود شروع می‌کند و بحث اصالت وجود را پیش می‌کشد و نصف بیشتر کتاب به همین بحث وجود اختصاص دارد.اما خب، گفتم که! من در آن زمان‌ها تنها شانزده-هفده سال سن داشتم و چنین مباحثی برایم آنچنان که باید، قابل درک نبود. اکنون داریم کم کم وارد بحث اصلی می‌شویم پس خودت را آماده کن! بسیار تلاش کردم تا بفهمم اصالت وجود چیست و بسیار بیشتر از آن تلاش کردم تا بدانم این اثبات‌هایی که آورده شده چرا درست است! مدت‌ها درگیر بودم. با خودم گفتم اصلا اثبات اصالت وجود به کنار! به فرض که اصالت وجود درست است و عین حقیقت! اما پرسش اصلی من این است که اصلا منظور از اصالت وجود چیست؟ و اصالت وجود چه می‌خواهد بگوید؟! وقتی من می‌گویم هر تابع مشتق‌پذیر پیوسته است، احتمالا تو از من می‌پرسی تابع چیست؟ مشتق‌پذیری چیست و پیوستگی چیست؟ بعد که من این پرسش‌های تو را دقیقا پاسخ گفتم و تو کاملا دانستی که منظور من از تابع، مشتق‌پذیری و پیوستگی چیست، پس از آن از منطقا اجازه داری از من پرسی خب دلیلت چیست؟! چرا هر تابع مشتق‌پذیر پیوسته است؟! بعد من استدلالی می‌آورم و تو با بررسی آن، یا استدلال مرا می‌پذیری یا نه. این فرآیند کلیِ یک بحث منطقیِ درست و حسابی است. درباره اصالت وجود هم بحث همین‌گونه است. ابتدا لازم است بپرسیم «دقیقا منظور از اصالت وجود چیست»؟ و بعد که پاسخ را یافتیم، بپرسیم «چرا اصالت وجود حقیقت دارد»؟ من در این نامه، تلاش می‌کنم تا پرسش اول را پاسخ دهم. فعلا به پرسش دوم کاری نخواهم داشت! همینکه بدانیم منظور ملاصدرا از اصالت وجود چیست، خودش پیروزی بزرگی به حساب می‌آید! من از شانزده سالگی تا بیست‌و‌سه سالگی این پرسش را با خود به یدک می‌کشیدم! هر جا که می‌رفتم، این پرسش نیز با من بود. هر کسی را می‌دیدم که کمی فلسفه اسلامی خوانده، از او می‌پرسیدم تو را جان هر که دوست داری(!)، به من بگو مقصود ملاصدرا از اصالت وجود چه بوده؟ البته گمان نکنی که هفت سال از زندگی خود را شبانه روز صرف فکر کردن و تحقیق درباره اصالت وجود کرده‌ام! بلکه مدت بسیاری اصلا به آن فکر نکردم. و اصلا یادم رفته بود که چنین پرسشی دارم. منظورم این است که این پرسش از شانزده سالگی برایم مطرح شد و تا بیست‌وسه سالگی پاسخی نیافت. حال در بعضی مواقع بیشتر به آن می‌پرداختم و در بعضی مواقع کمتر. شاید اینکه این پرسش هفت سال برایم بی‌پاسخ مانده بود، به هوش پایین من برمی‌گشت! شاید اگر تو فلسفه ملاصدرا و نظراتش را مطالعه کنی، به سرعت بتوانی مقصود او از اصالت وجود را دریابی. پس اینکه می‌گویم فهمیدن چنین مفهومی برای من بسیار دشوار بود، به این معنا نیست که الزاما برای تو نیز چنین باشد! البته، اینکه از اصالت وجود ملاصدرا تفسیرهای متعددی شده و فیلسوفانِ مسلمانِ معاصر بعضاً نظرهای مختلفی درباره اصالت وجود ملاصدرا دارند، به ما می‌گوید که شاید این مفهوم، واقعا دمِ‌دستی و پیشِ‌پاافتاده نیست. به هر حال، در سال بیست‌وچهارم زندگی‌ام، پاسخ را یافتم! یعنی فهمیدم که مقصود ملاصدرا از اصالت وجود چیست! اما چه شد؟ در همان سال بیست‌وچهارم، پس از اینکه حدود پنج سالی می‌شد که فلسفه اسلامی را به کناری نهاده بودم و مشغول مطالعات ریاضی و آکادمیک خود بودم، یکی از آشنایانم که مدتی با او سر مباحث اعتقادی و اصول دین اسلام جنگ و دعوا (از نوع دوستانه‌اش!) داشتیم و مُباحثات زیادی بینمان شکل گرفته بود، به من خبر داد که در یکی از حوزه‌های علمیه مشهد، قرار است فلسفه ملاصدرا تدریس کند. گفت با توجه به شناختی که از تو دارم، حضور تو در این کلاس برای هر دویمان مفید خواهد بود. من نیز با توجه به شناختی که از او داشتم، و می‌دانستم باهوش است، داناست، از اهالی اندیشه است و مرد علم و تحقیق، نه نگفتم و چون پرسش‌های بی‌پاسخی درباره فلسفه ملاصدرا داشتم، حاضر شدم در این جلسات شرکت کنم. وقتی کلاس‌ها شروع شد، همان مباحث اساسی چند سال پیش و همان پرسش‌هایی که در دوران دبیرستان برایم پیش آمده بود و پاسخ نگرفته بود، دوباره جان گرفت. دوباره مفاهیم بددستِ وجود و ماهیت و جوهر و عرض و وحدت و کثرت و تشکیک و ... سربرآورده بودند و پیش چشمان ذهن من با خوشحالی می‌رقصیدند. هفت یا هشت جلسه گذشته بود. از خانه بیرون زدم تا سوار مترو شوم و به کلاس فلسفه بروم. با خودم گفتم اصلا حرف ملاصدرا به کنار. حرف همه فیسلوفان و همه کتاب‌های دنیا و هر چه شنیده‌ای و نشنیده‌ای به کنار. خودت به مفهوم وجود فکر کن و ببین که معنایش چیست. از کجا آمده. چه حکمی برایش صادر می‌کنی. بعد، از ابتدا، بدون هیچ پیش‌فرضی، فکر کردن درباره مفهوم وجود را آغاز کردم. همان‌طور که دستم را از یک میله آهنی سرد داخل مترو گرفته بودم تا هنگام شتاب‌‌گرفتن‌های مثبت و منفیِ مترو کله‌پا نشوم، ناگهان جرقه‌ای فکرم را روشن کرد! با خودم گفتم بحث، بسیار ساده است! جوابش هم به نظر من چنین است! به یک پاسخ قانع‌کننده‌ رسیده بودم. خیلی خوشحال بودم. نمی‌دانستم پاسخم درست بود یا نه؛ اما مرا قانع کرده بود. اکنون، تمام آنچه را در ذهنم گذشت برایت شرح می‌دهم تا اینکه تو را به نتیجه‌ای که به آن رسیدم، برسانم. پس با دقتی دوچندان حواست را به من بسپار که از اینجا به بعد، نامه تخصصی‌تر می‌شود. خب، وجود واژه‌‌ای عربی است که به واژه‌ی فارسی هستی برگردانده می‌شود. ماهیت نیز عربی است و معمولاً به چیستی ترجمه می‌شود. فرض کن چنین جمله‌ای می‌شنوی: «برج ایفل وجود دارد» یا معادلا «برج ایفل موجود است» با شنیدن لفظ برج ایفل، تصوری در ذهن تو شکل می‌گیرد. با شنیدن وجود دارد یا موجود است، تصوری دیگر. تصوری که از برج ایفل در ذهن تو شکل گرفته، به ماهیت برج ایفل یا همان چیستی برج ایفل بازمی‌گردد. و تصوری که از وجود یا موجود در ذهن تو پدیدار گشته، به چیزی غیر از ماهیت بازمی‌گردد! به عبارتی، ماهیتِ الف، پاسخی است که به پرسشِ «الف چیست» می‌دهی. مثلا ماهیت برج ایفل، پاسخی است که به پرسش «برج ایفل چیست» می‌دهی. ماهیت شیطان، پاسخی است که به پرسش «شیطان چیست» می‌دهی و ... .روشن است که ماهیت برج ایفل یک چیز است، و وجود چیزی دیگر! گوینده‌ی جمله‌ی:«برج ایفل وجود دارد»در حال نسبت دادن «وجود» به «برج ایفل» است. احتمالا دارد تلاش می‌کند به تو بگوید برج ایفل یک برج خیالی نیست! یک برج واقعی است! اینگونه نیست که فقط در عکس‌ها و فیلم‌ها و نقاشی‌ها آن را دیده باشی! واقعا می‌توانی از نزدیک آن را ببینی و آهن‌‌پاره‌های سازنده‌اش را لمس کنی! چنین تحلیلی کمابیش برای جملات زیر نیز برقرار است:«فرشته‌ی وحی وجود دارد»«شیطان وجود دارد»«درخت سیبی هزارمتری وجود دارد»«غول چراغ جادو وجود دارد»«هری پاتر وجود دارد»«برج میلاد وجود دارد»«خدا وجود دارد»و ... .واقعا اگر کسی نزد تو بیاید و بگوید درخت سیبی هزار متری وجود دارد، معنای حرفش را می‌فهمی! (غیر از این است؟!) بعد احتمالا از او می‌پرسی که از کجا می‌دانی چنین درختی وجود دارد؟ همینکه این سوال را می‌پرسی، به این معنی است که مفهوم ماهیت و مفهوم وجود یکی نیستند. چون اگر دقیقا یکی بودند، چنین پرسشی مطرح نمی‌شد. معمولا چنین است که ما ابتدا از ماهیت (چیستی) می‌پرسیم و بعد از وجود (هستی). ابتدا می‌پرسیم غول چراغ جادو چیست؟ وقتی گفتند غول چراغ جادو چنین است و چنان است و به چنین چیزی می‌گوییم غول چراغ جادو، بعد می‌پرسیم حال اصلا چنین چیزی وجود دارد؟! خب اگر ماهیت غول چراغ جادو و وجودش عینا یک چیز بودند، به محض دریافتن ماهیتش، وجودش را نیز درمی‌یافتیم! حال آنکه ماهیتش را دریافتیم و وجودش را نه. می‌دانیم ماهیتش چیست اما نمی‌دانیم که وجود دارد یا نه. در مورد «برج ایفل وجود دارد» و درباره تقریبا همه جمله‌های این شکلی، بحث به همین صورت است. یکی از ابداعات فلسفه اسلامی طرح پرسش زیر است که ظاهراً اولین بار میرداماد آن را مطرح کرده و ملاصدرا مفصلا به آن پرداخته است:وقتی برج ایفل را از نزدیک می‌بینیم و به وجودش پی می‌بریم، دو مفهوم به ذهن ما وارد می‌شود؛ یکی ماهیت، یکی وجود. یکی ماهیت برج ایفل، یکی وجودش. حال پرسش اینجاست که کدام یک از این دو مفهوم، مطلقا ساخته و پرداخته ذهن ما است، یا به عبارتی، اعتباری است، و کدام یک واقعی است و به واقعیت برج ایفل مربوط است یا به عبارتی اصیل است و اصالت دارد و اینگونه نیست که صرفا ساخته ذهن ما باشد. اگر بگوییم وجود اعتباری و ماهیت اصیل است، یعنی وجود برج ایفل صرفا مفهومی است که توسط ذهن ما ساخته شده و چنین چیزی واقعیت ندارد بلکه آن چیزی که واقعیت دارد، ماهیت برج ایفل است. اگر بگوییم ماهیت اعتباری است و وجود اصیل است، یعنی این وجود برج ایفل است که واقعیت دارد و ماهیت برج ایفل، صرفا ساخته ذهن ماست و واقعیت ندارد. دو حالت دیگر هم هست؛ یا هر دو اصیل‌اند یا هر دو اعتباری.نظر میرداماد این بود که ماهیت اصیل است و وجود اعتباری، و نظر ملاصدرا این است که وجود اصیل است و ماهیت اعتباری. و همین ادعای ملاصدرا و تلاش او برای اثبات آن، سراسرِ بحث اصالت وجود صدرایی را شکل می‌دهد. این، روایت مرسومی است که هر کتاب فلسفه‌ای را بازکنی که درباره اصالت وجود ملاصدرا مطلبی دارد، احتمالا همین بحث یا بحثی بسیار مشابه با آن را می‌بینی. نظر تو چیست؟ به نظر تو، آیا وجود اصیل است یا ماهیت؟ با ملاصدرا موافقی یا مخالف؟ سعی کن پیش از آنکه ادامه نامه را بخوانی، در حد همین روایتی که فعلا برایت آوردم، موضع خود را در برابر اصالت وجود مشخص کنی! اگر نیاز به تفکر داری که قطعا چنین است، پیش از ادامه دادن، اندکی تامل کن و سپس ادامه بده.می‌دانم که احتمالا این بحث برای تو هم مبهم شده! به نظرم هنوز نمی‌دانی که دقیقا منظور از اصالت وجود چیست و نمی‌دانی وقتی ملاصدرا می‌گوید وجود اصیل است و ماهیت اعتباری، دقیقا چه دارد می‌گوید! این ابهام احتمالی تو را، من هفت سال با خود داشتم! تا اینکه در مترو، این ابهام برطرف شد! پیش‌تر گفتم که در مترو تلاش کردم بدون هیچ اطلاعاتی از فلسفه و بدون هیچ پیش‌فرض خاصی، به مفهوم وجود فکر کنم. فکر کردن را با پرسیدن این پرسش‌ها از خودم آغاز کردم:اصلا واژه وجود چگونه وارد دایره واژگان ما شده؟ از چه زمانی به بعد و چرا واژه وجود را به کار بردیم؟ طبیعتاً وقتی انسانی متولد می‌شود، در دوران نوزادی، نه از واژه وجود استفاده می‌کند نه وقتی این واژه را به او بگویی می‌فهمد! پس بالاخره، از جایی به بعد با این واژه آشنا می‌شود و آن را به کار می‌بَرَد. اما کِی آشنا می‌شود؟ چه می‌شود که آشنا می‌شود؟ چگونه به کار می‌بَرَد؟ چرا اینگونه به کار می‌بَرَد؟ به نظرم فرآیندی که واژه وجود را به دنیای واژگان ذهن ما می‌آورد چنین است: کودکی دو-سه ساله را در نظر بگیر که می‌تواند راه برود و درکی نسبی از محیط اطراف خود پیدا کرده است. در یکی از روزها، درِ یخچال را باز می‌کند و یک انار قرمز را می‌بیند. فردای آن روز، در یخچال را باز می‌کند و آن انار قرمز را نمی‌بیند. او می‌فهمد که یخچال امروز با یخچال دیروز متفاوت است. اما نمی‌تواند این تفاوت را بیان کند. پیش مادرش می‌رود و می‌گوید:انار! مادرش می‌گوید:انار نداریم! کودک به یخچال اشاره می‌کند و می‌گوید:انار! مادرش در یخچال را باز می‌کند و می‌گوید:ببین! «انار نیست»! کودک جای خالیِ انار دیروز را نشان می‌دهد و می‌گوید: انار! مادرش می‌خندد و می‌گوید: آها آن انار را می‌گویی! آن را من خوردم! دیروز «انار بود». امروز «انار نیست». کودک آرام می‌گیرد. فردای آن روز، به نزد مادرش می‌رود و این بار، جمله‌ای یاد گرفته است و بیان می‌کند:«انار نیست»! مادرش می‌خندد و چون دیشب از بیرون انار خریده، می‌رود یک انار داخل یخچال قرار می‌دهد و با لبخند به کودک می‌گوید:«انار هست»! کودک انار را برمی‌دارد و خوشحال می‌شود. فردای آن روز، کودک در یخچال را باز می‌کند و انار قرمزی برمی‌دارد و همچنان که دوان دوان به سمت مادرش می‌رود داد و فریاد می‌کند که:«انار هست»! «انار هست»! مادرش هم لبخند می‌زند و تماشا می‌کند! آری آن کودک، اینگونه تفاوت بین هستی و نیستی، یا همان تفاوت بین وجود و عدم را می‌فهمد. اینگونه است که با مفهوم وجود آشنا می‌شود و از این پس آن را به کار می‌بَرَد. همین کودک در دوران دبیرستان، به دوستش می‌گوید:«هری پاتر وجود ندارد»، «خدا وجود دارد» و «فرشته‌ها وجود دارند» و در دوران دانشگاه از استادش می‌پرسد:«آیا خدا وجود دارد»؟ ، «آیا فرشته‌ها وجود دارند»؟و خلاصه حسابی با مفهوم وجود آشنا شده است! به نظر من، نحوه آشنایی ما با مفهوم وجود، چنین است. حال بیا این بار از زاویه‌ای دیگر به موضوع نگاه کنیم. بیا جمله‌ی «برج ایفل وجود دارد» را تحلیل کنیم. خب این جمله مثل این است که بگویی «برج ایفل موجود است». چون موجود بودن را به همان معنای وجود داشتن درک می‌کنیم. اما جمله‌ی «برج ایفل موجود است» با جمله‌ی «مرتضی انسان است» از نظر ساختاری چه تفاوتی دارد؟! هر دو یک موضوع دارند و یک محمول، و یک «است» که در انتهایشان آمده! هر دو قالبِ «الف ب است» را دارند و ساختارشان یکی است. و واقعا چنین است! اکنون بیشتر توضیح می‌دهم. اینجا چند پرسش مهم وجود دارد:ما چرا مفهوم انسان را به مرتضی نسبت می‌دهیم؟ اصلا چه شد که گفتیم «مرتضی انسان است»؟ مرتضی را دیده بودیم و می‌شناختیم، اما «انسان» از کجا آمد؟ لفظ انسان از کجا پدیدار شد؟ و چه شد که این لفظ را اینگونه در جمله «مرتضی انسان است» به کار بردیم؟ خب! به نظرم اینگونه است که من پدرم را می‌بینم، مادرم را می‌بینم، برادرم را، خواهرم را، دوستانم را، موجودات دوپای خیابان‌ها را! متوجه می‌شوم که چیزی هست که انگار همه این‌ها آن چیز را دارند. با استفاده از همه موجودات دوپایی که دیدم، قالبی می‌سازم! پدرم و دوستانم در این قالب جا می‌گیرند، اما مثلا صندلی اتاقم به این قالب نمی‌خورد! بخاری و کتاب و دفترم نیز به این قالب نمی‌خورند! این قالب را «انسان» می‌نامم. هر موجودی که در این قالب قرار بگیرد، «انسان بودن» را به او نسبت می‌دهم و در غیر این صورت، «انسان نبودن» را. برای همین می‌گویم «پدرم انسان است»، «مادرم انسان است»، «مرتضی انسان است»، «رییس‌جمهور کشور فرانسه انسان است»، «صندلی اتاقم انسان نیست»، «پرتقال یخچال خانه‌مان انسان نیست» و ... . «انسان» بودن، چیز مشترکی است بین همه انسان‌ها. به عبارتی، با دیدن تعدادی از انسان‌ها (نه همه‌ی آن‌ها!) من ویژگی‌های مشترکی پیدا کردم و در ذهن خود، قالبی را ساختم که بتوانم همه انسان‌ها را در آن قرار بدهم. این‌گونه بود که مفهوم «انسان» در ذهن من شکل گرفت. همان‌طور که خودت هم دریافته‌ای، مفهوم انسان، امری است کاملا ذهنی و این مفهوم مطلقا ساخته ذهن است و بس. به عبارتی، می‌توانیم این‌طور بپرسیم که در جمله‌ی «مرتضی انسان است»، لفظ انسان به کار رفته. آیا این انسان، خارج از ذهن ما وجود دارد؟ یا وابسته به ذهن ما است؟ به عبارتی، اگر من نبودم و هیچ انسانی نبود و اصلا کره‌ی زمینی وجود نداشت و کلا موجود زنده‌ای در جهان یافت نمی‌شد، آیا باز هم چنین مفهومی واقعیت داشت؟ به نظر من نه! این مفهوم کاملا اعتباری است و اگر تو و هیچ انسانی این مفهوم را نسازد، این مفهوم وجود نخواهد داشت و اگر هم این مفهوم توسط ذهن تو ساخته شود، صرفا در ذهن تو خواهد بود و وابسته به ذهن تو و دیگر وجود خارجی و مستقل از تو نخواهد داشت. پس اینگونه نیست که موجودی به نام «انسان» در جهان خارج از ذهن ما وجود داشته باشد. دقت کن! گاندی وجود دارد، اما انسان وجود ندارد! گاندی مصداقی از مفهوم انسان است، اما انسان، مفهومی کلی است که در ذهن ما ساخته شده است. این انسان، نه قدبلند است، نه قدکوتاه. نه سفید‌پوست است نه سیاه‌پوست. نه زن است نه مرد. اصلا این انسان، «انسان» نیست که بخواهد مرد یا زن باشد!! «انسان»، صرفا یک قالب (مفهوم) ذهنی است (قالب ذهنی است نه انسان!) که ما آن را ساختیم و آنقدر کلی است که هم انسان‌های قدبلند‌ را شامل می‌شود، هم انسان‌های قدکوتاه را، هم انسان‌های سفیدپوست را شامل می‌شود هم انسان‌های سیاه پوست را، هم انسان‌های مرد را شامل می‌شود، هم انسان‌های زن را و ... .البته این نظر که مفهوم انسان کاملا ذهنی بوده و وجود خارجی ندارد، که یک جورهایی همان نظر ارسطو است، مخالفینی هم دارد و مثلا استادِ ارسطو یعنی افلاطون با جهان مُثُلَش مخالف سرسخت این روایت است. اما به هر حال، من با ارسطو هم نظرم. نظر تو چیست؟ حال مفهوم وجود چطور؟ به نظرم مفهوم وجود داشتن یا همان موجود نیز مشابه مفهوم انسان در ذهن ما شکل گرفته است. اما خب کلی‌تر از مفهوم انسان. یعنی چیزهای بیشتری در قالب «موجود» قرار می‌گیرند؛ «پدرم وجود دارد»، «مرتضی وجود دارد»، «صندلی اتاقم وجود دارد»، «خورشید وجود دارد» و ... . به عبارتی، من همه این چیزها را دیده‌ام؛ پدرم را، مرتضی را، صندلی اتاقم را، خورشید را و ... . میان همه آن‌ها گویی چیزی مشترک است! گویی همه آن‌ها چیزی دارند که هری پاتر (احتمالا!) آن را ندارد! گویی همه آن‌ها چیزی دارند که غول چراغ جادو (احتمالا!) آن را ندارد! نام آن چیز را «وجود» می‌گذارم! چیزی که پدرم از آن بهره‌مند است اما هری‌پاتر نه! پس من می‌گویم «پدرم وجود دارد»، «صندلی اتاقم وجود دارد»، اما «هری پاتر وجود ندارد»، «غول چراغ جادو وجود ندارد» و ... . به عبارتی، مفهوم وجود مثل مفهوم انسان است با این تفاوت که وجود کلی‌تر از انسان است؛ یعنی مفهوم انسان، مصداق‌های کمتری از مفهوم وجود دارد و به عبارتی دقیق‌تر، مجموعه مصادیق مفهوم انسان، زیرمجموعه‌ای از مجموعه مصادیق مفهوم وجود است. پس مفهوم وجود نیز کاملا ساخته ذهن من و تو است! وجود، چیزی نیست که خودش مستقلاً واقعیت یا خارجیت داشته باشد! همان‌طور که انسان چنین نبود. مفهوم انسان هم چیزی بود کاملا ذهنی بدون هیچ وجود خارجی. مثلا وقتی می‌گویم «صندلی اتاقم وجود دارد»، چیزی که واقعیت دارد، و ساخته ذهن من نیست، و مستقل از من است، صندلی اتاقم است! نه وجود! بلکه وجود چیزی است که آن را در ذهنم ساخته‌ام و آن را به صندلی اتاقم نسبت داده‌ام. پس وجود امری است اعتباری و آن چیزی که اصالت دارد، ماهیت است! خب! این، تقریباً همه‌ی آن چیزی بود که در مترو به آن اندیشیده بودم و در آخر نیز به همین رسیدم؛ یعنی اصالت ماهیت و اعتباری بودن وجود. درست برخلاف نظر ملاصدرا! آن‌ جرقه‌ که گفتم، همین بود که «مفهوم وجود، ساخته ذهن ماست، درست مانند مفهوم انسان.»اینکه خودم به اصالت ماهیت رسیده بودم و در مترو دانستم که شخصا به اصالت ماهیت معتقد هستم، و نظری بر خلاف نظر ملاصدرا دارم، برایم جالب بود. لذت آن لحظه که به ایده‌‌ی اصالت ماهیت رسیده بودم واقعا شیرین بود. درست بلافاصله بعد از آن که اصالت ماهیت را تایید کردم، از خودم پرسیدم که پس ملاصدرا چه می‌گوید؟! چگونه معتقد است که وجود اصالت دارد؟ یعنی به راستی وجود را امری ذهنی نمی‌داند؟ یعنی وجود را امری واقعی و مستقل از ذهن می‌داند؟ چطور ممکن است؟ چگونه استدلال می‌کند؟ و ... . منتظر بودم هر چه زودتر به کلاس برسم و این اندیشه‌ها را با استاد مطرح کنم. وقتی همه این فرآیند فکری را برایش توضیح دادم، لبخند زد و گفت: اصالت ماهیت دقیقا همین چیزی است که می‌گویی و ملاصدرا دقیقا آن را رد می‌کند! با کنجکاویِ بسیاری پرسیدم:دقیقا چه می‌گوید؟! گفت: اتفاقا خود ملاصدرا هم گفته که من هم در ابتدا مثل شما فکر می‌کردم و معتقد به اصالت ماهیت بودم! اصلاً این، اولین چیزی است که به ذهن می‌رسد و یک جورهایی بدیهی می‌نماید! اما با دقت فلسفی و تامل و تعمق دریافتم که چنین نیست و وجود اصالت دارد نه ماهیت! پرسیدم: چه جالب! خب، حرف حسابش چیست؟ اصالت وجود را چگونه توضیح می‌دهد؟ مثلا، آیا در جمله «مرتضی وجود دارد» معتقد است که آن وجود که به مرتضی نسبت داده‌ایم، وجودی مستقل از ذهن دارد و اعتباری و ساخته ذهن ما نیست؟!آن وجود چطور می‌تواند واقعیت عینی داشته باشد؟! هر چیزی که هست مرتضی است! ما وجود را با ذهن ساخته‌ایم تا به مرتضی نسبت بدهیم همین!استاد با لبخند گفت: «ملاصدرا در اینجا حرف جالب و عجیبی می‌زند؛ می‌گوید جمله‌ی «مرتضی وجود دارد» مَجاز است نه حقیقت! درست مثل اینکه جمله‌ی «ایران کره را بُرد» مجاز است! اما متناظر با هر جمله‌ی مجازی، باید جمله‌ای حقیقی وجود داشته باشد. مثلا متناظر با جمله‌ی مجازی «ایران کره را برد»، جمله‌ی حقیقی زیر وجود دارد:«تیم ملی فوتبال ایران، تیم ملی فوتبال کره را برد»پرسیدم: اگر جمله‌ی «مرتضی وجود دارد» مجاز است، پس حقیقت چیست؟! گفت:به نظر ملاصدرا، آن جمله‌ی حقیقی که متناظر با جمله‌ی مجازی «مرتضی وجود دارد» است، جمله‌ی زیر است:«وجودِ مرتضی وجود دارد»!و آنجا بود که من تازه فهمیدم حرف حساب ملاصدرا و مقصودش از اصالت وجود چیست. همین‌طور فهمیدم این حرف تا چه اندازه عجیب، و البته غریب است! بیا تا کمی حرف او را بشکافیم. ظاهراً ملاصدرا معتقد است این وجود است که جهان خارج را پر کرده و هر چه که هست وجود است و بس! نه تنها ذهنی و اعتباری نیست، بلکه عین واقعیت است و جز وجود واقعیتی نیست. وقتی تو می‌گویی «مرتضی وجود دارد»، در واقع داری مجازی حرف می‌زنی و مجاز می‌گویی. چرا که اصلا مرتضایی نیست! این «وجودِ مرتضی» است که حقیقت دارد و مرتضی (همان ماهیت مرتضی) را ذهن تو ساخته و وجود مرتضی را چنین می‌بیند! مثال خمیر بازی مثال خوبی است؛ در دنیای خمیر بازی، همه چیز خمیر است. هیچ چیزی جز خمیر واقعیت ندارد. اما تو چیزهایی را می‌بینی که شبیه آدمک‌اند، چیزهایی شبیه اسب و پلنگ و ... . آدمک و اسب و پلنگ (ماهیت‌ها) اعتباری‌اند، ساخته ذهن تو هستند! این تویی که فکر می‌کنی اسب یک چیز است و آدمک چیزی دیگر. اما در واقع هر دوی آن‌ها خمیر هستند و یک خمیر است که به شکل‌های مختلف ظاهر شده و تو فکر می‌کنی که اسب و آدمک دو چیز کاملا متفاوتند که هیچ ارتباطی به هم ندارند. اسب و آدمک، صرفا ظهوراتِ مختلف یک چیزند و آن چیز خمیر است. در واقع همه چیز خمیر است، فقط با ظهورات مختلفی ظاهر شده است! داستان وجود نیز از نظر ملاصدرا همین است. در خارج، یک واقعیتِ واحد بیشتر نداریم و آن وجود است. این حرف به «وحدت وجود» شهرت دارد. همین وجود به شکل‌های مختلفی ظاهر شده است. ما موجودات مختلفی را می‌بینیم و اشتباهی فکر می‌کنیم این موجودات از اساس با هم مختلف‌اند. غافل از اینکه یک چیز است که به شکل‌های مختلف درآمده است. ملاصدرا، این به شکل‌های مختلف درآمدن را با مفهوم «تشکیکِ وجود» یا همان «شدت و ضعفِ وجود» توجیه می‌کند. همچنین اکثر مسائل فلسفی را به کمک اصالت وجود حل می‌کند و این‌طور بگویم که اصالت وجود، اساس فلسفه ملاصدرای شیرازی است. او تلاش دارد در اسفار اربعه‌‌اش، برای هر یک از مدعاهایش، برهان اقامه کند. اینکه استدلال‌های او تا چه اندازه قانع‌کننده است، تحقیقی است بر عهده‌ی تو! من نیز اگر فرصتی پیش آمد، سعی می‌کنم بعدا درباره استدلال‌های ملاصدرا مبنی بر اصالت وجود، برایت نامه بنویسم. اما فعلا نظرم این است که ماهیت اصیل است و وجود مفهومی کاملا ذهنی و اعتباری است، و سراسر با نظر ملاصدرا مخالفم. اما هیچ عقیده جزمی در این باره ندارم، و همواره می‌دانم که ممکن است بر خطا باشم. پس اگر فکر می‌کنی که می‌توانی مرا قانع کنی که وجود اصیل است و حرف ملاصدرا حقیقت دارد، حتما استدلالت را با من در میان‌ گذار. لازم می‌دانم به نکته‌ای درباره عبارت «اصالت وجود» اشاره کنم؛ اگر آثار ژان‌پل‌سارتر یا سایر فیلسوفان مکتب اگزیستانسیالیسم را مطالعه کرده باشی، احتمالا با عبارت اصالت وجود برخورد داشته‌ای. اصالت وجودی که اگزیستانسیالیسم از آن سخن می‌گوید معنایی کاملا متفاوت از اصالت وجود صدرایی دارد. پس گمان نکنی که این دو، یک چیز هستند! شاید شباهت‌هایی بسیار اندک داشته باشند اما دو چیزِ کاملا متفاوتند. در واقع، مفهوم اصالت وجود صدرایی، در همان فلسفه اسلامی متولد شده و رشد یافته است. من هیچ فیسلوف غربی را نمی‌شناسم که صریحا درباره این مفهوم نظری داده باشد. خب! به نظرم این نامه به اندازه کافی طولانی شد. نمی‌خواهم بیش از این حوصله‌ات را سر بِبَرم. فقط پیش از پایان لازم است بگویم اکثر مطالبی که اکنون برایت نوشتم، نظرات شخصی خودم بود. ممکن است حتی در فهم رأی ملاصدرا به خطا رفته باشم. یا با بعضی نظراتم جدا مخالف باشی. لطفا هر نکته‌ای به نظرت آمد، به من بگو. از اینکه وقتت را به من سپردی و این نامه را خواندی از تو ممنونم. امیدوارم سودمند افتاده باشد. محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Tue, 03 Jan 2023 11:05:45 +0330 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/httpsvirgooliomohhamadtahmasbi826tamamiatgodel-bbcindpctb6k به من گفته بودی که از مطالعه‌ی رساله‌ی منطقی-فلسفیِ ویتگنشتاین چیزی نصیبت نشد و از شدتِ دشواری این اثر گلایه داشتی! از تو می‌خواهم که خیلی نگران نباشی! فهم رساله او واقعا دشوار است و کمتر کسی است که ویتگنشتاینِ متقدم را به نیکی فهمیده باشد.من هم چند باری با رساله منطقی-فلسفی برخورد داشته‌ام؛ یک بار پیش از مطالعه زبان‌های صوری و منطقِ ریاضی، و چند بار پس از آن. جالب اینجا بود که آشنایی با زبان‌های صوری و منطق ریاضی، به من کمک کرد تا کمی بیش‌تر از مفاهیم دشوارِ رساله سر در بیاورم. از آنجایی که هدف من کمک به توست، بر آن شدم تا برایت نامه‌ای بنویسم و راه ورود به دنیای زبان‌‌های صوری و منطق ریاضی را بر تو هموار کنم. به علاوه، این نامه به تو کمک می‌کند تا «نظریه صدق تارسکی» را نیز بهتر بفهمی، و اگر روزی با کارهای فرگه، راسل و هیلبرت در مبانی ریاضیات برخورد داشتی، راحت‌تر از پسِ فهمِ آن‌ها برآیی. زبان نامه‌ام رسمی است، برای آنکه هر وقتی که خواستی، آن را رسماً به اساتیدِ متخصص نشان دهی تا ایرادات نوشته‌ام را پیدا کنی و برایم بفرستی. از تو می‌خواهم پیش از شروع مطالعه این نامه، نامه‌ی «فرآیند اثبات منطقی و قضیه‌های ناتمامیتِ گودل» را که چندی پیش برایت فرستادم، دوباره بخوانی، چرا که مطالعه‌ی دقیقِ آن را پیش‌فرض گرفته‌ام.قصد دارم مفهوم زبان‌ صوری را معرفی کنم. یکی از اهداف زبان صوری، این است که ما را از بند زبان‌‌های طبیعی مانند زبان‌های فارسی و انگلیسی و ... بِرَهانَد. چرا که این زبان‌ها، از دقت لازم برخوردار نیستند و صحبت کردن در چنین زبان‌هایی، ممکن است مثلا در هنگام بحث‌های دقیقِ ریاضی و فلسفی، مشکلاتی را در فهمِ معنا به وجود آورند. پژوهش‌های فلاسفه تحلیلی از جمله فرگه، راسل و ویتگنشتاین، به مشکلات زبان طبیعی و استفاده نابجا از آن‌ها به نیکی اشاره می‌کند و برای مطالعه بیشتر در این باره، خوب است تا بعدا بعضی از آثار آن‌ها را مطالعه کنی. اما زبان صوری چگونه ساخته می‌شود؟ در ادامه تلاش می‌کنم تا این پرسش را پاسخ دهم.زبان فارسی را در نظر بگیر. اساس زبان فارسی، و البته هر زبان دیگری، «الفبا»ی آن است. بعد که الفبای زبان فارسی را مشخص کردیم، کوچک‌ترین واحد عبارت‌های معنادار یا همان واژه‌ها را مشخص می‌کنیم. مثلا «ااااا‌ت‌ش‌ش‌ل‌ی‌ی‌ی‌گ» درست است که از الفبای زبان فارسی تشکیل شده، اما صرفا یک «عبارت» است، «واژه» نیست. بعد که واژه‌ها معلوم شدند، قواعد «جمله»سازی مشخص می‌شوند‌؛ مثلا «را ریاضی دارد انسان هواپیما درخت» از کنار هم قرار گرفتن چند واژه تشکیل شده، اما «جمله» نیست.ما هم قصد داریم برای ساخت یک زبان صوری و منطقی، فرآیند مشابهی را طی کنیم؛ یعنی ابتدا «الفبا» را معرفی کنیم، سپس مفهوم «عبارت» و «واژه» را تعریف کنیم، و در پایان قواعد «جمله»سازی را شرح دهیم.البته زبان فارسی، درست مثل زبان انگلیسی، عربی و ...، یک زبان طبیعی است و در بستر تاریخ، فرهنگ و شرایط مختلف دیگر شکل گرفته است. این‌گونه نیست که قاعده مشخص و جامعی برای جداسازی عباراتی که واژه هستند از عباراتی که واژه نیستند داشته باشیم. اما در یک زبان صوری، همان‌طور که خواهی دید، همه چیز به طور دقیق تعریف می‌شود و خواهیم دانست دقیقا کدام عبارت‌ها، واژه هستند و کدام عبارت‌ها واژه نیستند. همین‌طور دقیقا معلوم می‌شود کدام ترکیب از واژه‌ها جمله است، و کدام ترکیب از واژه‌ها جمله نیست. در یک زبان صوری، مجموعه زیر را مجموعه نمادهای زبان می‌نامند:L={F₁, ... , Fₙ, R₁, ... , Rₘ, C₁,..., Cₖ}که در آن Fᵢها نماد تابعی، Rᵢها نماد رابطه‌ای و Cᵢها نماد ثابت‌‌ هستند. هر کدام از Fᵢها می‌توانند نماد تابعیِ یک متغیره، دو متغیره یا در حالت کلی n متغیره باشند. همین‌طور هر کدام از Rᵢها می‌توانند نماد رابطه‌ای یک جایی (یک موضعی)، دو جایی یا در حالت کلی n جایی باشند. چند متغیره بودن نمادهای تابعی، و چند جایی بودن نمادهای رابطه‌ای، باید همان ابتدا دقیقا مشخص شود. یعنی مشخص باشد که F₁ چند متغیره است، R₂ چندجایی است و ... .اما هدف از این نمادگذاری‌ها چیست؟ نکته اینجاست که یک زبان صوری، می‌خواهد درباره یک جهانِ مشخص حرف بزند. منظور از جهان چیست؟ منظور، مجموعه‌ای از اشیاء است. آن اشیاء می‌توانند انسان‌ها باشند، پرنده‌ها باشند، انسان‌ها و پرنده‌ها باشند، اعداد طبیعی باشند، اعداد گویا باشند یا ... . البته یک زبان صوری، مشخص نمی‌کند که آن جهان دقیقا کدام یک از این جهان‌ها است؛ بلکه این آزادی را می‌دهد که تو هر جهانی را که دوست داشتی انتخاب کنی. پس برای فهمِ بهتر می‌توانی جهان را مجموعه‌ای از متغیرها تصور کنی که در واقع هر یک از آن‌ متغیرها، بیان کننده‌ی یک شیئ در جهان هستند. مثلا فرض کن a یک شیئ در جهان باشد. گاهی پیش می‌آید که می‌توانیم با داشتنِ همین a، به اشیائی دیگر در جهان اشاره کنیم.مثلا اگر جهان مورد بحث مجموعه همه انسان‌ها باشد، در این صورت a یک انسان است و پدرِ a و مادرِ a به اشیائی دیگر در همان جهان اشاره می‌کنند؛ در واقع «پدرِ x» و «مادرِ x» هر کدام یک تابع از مجموعه همه انسان‌ها به مجموعه همه انسان‌ها هستند. اینجاست که نمادهای تابعی وارد کار می‌شوند. همان‌طور که گفتم، نمادهای تابعی، به ما کمک می‌کنند تا به اشیاء بیشتری در جهان مورد بحثمان اشاره کنیم. فرض کن جهان مورد بحث ما مجموعه همه انسان‌ها باشد. در این صورت، مثلا F₁ می‌تواند نماد تابعیِ یک متغیره‌ای در نظر گرفته شود که هدفش، ترجمه عبارتِ فارسیِ «پدرِ x» باشد.و F₂ می‌تواند نماد تابعیِ یک متغیره‌ای در نظر گرفته شود که هدفش، ترجمه عبارتِ فارسیِ «مادرِ x» باشد.یا مثلا F₃ می‌تواند نماد تابعیِ دو متغیره‌ای در نظر گرفته شود که هدفش، ترجمه عبارتِ فارسیِ «پدرِ x و y» باشد. در این صورت F₃ دو ورودی x و y را می‌گیرد و یک خروجی تحویل می‌دهد که در اینجا، خروجی، «پدرِ x و y» است. خروجی را در زبان صوری به شکل F₃(x,y) می‌نویسیم. روشن است که F₃(x,y) هیچ خبری را بیان نمی‌کند و صرفا دارد به یک شیئ در جهان اشاره می‌کند. پس بی‌معناست که بگوییم F₃(x,y) درست است یا غلط است؛ چرا که اصلا خبری (حکمی) بیان نشده که بخواهیم به آن درستی یا غلطی را نسبت دهیم.گاهی، بین اشیاءِ جهان مورد بحث، رابطه‌ای (نسبتی) برقرار است. مثلا وقتی جهان، مجموعه همه انسان‌ها باشد، و a و b دو انسان باشند و a برادر b باشد، بین a و b رابطه برادری برقرار است. در این صورت، در زبان طبیعی می‌گوییم «a برادر b است»؛ در واقع «برادری» یک رابطه دو جایی روی مجموعه‌ همه انسان‌ها است. اینجاست که نمادهای رابطه‌ای برای ترجمه این عبارت‌ها از زبان طبیعی به زبان صوری وارد کار می‌شوند. مثلا رابطه R₁ می‌تواند رابطه‌ای دو جایی باشد که هدفش ترجمه‌ی جمله «x برادرِ y است» از زبان فارسی به زبان صوری باشد. در این صورت می‌نویسیم R₁(x,y) که یعنی x با y رابطه R₁ دارد.همین‌طور، اگر a و b و c سه انسان باشند، جمله‌ی «a قدبلندتر از b و قدکوتاه‌تر از c است» با استفاده از یک نماد رابطه‌ای سه جایی می‌تواند به زبان صوری ترجمه شود. و اگر a یک انسان باشد، آنگاه جمله «a سیاه‌پوست است» با استفاده از یک نماد رابطه‌ای یک جایی می‌تواند به زبان صوری ترجمه شود و ... . همان‌طور که احتمالا دقت کرده‌ای، نمادهای رابطه‌ای، در حال بیان یک خبر هستند؛ مثلا R₁(x,y) می‌گوید: «بین x و y رابطه R₁ برقرار است». اگر نماد رابطه‌ای R₁ به رابطه‌ی «برادری» بین انسان‌ها تعبیر شود، R₁(x,y) دارد می‌گوید: «x برادر y است». خب اگر x یک انسان باشد و y انسان دیگری باشد، یا «x برادر y است» یا «x برادر y نیست». پس یا R₁(x,y) درست است یا غلط. پس هنگام بحث از رابطه‌ها، صحبت از درستی و غلطی معنادار است؛ بعدا به موشکافیِ معنا باز خواهم گشت.هر کدام از نمادهای ثابتی که در مجموعه L معرفی شده، قصد دارند تا به شیئی کاملا مشخص در جهان اشاره کنند. مثلا C₁ می‌تواند فقط برای این وضع شده باشد که به شخص شکسپیر در جهان انسان‌ها اشاره کند، اما در یک زبان صوری، نه در یک زبان طبیعی. ممکن است هنوز در فهمِ این نمادها ابهام داشتی باشی؛ عیبی ندارد. به مطالعه نامه ادامه بده؛ تا حد زیادی اطمینان دارم که هر چه جلوتر بروی، این نمادها را بهتر درک خواهی کرد. هر یک از اعضای L، جزئی از الفبای زبان هستند.سه مورد زیر را هم جزئی از الفبای زبان در نظر می‌گیریم:۱. متغیرهای فردی: x ، y ، z و ... .۲. هابندهای منطقی: ∧، ∨، ¬،⇒۳. چَنداگَر(سور)ها: ∀، E۳. پرانتزها: ( ، )ممکن است بپرسی این‌ها چیستند. این‌ها صرفا نماد هستند؛ معنایی ندارند! بعدا به آن‌ها معنایی را نسبت خواهیم داد. تعریف عبارت: به هر دنباله متناهی که اعضای آن دنباله از الفبای زبان انتخاب شده باشند، یک عبارت می‌گوییم؛ مثلا دنباله زیر یک عبارت است:x y⇒∧ ) ¬ ( ∀مفهوم عبارت، بیش از اندازه کلی است؛ برای همین موجودات نامطلوبی مانند مثال بالا را در بر می‌گیرد. برای همین، روی عبارت‌ها محدودیت می‌گذاریم تا «جمله»ها را بسازیم.اما برای ساختن جمله، ابتدا باید مفهوم «واژه» (term) را تعریف کنیم. این مفهوم را به شکلی استقرایی تعریف می‌کنند:۱. هر متغیر فردی یک واژه است.۲. هر نماد ثابت، یک واژه است. ۳. اگر t₂، t₁ و ... و n ، tₙ واژه باشند و f یک نماد رابطه‌ای n جایی باشد، آنگاه f(t₁,t₂,...,tₙ) یک واژه است. همان‌طور که احتمالا دقت کرده‌ای، هر واژه قرار است به شیئی در جهان اشاره کند.اکنون مفهوم «فرمول» را نیز به شکلی استقرایی تعریف می‌کنیم:(یک جمله، حالت خاصی از یک فرمول است که آن را معرفی خواهم کرد)۱. اگر t₁ و t₂ واژه باشند، t₁=t₂ یک فرمول است.۲. اگر t₂، t₁ و ... و n ، tₙ واژه باشند و R یک نماد رابطه‌ای n جایی باشد، آنگاه R(t₁,t₂,...,tₙ) یک فرمول است. ۳. اگر A و B فرمول باشند، هر یک از عبارت‌های زیر فرمول هستند:(¬A)(A∧B)(A∨B)(A⇒B)۴. اگر A یک فرمول باشد، عبارات زیر فرمول هستند:(∃x A)(∀x A)فرمول‌هایی را که به روش ۱ یا ۲ ساخته می‌شوند، «فرمول‌ اتمی» می‌گوییم؛ چرا که همه فرمول‌های دیگر، یعنی فرمول‌هایی که به روش ۳ یا ۴ ساخته می‌شوند، از همین فرمول‌ها تشکیل شده‌اند؛ درست مثل اینکه در نگاهِ نظریه اتم‌ها، هر ماده‌ای از کنار هم قرار گرفتنِ اتم‌ها تشکیل شده است. متغیر x را در فرمول B «متغیر پابند» گوییم هرگاه ∃xیا ∀xدر فرمول B قرار داشته باشد. متغیر x را در فرمول A «متغیر آزاد» گوییم هرگاه پابند نباشد. (این تعریف، تعریف دقیق متغیر آزاد و پابند نیست، و از نظر تکنیکی اشکالاتی دارد، اما به طور غیررسمی واقعا تعریف خوبی است و کارمان را راه می‌اندازد!)فرمول A را با A(x₁,...,xₙ) نمایش می‌دهیم، هرگاه متغیرهای آزاد به کار رفته در A، همان x₁،...،xₙ باشد. یک فرمول را «جمله» می‌گوییم، هرگاه در آن فرمول هیچ متغیر آزادی به کار نرفته باشد. اکنون می‌توانیم به راحتی عبارت‌هایی را که فرمول هستند از عبارت‌هایی که فرمول نیستند تفکیک کنیم. مثلا عبارت زیر که در آن R یک نماد رابطه‌ای یک جایی است، یک فرمول است:B(t,z): ∀x ((R(x))∧(¬(t=z)))زیرا: (t=z) فرمول است، در نتیجه (t=z)¬ نیز فرمول است. و چون (R(x فرمول است، پس (R(x))∧(¬(t=z))نیز فرمول است، و در نتیجه ∀x ((R(x))∧(¬(t=z)))نیز فرمول است. در فرمول B، متغیر‌های t و z آزاد هستند، زیرا پابند هیچ چنداگری نیستند (منظور از چنداگر، همان ∃ یا ∀ است که به E چنداگر وجودی و به ∀ چنداگر جهانی می‌گویند). اما متغیر x متغیری پابند است، زیرا پابندِ یک چنداگر است. چون B متغیر آزاد دارد، پس فرمولی است که جمله نیست. اما فرمول زیر، جمله است:C: ∀x (¬(R(x))زیرا این فرمول، هیچ متغیر آزادی ندارد.دقت کن که در این‌جا همه چیز بی‌معناست! منظور از بی‌معنا بودن این است که مثلا نباید تصورت از B∧A این باشد که «هم A درست است، هم B»! یا نباید ∀x (R(x))را این‌گونه تصور کنی که «x هرچه که باشد ویژگی R را دارد». پس این‌ها را چطور باید تصور کنی؟ صرفا چند نماد بی‌معنا که کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند! آری بعدا قصد داریم به این فرمول‌ها معنا ببخشیم، اما نباید در مرحله‌ی تعریف، برای آن‌ها معنایی قائل شویم. اکنون که زبان صوری معرفی شد، می‌خواهیم قواعد منطق و استنتاج را اضافه کنیم. این قواعد به ما کمک می‌کنند که از چند فرمول داده شده، فرمول جدیدی را نتیجه بگیریم. همین قواعد هستند که به ما کمک می‌کنند تا مفهوم «اثبات» را صورت‌بندی کنیم.من قصد ندارم وارد بحث‌های تخصصیِ این قسمت شوم؛ همین‌که بدانی قواعد منطق و استنتاج برای چه وضع شده‌اند، برای مطالعه و فهم ادامه نامه کافی است. این قواعد در واقع همان «بنداشت‌های منطق و استنتاج» هستند که پیش‌تر در نامه قبلی به طور غیر رسمی درباره آن‌ها سخن گفته بودم. این بنداشت‌ها را می‌پذیریم، تا منطق کلاسیکی را که در ذهن داریم، به طور دقیق صورت‌بندی کرده باشیم. مثلا، معمولا یکی از کارکردهای منطقی ذهن ما این است که از جمله‌ «اگر باران ببارد، آنگاه پشت بام خیس می‌شود» و جمله «باران آمده است» نتیجه می‌گیرد «پشت بام خیس شده است»؛ این‌که چرا ذهن ما این‌طور عمل می‌کند، پرسشی است که مربوط به فلسفه، علوم شناختی و روانشناسی می‌شود و محل بحث ما نیست. به هر حال، این کارکرد منطقی ذهن، در قاعده‌ «قیاس استثنائی» صورت‌بندی شده است؛ و قاعده قیاس استثنائی این‌طور بیان می‌شود اگر جمله A را داشته باشیم و جمله A⇒B را نیز داشته باشیم، اجازه داریم جمله B را نتیجه بگیریم.ما همیشه قاعده بالا را فرض می‌گیریم و از آن استفاده می‌کنیم. دقت کن که این قاعده را بدون اثبات پذیرفته‌ایم؛ به عبارتی، قیاس استثنائی یک بنداشت است. همین‌طور همه قواعد دیگر منطق و استنتاج، بنداشت هستند؛ بنداشت‌هایی که هدفشان صورت‌بندی کردن قواعد منطقیِ ذهن ماست، و کمک کردن به ما برای نتیجه گرفتن جمله‌های جدید. لازم به ذکر است که اگر تو بعضی از این بنداشت‌ها را تغییر دهی، یعنی بعضی جمله‌های دیگر را به عنوان بنداشت‌های منطق و استنتاج در نظر بگیری (هیچ مانعِ جدی برای انجام این کار وجود ندارد!)، منطق‌هایی بدست می‌آوری که به منطق‌های غیرکلاسیک معروفند؛ البته من در این نوشتار، به این منطق‌ها کاری ندارم و در سرتاسر نوشته، سر و کار ما با منطق کلاسیک است؛ یعنی همان قواعد منطق و استنتاج رایجی که می‌شناسیم.تنها چیزی که در الفبای زبان صوری ممکن است تغییر کند، اعضای مجموعه L است. ممکن است تو مجموعه L را یک مجموعه تک عضوی بگیری که تنها شامل یک نماد رابطه‌ای یک جایی باشد. ممکن است شخص دیگری، مجموعه L را مجموعه‌ای فرض کند که تنها شامل یک نماد تابعی سه متغیره و یک نماد ثابت باشد و ... . در واقع، اعضای مجموعه L، همان مفاهیم اولیه هستند که در ابتدای نامه‌ی «فرآیند اثبات منطقی...» به طور مفصل و کمی غیر رسمی درباره آن‌ها نوشتم. بنابراین وقتی مجموعه L را تغییر می‌دهی، در واقع داری مفاهیم اولیه‌ را تغییر می‌دهی. البته چند مفهوم اولیه هست، که L را هر مجموعه‌ای بگیری، باز هم این مفاهیم اولیه، فرض می‌شوند. یکی از آن مفاهیم، مفهومِ «وجود» است. وجود، مفهومی اولیه است که چون در همه زبان‌های صوری فرض می‌شود، آن را عضوی از مجموعه L نمی‌دانیم؛ صوری کردن مفهوم وجود را، چنداگر وجودی به عهده می‌گیرد. مثلا فرمول زیر: ∃x (x=x)بیان می‌کند که حداقل یک عضو وجود دارد.مفهوم اولیه دیگری که همواره فرض می‌شود، مفهوم برابر بودن یا همان رابطه «برابری» است. این مفهوم نیز مفهومی اولیه است که البته درست مثل مفهوم وجود، بحث‌های منطقی-فلسفی زیادی را به دنبال خود می‌کشد. این رابطه‌ی دو جایی چون در هر L که تصور کنی فرض می‌شود، معمولا به عنوان عضوی از L در نظر گرفته نمی‌شود. البته بعضی نیز آن را عضوی از L می‌گیرند که این تا اندازه‌ای به سلیقه نویسنده بستگی دارد. من نیز در این‌جا آن را عضوی از L در نظر نمی‌گیرم. خلاصه لازم است بدانی که L هر چه باشد، عبارتِ x=y واقعا یک فرمول است که هدفش بیان این حقیقت است که نام x و نام y، هر دو به یک شیئ واحد در جهان اشاره می‌کنند.همان‌طور که گفتم، انتخاب‌های مختلفی برای L وجود دارد. فرض کن مجموعه L هیچ عضوی نداشته باشد؛ به عبارتی، فرض کن مجموعه L، همان مجموعه تهی باشد. در این صورت، تنها فرمول اتمی که می‌توانیم بنویسیم، فرمولی به شکل x=y است. بنابراین همه فرمول‌ها را که بشکافیم و تجزیه کنیم، به فرمول‌های تساوی، مانند فرمول x=y می‌رسیم. شاید تصور کنی که در چنین زبانی، هیچ چیز مفیدی قابل بیان نیست. اما این تصور درست نیست؛ مثلا، در همین زبان، می‌توانیم جمله‌ی «حداقل سه چیز وجود دارد» را به این شکل بیان کنیم: ∃x∃y∃z (¬(x=y) ∧ ¬(x=z) ∧ ¬(y=z))فرمول بالا، یک جمله است، زیرا هیچ متغیر آزادی ندارد. در نوشتن این جمله، بعضی پرانتزها برای کوتاه‌تر شدن عبارت، حذف شده‌اند‌. اگر می‌خواستیم دقیق‌تر بنویسیم، باید پرانتزهای بیشتری می‌گذاشتیم. معمولا هنگامی که ابهامی ایجاد نشود، پرانتز‌ها را تا حدامکان حذف می‌کنیم، تا عبارت نوشته شده، ساده‌تر خوانده شده و فهم شود. دقت کن که جمله بالا، صرفا یک رشته از نمادهای صوری بوده و بی‌معنا است! اما معنایی که می‌توانیم به آن نسبت دهیم، این است که حداقل سه چیز وجود دارد. بعدا درباره «معنا» بیش‌تر خواهم گفت.در این زبان، علاوه بر جمله بالا، می‌توانیم جمله «حداکثر سه چیز وجود دارد» را نیز بیان کنیم. همین‌طور، می‌توانیم بیان کنیم که «دقیقا سه چیز وجود دارد».اکنون پرسشی که مطرح می‌شود این است که چند چیز وجود دارد؟ پاسخ این است که معلوم نیست! زیرا بنداشت‌هایی که اکنون داریم، درباره تعداد موجودات حرفی نمی‌زنند! اصلا طبیعت منطق نیز همین است که هیچ تعهد هستی‌شناسانه نداشته باشد. مثلا منطق، از آن جهت که منطق است، ادعا نمی‌کند که شیئی وجود دارد یا نه، و خب از او انتظار هم می‌رود که چنین ادعایی نکند. اینکه آیا شیئی وجود دارد یا نه، و اگر وجود دارد چند شیئ وجود دارد، پرسشی نیست که وظیفه منطق، پاسخ دادن به آن باشد. پاسخ چنین پرسش‌هایی را باید‌ در علوم دیگر جست‌وجو کرد. منطق، صرفا قواعدِ کلیِ بیان مفاهیم و استنتاج جمله‌های جدید از جمله‌های پذیرفته شده را بیان می‌کند؛ منطق قدیم که همان منطق ارسطو است چنین روحیه‌ای داشته، و منطق جدید نیز که همان منطق فرگه یا منطق ریاضی است، چنین روحیه‌ای دارد. به عبارتی دیگر، منطق، فی نفسه، ماهیتی «اگر-آنگاهی» دارد و مثلا می‌گوید اگر جمله A را بپذیری آنگاه باید جمله B را نیز بپذیری. اما هیچ وقت به تو نمی‌گوید که جمله A را بپذیر یا نه. نمی‌گوید جمله A درست است یا نه. می‌گوید اگر به هر طریقی A را پذیرفتی، B را نیز باید بپذیری. پس بنداشت‌هایی که اکنون می‌پذیریم، صرفا بعضی از فرمول‌های ابتداییِ منطق و چند قاعده‌ی استنتاج هستند. من آن‌ها را دقیقا ننوشتم، چون نمی‌خواستم وارد جزئیات این قسمت شوم. برای آنکه آن‌ها را دقیقا ببینی، به مرجعی که در انتهای نامه برایت نوشته‌ام، مراجعه کن.درست است که منطق هیچ تعهد هستی‌شناسانه ندارد، اما ما، مثلا می‌توانیم فرض کنیم که حداقل سه چیز وجود دارد! در این صورت، باید جمله «حداقل سه چیز وجود دارد» را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم! یعنی جمله‌ی a: ∃x∃y∃z (¬(x=y) ∧ ¬(x=z) ∧ ¬(y=z))را به بنداشت‌هایمان اضافه کنیم. برای این‌که در نوشتن‌هایمان صرفه‌جویی کنیم، از این پس، هر زمان می‌گوییم بنداشت، منظورمان بنداشت‌هایی غیر از بنداشت‌های منطق و استنتاج است. بنداشت‌های منطق و استنتاج را، یک بار برای همیشه در نظر گرفته‌ایم و همواره از آن‌ها استفاده خواهیم کرد. بنابراین، در این مثال، مجموعه T={a} مجموعه همه بنداشت‌هایمان است. یعنی صرفا فرض کرده‌ایم که «حداقل سه چیز وجود دارد» (به علاوه بنداشت‌های منطق و استنتاج که همیشه آن‌ها را مفروض گرفته‌ایم).اکنون که زبان صوری را ساختیم، آماده هستیم تا «دستگاه هندسه وقوع» را که در نامه «فرآیند اثبات منطقی...» به زبان فارسی معرفی کردیم، در این زبانِ صوری بیان کنیم و از بند زبان فارسی یا انگلیسی یا ... برهیم. مجموعه L={W, P, ∈} را که در آن W و P رابطه‌هایی یک جایی و ∈ رابطه‌ای دو جایی است در نظر می‌گیریم و بنداشت‌های زیر را می‌پذیریم؛بنداشت اول:∀x [ (W(x)∨P(x)) ∧ ¬(W(x)∧P(x)) ]بنداشت دوم:∀x∀y (x∈y⇒P(x)∧W(y))بنداشت سوم:∀x∀y [ (P(x)∧P(y)∧¬(x=y))⇒( ∃z (W(z)∧(x∈z)∧(y∈z)) ) ∧ ( ∀t ((W(t)∧(x∈t)∧(y∈t))⇒(t=z) ) ]بنداشت چهارم:∀x [ (W(x)) ⇒ ∃y∃z (P(y)∧P(z)∧¬(y=z)∧(y∈x)∧(z∈x)) ]بنداشت پنجم:∃x∃y∃z[ (P(x)∧P(y)∧P(z)∧(¬(x=y) ∧ ¬(x=z) ∧ ¬(y=z))∧( ∀t (W(t)) )⇒(¬((x∈t)∧(y∈t)∧(z∈t))) ]همان‌طور که می‌بینی، در این‌جا همه چیز صوری است و هر چیزی که نوشته می‌شود، تنها رشته‌ای از نمادهای بی‌معنا است. در واقع این‌ نمادها، ترجمه‌ای از زبان فارسی به زبان صوری هستند. خط بودن را به W، نقطه بودن را به P، و واقع بودن را به ∈ ترجمه کرده‌ایم. یعنی وقتی می‌نویسیم (W(x، معادل فارسی آن این است که x یک خط است، و وقتی می‌نویسیم (P(x، معادل فارسی آن این است که x یک نقطه است، و وقتی می‌نویسیم x∈y معادل فارسی آن این است که نقطه x روی خط y واقع است. بنداشت اول بیان می‌کند که:هر متغیر فردی، بالاخره یا خط است یا نقطه، و امکان ندارد که هم خط باشد و هم نقطه.بنداشت دوم بیان می‌کند که:وقتی می‌نویسیم x∈y، آنگاه x حتما نقطه است و y حتما خط است. بنداشت سوم بیان می‌کند که:اگر x و y دو نقطه باشند، آنگاه فقط یک خط مانند z وجود دارد که نقاط x و y روی z واقع هستند. بنداشت چهارم بیان می‌کند که:اگر x یک خط باشد، آنگاه حداقل دو نقطه مانند y و z وجود دارند به طوری که y و z روی x واقع‌اند.بنداشت پنجم بیان می‌کند که:سه نقطه مانند x و y و z وجود دارند به طوری که t هر خطی باشد، حداقل یکی از نقاط x یا y یا z روی این خط قرار ندارد. با استفاده از بنداشت‌های منطق و استنتاج، می‌توان از پنج بنداشت بالا، جمله‌های جدیدی را نتیجه گرفت؛ مثلا جمله‌ زیر:∃x P(x)که بیان می‌کند حداقل یک نقطه وجود دارد.و جمله زیر:∃x W(x)که بیان می‌کند حداقل یک خط وجود دارد. و ...این نتیجه‌گیری‌ها را اثبات یا برهان می‌نامیم. بنابراین اثبات را می‌توان بدین شکل تعریف کرد:تعریف اثبات:فرض کن L مجموعه زبان باشد، T مجموعه‌ای از جمله‌ها باشد که در زبان L نوشته شده‌اند، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است.یک اثبات برای جمله A در T، دنباله‌ای متناهی از فرمول‌ها مانند دنباله a₁, a₂, ... ,aₙ است که شرایط زیر را دارد:۱. فرمول aₙ، همان جمله A است.۲. به ازای هر i که بزرگ‌تر مساوی 1 و کوچک‌تر مساوی n باشد، فرمول aᵢ یا عضوی از T است، یا یکی از فرمول‌های منطق است که همان ابتدا به عنوان بنداشت پذیرفته بودیم، یا با استفاده از قواعد استنتاج، از جمله‌های a₁, a₂, ... ,aᵢ₋₁ نتیجه شده است. تعریف قضیه: فرض کن L مجموعه زبان باشد، T مجموعه‌ای از جمله‌ها باشد که در زبان L نوشته شده‌اند، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است. می‌گویند A یک قضیه در T است، هرگاه در T اثباتی برای جمله A وجود داشته باشد.همان‌طور که می‌بینی، فرآیند اثبات نیز فرآیندی کاملا صوری است و صرفا رشته‌ای از نمادهای صوری و بی‌معنا هستند که در اینجا نقش بازی می‌کنند. مثلا بسیاری از قضیه‌های هندسه را می‌توان در همین دستگاه صوریِ هندسه وقوع که معرفی کردیم، به اثبات رساند. یعنی می‌توانیم یک کتاب هندسه بنویسیم که در آن هر چیزی که می‌بینیم، از حروف الفبای زبان صوری تشکیل شده باشد؛ بدون هیچ شکل و نموداری! اما معمولا چنین کتاب هندسه‌ای را پیدا نمی‌کنی. دلیل این موضوع هم روشن است؛ چرا که خواندنِ متنی که به زبان صوری نوشته شده است، برای انسان کار پیچیده‌ای است؛ درست برعکس کامپیوتر! به علاوه، وقتی جمله‌ی ساده‌ای را از زبان فارسی به زبان صوری ترجمه می‌کنیم، ممکن است حجم جمله ترجمه شده چندین برابر حجم جمله فارسی باشد. بنابراین ترجیح می‌دهیم اثبات‌هایمان را به زبان فارسی یا انگلیسی بنویسیم، برای اینکه هم خواندن و فهم آن ساده‌تر باشد، هم در حجم نوشتن‌هایمان صرفه جویی کنیم. اما برای اینکه از دایره منطق خارج نشویم، باید به طریقی این اطمینان را به خود ببخشیم که اثباتمان به زبان صوری «قابل ترجمه» است. ابداعِ زبان‌های صوری، برای علوم کامپیوتر نیز بیش از اندازه مفید است؛ زیرا همان‌طور که دیدی، زبان‌های صوری با ماهیتی که دارند، خوراک کامپیوتر‌ها هستند. کامیپوتر نمی‌فهمد نقطه چیست و خط چیست، و شهودی که ما مثلا از مفاهیم هندسی داریم، او (احتمالا!) ندارد. اما می‌توانیم برای او زبانی معرفی کنیم (مثلا همین زبان صوری) و قواعد استنتاجی را برایش تعریف کنیم، که بتواند بدون اینکه بداند خط چیست و نقطه چیست، همان قضیه‌هایی را از هندسه اثبات کند که ما اثبات می‌کنیم! واقعا چنین چیزی ممکن است؟ به یک معنا، بله! برای مطالعه بیشتر درباره ارتباط بین زبان‌های صوری و علوم کامپیوتر، تحقیق درباره‌ی پژوهش‌های آقای چِرچ و آقای تورینگ، و جست‌وجوی مفاهیم محاسبه‌پذیری و تصمیم‌پذیری، می‌تواند برایت راهگشا باشد. همین‌طور توصیه می‌کنم فیلم the imitation game را که درباره بخشی از زندگی آلن تورینگ است ببینی. اما به هر حال پرسش مهم این‌جاست که نقش «معنا» (semantic) چه می‌شود؟ تا کنون هرچه که گفتیم، مربوط به زبان صوری یا به عبارتی مربوط به «نحو» (syntax) بود. آیا بالاخره در یک دستگاه منطقی، معنا جایگاهی دارد؟! چگونه راهِ معنا را باز کنیم؟در ادامه، با بررسی یک مثال مهم و کاربردی از یک دستگاه منطقی، به پرسش‌های بالا پاسخ می‌دهم.مجموعه‌ L={*,e} را در نظر بگیر که در آن * یک نماد تابعی دو متغیره و e یک نماد ثابت است. بیا در این زبان، بنداشت‌های زیر را بپذیریم:(برای خلاصه نویسی، به جای (x,y)* می‌نویسم: x*y)بنداشت اول:a: ∀x∀y∀z [ x*(y*z)=(x*y)*z ]بنداشت دوم:b: ∀x [ (x*e=e*x)∧(x*e=x) ]بنداشت سوم:c: ∀x∃y [ (x*y=y*x)∧(x*y=e) ]دستگاه بالا را، «دستگاه گروه‌ها» می‌نامند.در واقع، بنداشت اول، خاصیت شرکت‌پذیری را بیان می‌کند، بنداشت دوم، وجود عضو همانی را تضمین می‌کند و می‌گوید عضو همانی، همان e است، و بنداشت سوم، وجود عضو وارون را برای هر عضوی تضمین می‌کند. نمادهای e و * صرفا نمادهایی صوری هستند و هیچ معنایی ندارند. همین‌طور تمام بنداشت‌های بالا هم کاملا صوری هستند. حال می‌خواهیم جهانی واقعی پیدا کنیم، که این مفاهیم و جملات بی‌معنا، در آن جهان، معنادار شوند. مثلا یکی از آن جهان‌های واقعی، جهان اعداد طبیعی است. جهان اعداد طبیعی (N)، به همراه عمل جمع معمولی اعداد طبیعی (+) برایمان جهانی شناخته شده است. در واقع عمل +، یک تابع دو متغیره از N×N به N است. بیا در جهان N، نماد تابعیِ * را به عمل +، و نماد ثابت e را به عدد 1 تعبیر کنیم. پس مفاهیمِ صوریِ اولیه، یعنی نماد تابعی * و نماد ثابت e، اکنون به چیزهایی واقعی نسبت داده شده‌اند. همین‌طور هابند‌های منطقی و چنداگرهای عمومی و وجودی را به همان تصوراتی که در ذهن داریم ارجاع می‌دهیم؛ یعنی «∧» را به معنای «و» در نظر می‌گیریم، «∨» را به معنای «یا»، «¬» را به معنای نقیض، «⇒» را به معنای «آنگاه»، «∀» را به معنای «به ازای هر» و «E» را به معنای «وجود دارد» در نظر می‌گیریم. اکنون تمام سه بنداشت نظریه گروه‌ها، در ساختارِ (N,+,1) جملاتی معنادار و واقعی قلمداد می‌شوند. مثلا بنداشت اول، چنین معنایی می‌یابد:برای هر سه عدد طبیعی مانند x و y و z داریم: x+(y+z)=(x+y)+z و این جمله، واقعا درست است! چرا که عمل جمع در اعداد طبیعی خاصیت شرکت‌پذیری دارد. بنداشت دوم، چنین معنایی می‌یابد:برای هر عدد طبیعی مانند x داریم:(x+1=1+x) و نیز داریم:(x+1=x)اما این جمله غلط است! چون در جهان اعداد طبیعی، داریم: 3=1+2. در حالی که این جمله می‌گوید هر عدد طبیعی را که با 1 جمع کنی، خود آن عدد حاصل می‌شود. بنداشت سوم، چنین معنایی می‌یابد:برای هر عدد طبیعی مانند x، عددی طبیعی مانند y وجود دارد به طوری که:(x+y=y+x)و (x+y=1)اما این جمله هم غلط است! چرا که در جهان اعداد طبیعی، مثلا هیچ عددی وجود ندارد که وقتی با 5 جمع شود، حاصل 1 شود. پس دیدیم که ساختارِ (N,+,1) تعبیر مناسبی برای دستگاه منطقی گروه‌ها است. نماد تابعیِ دومتغیره‌ی *، به شکل مناسبی به تابعی دو متغیره‌ی واقعی روی جهان اعداد طبیعی که همان تابعِ جمع است، نسبت داده شده‌ است و نماد ثابت e به طور مناسبی به شیئی واقعی در جهان اعداد طبیعی که همان عددِ طبیعیِ 1 است نسبت داده شده‌ است. و به تبع این‌ها، تمام جملاتی که در زبان L نوشته می‌شوند، و ماهیتی کاملا صوری و نمادین داشتند، به جملاتی واقعی در جهان اعداد طبیعی ترجمه می‌شوند؛ وقتی چنین اتفاقی بیفتد، یعنی ساختار مناسبی برای یک دستگاه منطقی معین شود، صحبت از درستی و غلطی نیز معنادار می‌شود. مثلا دیدیم که بنداشت اول نظریه گروه‌ها در جهان اعداد طبیعی درست بود، اما بنداشت دوم و سوم غلط بودند. فرضی فلسفی که در این‌جا آن را در نظر گرفته‌ایم، این است که در یک جهان واقعی، هر جمله خبری، یا درست است یا غلط، و نمی‌تواند همزمان هم درست باشد و هم غلط. و این فرض، تا اندازه زیادی با شهودمان هم‌خوانی دارد؛ مثلا ما این‌گونه تصور می‌کنیم که بالاخره در ساختار اعداد طبیعی، یا خاصیت شرکت‌پذیری برقرار است، یا برقرار نیست! و امکان ندارد که ساختار اعداد طبیعی، هم خاصیت شرکت‌پذیری داشته باشد، هم خاصیت شرکت‌‌پذیری نداشته باشد! پرسش این‌جاست که آیا نماد * و e را می‌توانیم به چیزهای دیگری هم تعبیر کنیم؟ پاسخ مثبت است. مثلا می‌توانستیم ساختار (N,×,1) را در نظر بگیریم، که در آن × همان عمل ضرب معمولی اعداد طبیعی است؛ به عبارتی به جای آنکه نماد * را به تابع جمع در اعداد طبیعی تعبیر کنیم، آن را به تابع ضرب در اعداد طبیعی تعبیر کنیم؛ در این صورت، بنداشت اول و بنداشت دوم جملاتی درست در این ساختار هستند، اما بنداشت سوم، جمله‌ای غلط است.آیا می‌توانیم جهانی پیدا کنیم که هر سه بنداشت دستگاه گروه‌ها در آن جهان، جملاتی درست باشند؟ پاسخ مثبت است؛ مثلا:ساختار (Z,+,0) را که در آن + همان جمع معمولی اعداد صحیح، و 0 همان عدد صحیحِ صفر است در نظر بگیر.در واقع، نماد تابعیِ * را به تابعِ جمع اعداد صحیح، و نماد e را به عدد صفر در اعداد صحیح تعبیر کرده‌ایم. در این ساختار، هر سه بنداشت نظریه گروه‌ها درست هستند. وقتی ساختاری پیدا می‌کنیم که تعبیرِ همه بنداشت‌های دستگاه منطقی مورد نظر در آن ساختار درست باشند، آن ساختار را یک «مدل» برای دستگاه منطقی می‌گوییم.وقتی دستگاه گروه‌ها مورد نظر باشد، هر مدل برای دستگاه منطقی گروه‌ها را یک «گروه» می‌نامند. به عبارتی، گروه‌ها، دقیقا همان ساختارهایی هستند که مدلی برای دستگاه گروه‌ها باشند؛ به عبارتی، یک گروه، یک‌ جهان واقعی است که در آن همه بنداشت‌های نظریه گروه‌ها، جملاتی درست هستند.مثلا ساختار (Q-{0},×,1) که در آن Q-{0} همان مجموعه اعداد گویا بدون عدد گویای صفر، × همان ضرب معمولی اعداد گویا و 1 همان عدد گویای یک است، یک گروه است؛ چرا که هر سه بنداشت نظریه گروه‌ها در این ساختار، جملاتی درست هستند. به عبارتی، این ساختار، مدلی برای نظریه گروه‌ها است.ممکن است با خودت بگویی چرا همه این جهان‌ها، جهان‌های ریاضی هستند! یعنی یک زبان صوری نمی‌تواند در جهانی غیر از جهان‌های ریاضی تعبیر شود؟ پرسشت بجاست. پاسخش هم این است که هیچ ضرورتی ندارد که جهان در نظر گرفته شده برای یک زبان صوری، حتما یک جهان ریاضی باشد. اکنون مثالی می‌زنم و خیالت را راحت می‌کنم. همان دستگاه صوری گروه‌ها را در نظر بگیر. این بار، بیا مثلا به جای جهان اعداد طبیعی، جهان انسان‌ها را به عنوان جهان مورد بحث فرض کنیم. خب، لازم است نماد * را به یک تابع دو متغیره روی جهان انسان‌ها تعبیر کنیم. یعنی تابعی که دو انسان را به عنوان ورودی بگیرد، و یک انسان را به عنوان خروجی تحویل دهد. مثلا آن تابع، می‌تواند تابعِ f باشد که به شکل زیر تعریف می‌شود:اگر a و b دو انسان باشند، آنگاه f(a,b) همان a است. پس این تابع، دو انسان را به عنوان ورودی می‌گیرد و انسان اول را به عنوان خروجی تحویل می‌دهد. مثلا:f(شکسپیر,حافظ)=حافظنماد ثابت e را نیز باید به عضوی از جهان تعبیر کنیم. مثلا می‌توانیم e را به Hitler تعبیر کنیم. پس تا اینجا، تمام نمادهای زبان را به اشیائی واقعی در جهان انسان‌ها تعبیر کرده‌ایم. بیا ببینیم که با این تعابیر، معنای جملات صوری دستگاه گروه‌ها چه می‌شود. تعبیر بنداشت اول دستگاه گروه‌ها، می‌شود جمله واقعی زیر:به ازای هر سه انسان مانند a و b و c، داریم:f(f(a,b),c)=f(a,(b,c))خب، این جمله واقعا درست است! چون سمت چپ تساوی، بنا بر تعریف تابع f، برابر است با:f(f(a,b),c)=f(a,c)=aو سمت راست تساوی، بنا بر تعریف تابع f، برابر است با:f(a,(b,c))=f(a,b)=aتعبیر بنداشت دوم دستگاه گروه‌ها، می‌شود جمله واقعی زیر:به ازای هر انسان مانند a داریم:f(a , Hitler)=f(Hitler , a) و نیز:f(a , Hitler)=aاما این جمله درست نیست! زیرا اگر a را آقای Turing در نظر بگیریم، تساویِ f(a , Hitler)=f(Hitler , a) برقرار نیست؛ چرا که بنا بر تعریف تابع f، سمت چپ تساوی برابر است با a، و سمت راست تساوی، برابر است با Hitler. و a همان Hitler نیست. a آقای Turing است و انسانی غیر از آقای Hitler است. و در نهایت، تعبیر بنداشت سوم دستگاه گروه‌ها، می‌شود جمله واقعی زیر:برای هر انسان مانند a، انسانی مانند b یافت می‌شود به طوری که:f(a,b)=f(b,a)و نیز:f(a,b)=Hitlerخب روشن است که این جمله غلط است! چرا که اگر a را آقای Turing در نظر بگیریم و b را آقای Godel، بنا بر تعریف تابع f داریم:f(Turing , Godel)=Turingاما آقای Turing انسانی است غیر از آقای Hitler.پس این ساختار، یک مدل برای دستگاه گروه‌ها نیست؛ به عبارتی دیگر، اگر جهان همه انسان‌ها را با P نشان دهیم، ساختارِ (P,f,Hitler) یک مدل برای دستگاه گروه‌ها نیست. زیرا وقتی بعضی از بنداشت‌های دستگاه گروه‌ها را در این ساختار تعبیر کنیم، جملاتی غلط بدست می‌آید.اکنون که مثال‌های خوبی از ساختار دیدی، زمان مناسبی است تا مفهوم ساختار و مدل را به طور دقیق تعریف کنیم. تعریف Lساختار:فرض کن L={F₁, ... ,F₂, R₁, ... , Rₘ, C₁,...,Cₖ}. در این صورت چندتایی مرتبِ ?=(M,f₁,...fₙ,r₁,...rₘ,c₁,...cₖ) را یک Lساختار گویند، هرگاه M یک مجموعه غیر تهی باشد، و برای هرn≥i≥1 اگر Fᵢ یک نماد تابعی s متغیره باشد، fᵢ یک تابع از Mˢ (مجموعه همه sتایی‌های مرتب که هر مولفه از M انتخاب شده است) به M باشد، و برای هرm≥i≥1، اگر Rᵢ یک نماد رابطه‌ای d متغیره باشد، rᵢ زیرمجموعه‌ای از Mᵈ باشد، و در نهایت برای هر k≥i≥1 داشته باشیم cᵢ∈M.در این صورت می‌گویند fᵢ یک تعبیر برای Fᵢ است، rᵢ یک تعبیر برای Rᵢ است و cᵢ یک تعبیر برای Cᵢ. تعریف مدل:فرض کن L یک زبان مشخص، و T مجموعه‌ای از جمله‌ها در L باشد. در این صورت، Lساختارِ ? را یک مدل برای T می‌گویند، هرگاه همه جملاتی که در T هستند، تعبیرشان در ? درست باشد. با توجه به تعریف Lساختار و مدل، اگر به مثال دستگاه گروه‌ها برگردی، می‌توانی به سادگی تحقیق کنی که اگر L={*,e}، آنگاه (N,+,1)، (N,×,0)، (Z,+,0)، (Q-{0},×,1)همگی Lساختار هستند که از بین آن‌ها، (Z,+,0) و (Q-{0},×,1) هر کدام مدلی برای T={a,b,c} هستند اما (N,+,1) و (N,×,0) هیچ کدام مدلی برای T نیستند. اکنون آمادگی آن را داریم که دو قضیه اساسی منطق ریاضی، یعنی «قضیه صِحَت» و «قضیه تمامیت گودل» را بشناسیم. اما قبل از آن، لازم است یک مفهوم دیگر را معرفی کنم. درستی:فرض کن L مجموعه زبان باشد، T مجموعه‌ای از جمله‌ها باشد که در زبان L نوشته شده‌اند، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است. می‌گویند جمله A در T «درست» است، هرگاه تعبیر جمله A در هر مدلِ T درست باشد. به عبارتی، A در T درست است، هرگاه تو هر جهانی را معرفی کنی که تعبیرِ همه‌ی جمله‌های T در آن درست باشد، تعبیر جمله A هم در آن جهان، درست باشد. قضیه صِحَت(soundness):فرض کن L مجموعه زبان باشد، T مجموعه‌ای از جمله‌ها باشد که در زبان L نوشته شده‌اند، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است. در این صورت، اگر A در T یک قضیه باشد، آنگاه A در T درست است. به عبارتی، قضیه صحت به ما این اطمینان را می‌دهد که اگر توانستیم با استفاده از قواعد منطق و استنتاج و بنداشت‌هایمان(T) جمله‌ A را اثبات کنیم (که این کار، کاری کاملا صوری و نمادین است)، آن جمله الزاما درست است. به این معنا که در هر جهانی که تعبیرِ بنداشت‌هایمان در آن درست باشد، تعبیر جمله A هم باید درست باشد. یا به طور خلاصه، «اگر جمله‌ای اثبات شود، آن جمله درست است».قضیه صحت، ابزار خوبی برایمان فراهم می‌کند. با استفاده از این قضیه، می‌توانیم بفهمیم که بعضی جمله‌ها را هرگز نمی‌توان اثبات کرد! برای این‌که چنین پدیده‌ای را با چشمان خود ببینی، «دستگاه گروه‌ها» را در نظر بگیر. یعنی فرض کن L={*,e} و T={a,b,c} که در آن b ،a و c همان بنداشت‌های دستگاه گروه‌ها هستند. اکنون جمله زیر را در نظر بگیر:A: ∀x∀y (x*y=y*x)ادعا می‌کنم جمله A در T اثبات نمی‌شود. فرض کن جمله A در T اثبات شود (فرض خلف). در این صورت، بنا بر قضیه صحت، تعبیر جمله A باید در هر مدل از T درست باشد. اما می‌دانیم مدل‌های T دقیقا همان گروه‌ها هستند. بنابراین، تعبیر جمله A در هر گروهی، باید درست باشد. اما اگر تعبیر جمله A در یک گروه درست باشد، یعنی آن گروه جابه‌جایی است. پس هر گروهی باید جابه‌جایی باشد. این تناقض است؛ زیرا گروه‌هایی وجود دارند که جابه‌جایی نیستند. بنابراین فرض خلف باطل می‌شود. در نتیجه، هر چقدر که تلاش کنی به گونه‌ای از جملات a و b و c و قواعد منطق و استنتاج، جمله A را اثبات کنی، موفق نخواهی شد؛ چرا که چنین چیزی غیرممکن است! با استدلالی مشابه، می‌توان دید که جمله A¬ نیز در T اثبات نمی‌شود. زیرا اگر این جمله در T اثبات شود، بنا بر قضیه درستی، نتیجه می‌شود که هیچ گروهی جابه‌جایی نیست. اما این تناقض است؛ زیرا گروه‌هایی وجود دارند که جابه‌جایی هستند.بنابراین، دستگاه گروه‌ها کامل نیست؛ چون جمله‌ای در زبان دستگاه گروه‌ها پیدا کردیم (جمله A) که نه خودش در نظریه گروه‌ها اثبات می‌شود، نه نقیضش. اکنون پرسش منطقی دیگری مطرح می‌شود:قضیه صحت می‌گوید که اگر جمله‌ای اثبات شود، درست است. آیا عکس قضیه صحت نیز برقرار است؟ به عبارتی، اگر جمله‌ای درست باشد، آیا حتما اثبات می‌شود؟ پاسخ مثبت است. در واقع، قضیه تمامیت گودل، این حقیقت را تضمین می‌کند. قضیه تمامیت گودل (Gödel's completeness):فرض کن L مجموعه زبان باشد، T مجموعه‌ای از جمله‌ها باشد که در زبان L نوشته شده‌‌اند، و A جمله‌ای باشد که در زبان L نوشته شده است. در این صورت، اگر A در T درست باشد، آنگاه A در T یک قضیه است.به عبارتی، قضیه تمامیت گودل بیان می‌کند که اگر تعبیرِ جمله‌ای صوری در همه مدل‌های یک نظریه، درست باشد، آنگاه می‌توان به شکلی کاملا صوری، آن جمله را از جملات نظریه استنتاج کرد. مثلا نظریه گروه‌ها را در نظر بگیر. فرض کن در زبان L با استفاده از نمادهای * و e و هابندهای منطقی، جمله‌ای بنویسیم. اکنون فرض کن تعبیر این جمله در هر گروهی که در نظر بگیری، جمله‌ای درست باشد. در این صورت، قضیه تمامیت تضمین می‌کند که الزاما اثباتی (یادت باشد فرآیند اثبات، فرآیندی کاملا صوری و نمادین است) برای این جمله وجود دارد. جالب است به این موضوع دقت کنی که وقتی ما اثباتی معمولی مثلا در جبر انجام می‌دهیم، اغلب به طور ضمنی در حال استفاده از قضیه تمامیت گودل هستیم! مثلا فرض کن می‌خواهیم در دستگاه گروه‌ها جمله‌ای را اثبات کنیم. ما این کار را به شکلی صوری انجام نمی‌دهیم. بلکه از جهان‌های واقعی و بامعنا استفاده می‌کنیم؛ یعنی فرض می‌کنیم G (که یک ساختار واقعی ریاضی است) گروهی دلخواه باشد، نشان می‌دهیم حکم مورد نظر در G برقرار است. اگر چنین کنیم، بنا بر قضیه تمامیت، اطمینان می‌یابیم که برای این حکم، اثباتی کاملا صوری و منطقی نیز وجود دارد. قضیه تمامیت، قضیه عجیبی است. معمولا برای آنکه قضیه تمامیت را اثبات کنند، یکی از معادل‌های آن‌ را که به «لمِ وجودِ مدل» معروف است اثبات می‌کنند. لم وجود مدل، از نظر منطقی همان قضیه تمامیت است. یعنی قضیه تمامیت لم وجود مدل را نتیجه می‌دهد و برعکس. اما لم وجود مدل بیان می‌کند که اگر در زبانی مانند L، تعدادی جمله بنویسی، و مطمئن باشی که از این جمله‌ها، تناقض نتیجه نمی‌شود، (نتیجه شدن تناقض به این معنی است که مثلا جمله‌ای مانند A پیدا شود که هم خود A از جملاتی که نوشتی استنتاج شود و هم نقیضِ A) در آن صورت حتما جهانی واقعی وجود دارد که تعبیر همه جمله‌هایی که نوشتی، در آن جهان درست است! به عبارتی، دستگاهی که نوشتی، مدل دارد. خب، این پدیده‌ی عجیبی است! اگر روی کاغذ چند نماد بنویسی و فقط تناقض از این نمادها استنتاج نشود، حتما جهانی واقعی وجود دارد که تعبیر این نمادها در آن جهان، جملاتی درست هستند! لم وجود مدل، یا همان قضیه تمامیت گودل، چنین ادعایی می‌کند و گودل این ادعا را در سال ۱۹۲۹ میلادی اثبات کرده است. به راستی چنین چیزی حقیقت دارد؟ اصلا چگونه می‌توان این ادعا را اثبات کرد؟ پیشنهاد می‌کنم اثبات قضیه تمامیت را ببینی، تا بفهمی فرآیند اثباتش به چه شکل است و چه حقایقی را پیشفرض گرفته است، سپس قضاوت کنی که آیا این اثبات قانع‌کننده هست یا نه.دو قضیه صحت و تمامیت، به گونه‌ای، نحوشناسی و معناشناسی را به هم مرتبط می‌کنند و بین دو شاخه مهم منطق ریاضی، یعنی نظریه برهان و نظریه مدل، پلی می‌سازند. نامه‌ی «فرآیند اثبات منطقی و قضیه‌های ناتمامیتِ گودل» و این نامه، شاید کمک کند تا بتوانی هنگام خواندن رساله‌ی منطقی-فلسفیِ ویتگنشتاین، کمی بیش‌تر از پیش بفهمی! به علاوه اگر محتویات این دو نامه را به نیکی درک کرده باشی، تا حدودی با «دستگاه‌های صوری» و «منطق ریاضی» که فرگه آن را پدید آورد و راسل، هیلبرت، گودل و بعضی دیگر از منطق‌دانان بزرگ قرن بیستم آن را پروراندند، آشنا شده‌ای و اکنون می‌توانی با درک بهتری، به مطالعه‌ی عمیق‌تری درباره این موضوعات بپردازی‌. کتاب «منطق ریاضی» از محمد اردشیر که به زبان فارسی چاپ شده، منبع مناسبی برای مطالعه دقیق‌ترِ منطق ریاضی است.امیدوارم که این نامه برایت جذاب و سودمند واقع شده باشد. نظر خود را با من در میان گذار و اشکالاتِ نوشته‌ام را به من گوشزد کن. سپاسگزارم. محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Fri, 02 Dec 2022 20:05:38 +0330 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/%D9%81%D8%B1%D8%A2%DB%8C%D9%86%D8%AF-%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA-%D9%85%D9%86%D8%B7%D9%82%DB%8C-%D9%88-%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87-%D9%87%D8%A7%DB%8C-%D9%86%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%85%DB%8C%D8%AA%D9%90-godel-h7rv43cuaaar ..گفته بودی که یکی از استادهای روانشناسی در دانشگاهتان، پرسش‌های زیر را درباره «اثبات» مطرح کرده است:فرآیند اثبات منطقی به چه شکل است؟ چگونه باید یک جمله را به طور منطقی اثبات کرد؟ منطقدانان چگونه با مفهوم اثبات برخورد می‌کنند؟آیا می‌توان هر جمله‌ای را بالاخره یا اثبات کرد یا رد کرد؟آیا می‌توانید جمله‌ای بگویید که نه اثبات شود و نه رد شود؟از من خواسته بودی تا پاسخ دهم. من پاسخی برای این پرسش‌ها فراهم کرده‌ام، و مجبور شدم برای تکمیل حرف‌هایم، از قضیه‌های ناتمامیت گودل هم سخن بگویم. توضیحاتم را به ساده‌ترین شکل نوشته‌ام، اما زبان نامه‌ام رسمی است، چرا که بتوانی مستقیما آن را برای استادت ارسال کنی. داستان از جایی شروع شد که انسان برای اولین بار، تلاش کرد جمله‌ای را «اثبات» کند. در سرتاسر این نوشته، منظور از اثبات یک جمله، کنار هم قرار دادن چند جمله و نتیجه گرفتن جمله مورد نظر است. بنابراین وقتی تلاش می‌کنید جمله‌ای را اثبات کنید، لاجرم از مقدماتی استفاده می‌کنید و آن‌ها را «فرض» می‌گیرید. تصور کنید می‌خواهید جمله «خدا وجود دارد» را اثبات کنید. باید جمله‌هایی را فرض کنید تا بتوانید از آن‌ها، جمله بالا را نتیجه بگیرید.تصور کنید جملاتی که آن‌ها را فرض گرفته‌اید، جملات زیر باشند:۱. «جهان منظم است»۲. «اگر چیزی منظم باشد، آنگاه دارای ناظم است»۳. از جمله‌ی «الف، ب است» و جمله «اگر چیزی ب باشد، آنگاه آن چیز ج است»، جمله «الف ج است» نتیجه می‌شود.در این صورت، شما با کنار هم قرار دادن این سه جمله، می‌توانید اثبات کنید که «جهان دارای ناظم است» و اگر آن ناظم را خدا بنامید، اثبات کرده‌اید که «خدا وجود دارد». مخاطب منطقی شما، اگر جملات ۱، ۲ و ۳ را پذیرفته باشد، جمله «خدا وجود دارد» را نیز می‌پذیرد. اما ممکن است جملاتی که شما فرض گرفته‌اید را قبول نداشته باشد و از شما بپرسد: «چرا این جملات درست هستند»؟ در این صورت شما برای اینکه او را قانع کنید و اثباتتان را تکمیل، لازم است جملات ۱، ۲ و ۳ را هم برای او اثبات کنید. برای این اثبات، دوباره باید جملاتی را «فرض» بگیرید. اما لازم است دقت کنید که جمله‌ی «خدا وجود دارد» را نباید فرض بگیرید؛ زیرا هدف نهایی شما، اثبات همین جمله است. اگر چنین کنید، اتفاقی پیش آمده که آن را «دور» می‌نامیم. می‌گوییم بین دو جمله الف و ب، دور به وجود آمده، هرگاه:برای اثبات جمله ب، از جمله الف استفاده شده باشد و برای اثبات جمله ب، از جمله الف. فرض فلسفی ما در منطق کلاسیک، این است که «دور، باطل است». به این معنا که اگر بین جمله الف و ب، دور به وجود آمده باشد، نه الف اثبات شده است، نه ب. البته این فرض فلسفی، به شهود ما نزدیک است. احتمالا اگر فردی در برابرتان چنین کند، به او خرده خواهید گرفت و اثباتش را قبول نخواهید کرد! پس اگر می‌خواهید بدون اینکه دوری پیش بیاید جمله‌های ۱، ۲ و ۳ را اثبات کنید، باید جملاتی را فرض بگیرید، اما بین جملاتی که فرض می‌گیرید، نباید جمله «خدا وجود دارد» قرار داشته باشد. اگر برای اثبات جمله ۱، فقط جملات ۲ و ۳ را فرض بگیرید، در این صورت برای اثبات جمله ۲، باید جملاتی غیر از جمله ۱ و جمله «خدا وجود دارد» را فرض کنید. زیرا در غیر این صورت، دور به وجود می‌آید. اگر برای اثبات جمله ۲، فقط جمله ۳ را فرض کنید، برای اثبات جمله ۳، باید جمله‌ای غیر از جمله ۱، ۲ و «جمله خدا وجود دارد» را فرض کنید. زیرا در غیر این صورت، دور به وجود می‌آید. پس برای اثبات جملاتی که آن‌ها را فرض گرفته بودید، به عبارتی، برای اثبات همه جملات ۱، ۲، و ۳، حداقل باید یک جمله جدید را فرض بگیرید. این جمله را جمله ۴ بنامید. فرض کنید با استفاده از جمله ۴، جملات ۱، ۲ و ۳ را اثبات کنید. ممکن است مخاطبتان از شما بپرسد: «چرا جمله ۴ درست است»؟ و شما برای قانع کردن او، و تکمیل اثباتتان، لازم است جمله ۴ را هم اثبات کنید. اما با استدلالی مشابه، اگر می‌خواهید دور پیش نیاید، برای اثبات جمله ۴، باید حداقل یک جمله جدید را فرض بگیرید. این جمله را، جمله ۵ بنامید. اگر پرسش مخاطب شما درباره جمله ۵ تکرار شود، دوباره لازم است جمله جدیدی را فرض بگیرید تا جمله ۵ را بدون اینکه به دام دور بیفتید، اثبات کنید. و اگر او دوباره درباره درستی جمله ۵ سوال کند، مجبورید برای تکمیل اثباتتان دوباره جمله جدیدی را فرض کنید و اگر او مدام سوالش را تکرار کند، شما چه خواهید کرد؟ این فرآیند قرار است تا کجا ادامه پیدا کند؟ آیا او بالاخره قانع می‌شود؟ آیا بالاخره اثباتتان تکمیل می‌شود؟ جواب معلوم است. اگر او مدام سوال بپرسد، شما تا زمانی که لحظه مرگتان فرا برسد، باید مشغول اثبات کردن باشید! و اگر تا ابد هم عمر کنید، باید تا ابد مشغول اثبات کردن باشید، و البته هیچ گاه موفق نخواهید شد تا جمله «خدا وجود دارد» را اثبات کنید. پس اگر بخواهیم این جمله را اثبات کنیم، مجبوریم تعدادی جمله را، بدون اثبات، بپذیریم. جملاتی که آن‌ها را بدون اثبات می‌پذیریم، «بُنداشت» (اصلِ موضوع، یا axiom) می‌نامیم. در مثال یاد شده، اگر مثلا جمله ۵ را به عنوان بنداشت فرض کنیم، یعنی آن را بدون اثبات بپذیریم، جمله ۴، جمله ۳، جمله ۲ و جمله ۱ از آن نتیجه می‌شوند و در نهایت جمله‌ای که قصد اثبات آن را داشتیم، یعنی «جمله خدا وجود دارد» اثبات می‌شود‌. اما مسأله منطقی دیگری هم وجود دارد. و آن، مسأله‌ی تعریف یک مفهوم است. فرض کنید می‌خواهید جمله «خدا وجود دارد» را برای مخاطبتان اثبات کنید. ممکن است، و البته منطقی است، که همان ابتدا از شما بپرسد:«خدا چیست»؟«وجود داشتن به چه معناست»؟و شما قبل از اینکه اثباتتان را شروع کنید، باید مفاهیم «خدا» و «وجود داشتن» را برای او تعریف کنید. و برای تعریف کردن هر مفهوم، مجبورید از مفاهیمی دیگر استفاده کنید. و اگر برای تعریف مفهوم «خدا»، از مفهوم «وجود داشتن» استفاده کنید، دیگر نباید برای تعریف مفهوم «وجود داشتن» از مفهوم «خدا» استفاده کنید. اگر چنین کنید، اصطلاحا می‌گوییم دور به وجود آمده است؛ منظور از اینکه بین دو مفهوم الف و ب دور به وجود آمده، این است که:مفهوم الف به کمک مفهوم ب تعریف شده، و مفهوم ب به کمک مفهوم الف.فرض فلسفی دیگر ما در منطق کلاسیک، این است که درباره مفاهیم نیز، «دور، باطل است». یعنی اگر بین دو مفهوم الف و ب دور به وجود آمده باشد، نه مفهوم الف تعریف شده، نه مفهوم ب. به عبارتی، یکی از شرایط تعریف، این است که دور نداشته باشد. البته این فرض فلسفی به شهود ما نزدیک است. مثال خوب چنین اتفاقی این است:تعریف عدد زوج: عددی که فرد نباشد.تعریف عدد فرد: عددی که زوج‌ نباشد.روشن است که با دو تعریف فوق، نه مفهوم زوج بودن بر ما آشکار می‌شود، نه مفهوم فرد بودن. خلاصه اگر نمی‌خواهید دوری پیش بیاید، برای تعریف مفهوم «خدا» و مفهوم «وجود داشتن»، باید از حداقل یک مفهوم جدید استفاده کنید. این مفهوم را مفهوم 3 بنامید. اگر مخاطب از شما خواست که مفهوم 3 را برایش تعریف کنید، دوباره اگر می‌خواهید در باتلاق دور گرفتار نشوید، مجبورید از مفهومی جدید برای تعریف مفهوم 3 استفاده کنید. این مفهوم جدید را مفهوم 4 بنامید. اگر او مدام از شما بخواهد که مفاهیم جدید را برای او تعریف کنید، اگر تا ابد هم عمر کنید، تا ابد باید مشغول تعریف کردن مفاهیم باشید. و البته هیچ گاه موفق نخواهید شد که مفهوم «خدا» را که همان ابتدا قصد تعریف کردنش را داشتید، تعریف کنید. پس اگر دوست دارید که موفق شوید مفهوم «خدا» را تعریف کنید، مجبورید مفاهیمی را بدون تعریف بپذیرید! به چنین مفاهیمی، «مفاهیم اولیه» می‌گوییم. مثلا اگر مفهوم 4 را به عنوان مفهوم اولیه می‌پذیرفتید، به کمک آن می‌توانستید مفاهیم 3، «خدا» و «وجود داشتن» را تعریف کنید.پس برای اینکه موفق شویم اثبات یک جمله را تکمیل کنیم، لازم است همان ابتدا دو کار را انجام دهیم:۱. مفاهیم اولیه را مشخص کنیم.۲. بنداشت‌ها را مشخص کنیم.اگر کارهای ۱ و ۲ را انجام دهیم، موجودی پدید آورده‌ایم که آن را یک «دستگاه منطقی» (logical system) یا یک «دستگاه صوری» (formal system) می‌نامیم. پس هنگامی که از یک دستگاه منطقی حرف می‌زنیم، در حال اشاره کردن به مفاهیم اولیه و بنداشت‌هایی که پذیرفته‌ایم هستیم. پس دقت کنید که وقتی می‌پرسیم: «آیا جمله X اثبات می‌شود یا نه»؟ پرسشمان دقیق نیست. ابتدا باید یک دستگاه منطقی را مشخص کنیم، بعد در مورد اثبات جمله X حرف بزنیم. به عبارتی، دقیق‌تر این است که اینگونه بپرسیم:«آیا جمله X در دستگاه منطقی T اثبات می‌شود یا نه»؟تا زمانی که دستگاهی منطقی را تعیین نکرده باشیم، سخن از اثبات یک جمله، از دقت لازم برخوردار نیست و بحثی نادقیق خواهد بود.اکنون مناسب است تا مثالی از یک دستگاه منطقی را به شما نشان دهیم.«هندسه‌ی وقوع» را می‌توان یک دستگاه منطقی نامید که شامل چهار مفهوم اولیه و تعدادی بنداشت است؛ سه بنداشت مربوط به مفاهیم اولیه، و چند بنداشت مربوط به منطق و قواعد استنتاج.مفاهیم اولیه:۱. نقطه۲. خط۳. واقع بودن نقطه بر خط.۴. وجود داشتنبنداشت‌ها:۱. اگر دو نقطه وجود داشته باشد، آنگاه فقط یک خط وجود دارد که این دو نقطه بر آن خط واقع‌اند. ۲. اگر خطی وجود داشته باشد، آنگاه حداقل دو نقطه روی این خط واقع است. ۳. حداقل سه نقطه وجود دارد به طوری که هیچ خطی وجود ندارد که هر سه‌تای آن‌ها بر آن خط واقع باشند. ۴. بنداشت‌های منطق و استنتاج.بنداشت‌های منطق و استنتاج، همان بنداشت‌های معروف منطق کلاسیک هستند؛ مثل قاعده «طردِ شِقِّ ثالث»، قاعده «قیاس استثنائی»، قاعده «انتفای مقدم»، قواعد «دمورگان» و ... . مثلا بیانی از قاعده قیاس استثنائی به شکل زیر است:اگر p و q دو جمله باشند، از جمله «اگر p آنگاه q» و جمله «p»، جمله «q» نتیجه می‌شود.بنداشت‌های منطق و استنتاج از این جهت لازم‌اند که برای ما امکان نتیجه گرفتن جملات جدید را فراهم می‌کنند.در دستگاه هندسه وقوع، می‌توان جملاتی را اثبات کرد؛ مثلا دو جمله زیر:اگر نقطه‌ای وجود داشته باشد، آنگاه خطی وجود دارد که آن نقطه روی آن خط واقع نیست. اگر نقطه‌ای وجود داشته باشد، آنگاه حداقل دو خط وجود دارد که آن نقطه روی هر دو خط واقع است.بعضی جملات مثل جمله‌ی «خدا وجود دارد» در این دستگاه، یک جمله بی‌معناست؛ زیرا برای ساختن این جمله، نه از مفاهیم اولیه استفاده شده، نه از مفاهیمی که به کمک مفاهیم اولیه تعریف شده‌اند(مگر اینکه مفهوم خدا را به کمک نقطه، خط، واقع بودن نقطه بر خط و وجود تعریف کنید).اما جمله‌ای مانند جمله‌ی «خطی وجود دارد که هیچ نقطه‌ای روی آن واقع نیست»، در این دستگاه، جمله‌ای معنادار است.پس یک جمله را در یک دستگاه منطقی، معنادار گوییم، هرگاه:هر مفهومی که در آن جمله به کار رفته شده، یا خود مفهومی اولیه باشد، یا توسط مفاهیم اولیه قابل تعریف باشد. مثلا موازی بودن دو خط، مفهومی اولیه نیست، اما به کمک مفاهیم اولیه بدین شکل قابل تعریف است:دو خط را با هم موازی گوییم، هر گاه اگر نقطه‌ای روی یکی واقع باشد، آن نقطه روی خط دیگر واقع نباشد.دقت کنید که در این تعریف، صرفا از مفهوم نقطه، خط، وقوع استفاده کردیم که مفاهیمی اولیه هستند.بنابراین جمله زیر، که بیانی از بنداشت پنجم اقلیدس است، یک جمله معنادار در دستگاه هندسه وقوع است:«اگر نقطه p روی خط l واقع نباشد، فقط یک خط مانند m وجود دارد که با l موازی است و نقطه p روی آن قرار دارد».در دستگاه هندسه وقوع، تمام بنداشت‌ها، جملاتی معنادار هستند. در واقع این جملات، درباره مفاهیم اولیه و ارتباطشان به ما اطلاعات می‌دهند. نه تنها در این دستگاه خاص، بلکه در هر دستگاه منطقی، وضع به همین شکل است. یعنی بنداشت‌ها، باید جملاتی معنادار باشند. مثلا مجاز نیستیم که در هندسه وقوع، جمله «ماست سفید است» را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم. زیرا درست است که این جمله در جامعه جمله‌ای معنادار است، اما در دستگاه هندسه وقوع، جمله‌ای بی‌معنا است. روشن است که شرط معناداری برای پذیرش یک بنداشت، شرطی بسیار طبیعی است.نکته مهم درباره یک دستگاه منطقی، این است که مفاهیم اولیه، واقعا تعریف نشده هستند! و بنداشت‌ها، واقعا بدون اثبات! مثلا اگر کسی درباره دستگاه هندسه وقوع بپرسد: «نقطه چیست»؟ پاسخ این است: «نقطه تعریفی ندارد»! اگر بپرسد: «خط چیست»؟، همین جواب را می‌دهیم. اگر بپرسد: «منظور از واقع بودن یک نقطه روی یک خط چیست»؟ یا اگر بپرسد: «منظور از وجود چیست»؟ باز هم همین جواب را می‌دهیم. به عبارتی، ما نمی‌دانیم که نقطه چیست، خط چیست، وقوع چیست و وجود چیست. تنها چیزی که از این مفاهیم می‌دانیم، همان چیزی است که بنداشت‌ها به ما می‌گویند؛ مثلا ما نمی‌دانیم نقطه چیست، خط چیست، وقوع چیست و وجود چیست، اما می‌دانیم: «حداقل سه نقطه وجود دارد که هیچ خطی وجود ندارد که هر سه نقطه روی آن خط واقع باشند»! و اگر کسی از ما بخواهد این جمله را اثبات کنیم، می‌گوییم این جمله را بدون اثبات پذیرفته‌ایم! احتمالا به خاطر همین است که برتراند راسل می‌گوید:«ریاضیات چیزی است که در آن نه می‌دانیم از چه سخن می‌گوییم، نه می‌دانیم آنچه که می‌گوییم راست است»!زیرا به یک معنا، ریاضیات را نیز می‌توان در یک دستگاه منطقی صورت بندی کرد.احتمالا می‌پرسید که در این صورت تصوراتمان از نقطه و خط چه می‌شود. به هر حال از نقطه و خط تصوراتی داریم و اگر کسی قلم و کاغذی در اختیارمان بگذارد و از ما بخواهد که یک خط و یک نقطه بکشیم، با قلم روی کاغذ اثری می‌گذاریم و به او می‌گوییم: «این نقطه، این هم خط»! ولی اکنون گفته شد که در دستگاه هندسه وقوع، ما که از نقطه و خط چیزی نمی‌دانیم! فقط می‌دانیم مثلا «سه نقطه وجود دارد» و «خطی وجود دارد» و معنای وجود را هم نمی‌دانیم! جواب این است که آن تصورات ما از نقطه، خط، وقوع و وجود، «تعبیر»هایی از آن مفاهیم اولیه هستند. نه خود آن مفاهیم. اما دقیقا منظور از تعبیر چیست؟یک «تعبیر» از یک دستگاه منطقی، یک جهان است که در آن، مفاهیم اولیه به اشیایی واقعی در آن جهان نسبت داده می‌شوند، به طوری که همان وضعیتی که توسط بنداشت‌ها برای آن مفاهیم اولیه برقرار شده است، درباره تصویر آن مفاهیم اولیه در جهان هم برقرار باشد. مثلا یک تعبیر برای دستگاه هندسه وقوع، همان تصور غالبی است که ما از نقطه، خط، وقوع و وجود داریم. زیرا همه آن بنداشت‌ها، با این تصورات همخوانی دارد. مثلا با تصوری که ما از نقطه، خط و وجود داریم، واقعا جمله «حداقل سه نقطه وجود دارد» جمله‌ای درست خواهد بود. زیرا طبق تصوراتمان، حداقل سه نقطه روی صفحه می‌توان کشید! همین‌طور همه بنداشت‌های هندسه وقوع، با تصورات ما همخوانی دارد. اما، این بدان معنی نیست که مفهوم نقطه، همان چیزی باشد که ما در حال تصور آن هستیم! نقطه واقعا مفهومی مجرد و تعریف نشده است. شاید برای همین است که دیوید هیلبرت می‌گوید:«شما باید بتوانید به جای نقطه و خط، میز و صندلی یا هر چیز دیگری تصور کنید»!حتی می‌توانید به جای نقطه از حرف انگلیسی A و به جای خط از حرف انگلیسی B استفاده کنید. یعنی نگویید نقطه و خط، بگویید A و B. به عبارتی، یک دستگاه منطقی، فاقد هر گونه معنا است. فقط رشته‌ای صوری از نمادهاست که در حال بازی کردن با آن‌ها هستیم. برای همین است که یک دستگاه منطقی را گاهی «دستگاه صوری» نیز می‌گوییم. یک مثال خوب برای درک بهتر دستگاه منطقی، بازی شطرنج است؛ در بازی شطرنج، اگر کسی بگوید فیل چیست یا وزیر چیست، می‌گوییم نمی‌دانیم این‌ها چیستند (در واقع فیل و وزیر مفاهیمی تعریف نشده هستند) اما چیزی که درباره آن‌ها می‌دانیم، همان قوانین بازی شطرنج است (در واقع این قوانین، همان بنداشت‌ها هستند). مثلا نمی‌دانیم فیل چیست اما می‌دانیم فقط به شکل ضربدری حرکت می‌کند. حال اگر کسی بپرسد: «چرا این را پذیرفته‌ای که فیل فقط باید ضربدری حرکت کند»؟ می‌گوییم بدون اثبات پذیرفته‌ایم! و صرفا به این جهت پذیرفته‌ایم که بتوانیم شطرنج بازی کنیم! چون دوست داریم شطرنج بازی کنیم!در واقع داستان بدین قرار است:هدف ما این است مثلا قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم و همین الان، تصوری از قضیه فیثاغورث داریم. تصوری از مثلث، طول، زاویه قائمه و ... داریم. یعنی به نوعی «می‌دانیم که قصد داریم چه چیزی را اثبات کنیم». به عبارتی، قضیه فیثاغورث برای ما فقط رشته‌ای از نمادهای صوری نیست، و بی‌معنا نیست. بلکه از قضیه فیثاغورث، معنایی در ذهن داریم. پس فعلا قضیه فیثاغورث برایمان معنادار است.برای اثبات این قضیه، درست مانند مثالِ «خدا وجود دارد» که حواشی آن را به تفصیل شرح دادیم، مجبور هستیم یک دستگاه منطقی را در نظر بگیریم. یعنی اگر دوست داریم که قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم، مجبوریم مفاهیم اولیه و بنداشت‌های خود را معین کنیم. این مفاهیم اولیه را به گونه‌ای در نظر می‌گیریم، که بتوانیم به کمک آن‌ها مثلث، زاویه قائمه، طول و ... را تعریف کنیم، تا قضیه فیثاغورث در دستگاهمان، یک جمله معنادار باشد. فرض کنید توانستیم این مفاهیم را، به کمک مفهوم خط، نقطه، وقوع و وجود تعریف کنیم. پس همین چهار مفهوم را به عنوان مفاهیم اولیه در نظر می‌گیریم. اکنون تصوری از خط، نقطه، وقوع و وجود داریم، و اصلا به همین قصد آن‌ها را به عنوان مفاهیم اولیه در نظر گرفتیم که بتوانیم تصورات خود (قضیه فیثاغورث) را اثبات کنیم! اما وقتی چنین کردیم، و به آن‌ها گفتیم مفاهیم اولیه، دیگر باید خود را از بند تصورات برهانیم! چرا که وقتی می‌گوییم مفهوم اولیه، در واقع داریم اقرار می‌کنیم که این مفهوم، تعریف نشده است. پس هیچ معنایی ندارد! به عبارتی، در اینجا چیزی مانند «تجرید» اتفاق افتاده؛ تجرید از هرگونه معنا. حال که مفاهیم اولیه مشخص شدند، باید با استفاده از آن مفاهیم اولیه، جملاتی بسازیم و آن‌ها را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم. اما دوست داریم این بنداشت‌ها به گونه‌ای باشند که بتوانیم به کمک آن‌ها قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم. ما با همان تصور ابتدایی که از مفاهیم اولیه داریم، این مفاهیم را به گونه‌ای کنار هم قرار می‌دهیم و بنداشت می‌سازیم، که بتوانیم قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم. مثلا تصور کنید پس از مدتی فکر کردن، می‌فهمیم برای اثبات قضیه فیثاغورث، لازم است فرض کنیم: «حداقل سه نقطه وجود دارد»، بنابراین مثلا همین جمله را به عنوان بنداشت در نظر می‌گیریم. برای اینکه بفهمیم این جمله، برای بنداشت بودن، جمله مناسبی است یا نه، آیا نقطه و وجود را مفاهیمی مجرد و بی‌معنا در نظر گرفتیم؟ خیر! بلکه با همان تصور ابتدایی که از نقطه و خط داشتیم، به این نتیجه رسیدیم. اما به هر حال، اکنون که فهمیدیم این جمله می‌تواند بنداشت مناسبی باشد، دیگر لازم نیست در این جمله نقطه و وجود همان نقطه‌ و وجودِ تصورات ما باشد! بلکه می‌توانیم به جمله‌ی «حداقل سه نقطه وجود دارد»، به عنوان جمله‌ای کاملا صوری و مجرد از هرگونه معنا نگاه کنیم!تصور کنید متوجه می‌شویم مثلا پنج جمله هست، که با پذیرش آن‌ها می‌توانیم قضیه فیثاغورث را اثبات کنیم. بنابراین همان پنج جمله را به عنوان بنداشت در نظر می‌گیریم. ما تصوراتی از آن پنج جمله داریم، و حتی با توجه به شهود و تجربه شخصی، تا اندازه زیادی به درستی آن‌ها اطمینان داریم. اما وقتی آن‌ها را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم، دیگر باید این تصورات و شهودات خود از آن پنج جمله را دور بریزیم! چرا که وقتی نام بنداشت بر آن‌ها بگذاریم، در واقع اقرار کرده‌ایم که این جملات اثباتی ندارند! این فرآیند، مخصوصا در ریاضیات زیاد اتفاق می‌افتد؛ یک نمونه آن، همین «دستگاه هندسه وقوع» است که بحثش گذشت. یک نمونه دیگر، «دستگاه گروه‌های جابه‌جایی» است.فرض کنید می‌خواهیم نظریه گروه‌ها‌ی جابه‌جایی را پایه گذاری کنیم! ما مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد صحیح را می‌شناسیم و از آن تصویری در ذهن داریم. می‌فهمیم که روابط خاصی در مجموعه اعداد صحیح (Z) و عمل جمع اعداد صحیح (+) برقرار است. مثلا عمل جمع اعداد صحیح خاصیت جابه‌جایی و شرکت پذیری دارد، یا مثلا هر عدد صحیحی را با صفر جمع کنیم، خود آن عدد حاصل می‌شود، یا اینکه به ازای هر عدد صحیح، عددی صحیح وجود دارد که اگر آن دو را با هم جمع کنیم، صفر حاصل می‌شود. پس می‌آییم همین خواص را در مجرد‌ترین حالت خودش تعریف می‌کنیم و مفهوم گروه جابه‌جایی را پدید می‌آوریم. در تعریف گروه، از مجموعه G و عمل * و عضو e حرف می‌زنیم، اما اگر کسی از ما بپرسد : «G کدام مجموعه است»؟ یا بپرسد: «e چیست و * کدام است»؟ جوابمان این است که این‌ها مفاهیم اولیه هستند و هیچ چیز از آن‌ها نمی‌دانیم، به جز چیزهایی که بنداشت‌ها به ما می‌گویند! مثلا، یک بنداشت می‌گوید عمل * خاصیت جابه‌جایی دارد و بنداشت دیگری می‌گوید e با هر عضوی که ستاره شود خود آن عضو حاصل می‌شود و ... . پس سه مفهوم (G,*,e) مفاهیمی اولیه هستند و در کنار بنداشت‌هایی که مشخص می‌کنیم، دستگاهی منطقی پدید می‌آورند که آن را «دستگاه گروه‌های جابه‌جایی» می‌نامیم. همان طور که می‌دانید، این دستگاه، تعابیر مختلفی دارد که البته یکی از آن تعابیر، همان (Z,+,0) است. اما این درست نیست که هر زمان از مجموعه G و عمل * یاد شود، مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد صحیح را در نظر آوریم! آری درست است که خاستگاه معرفی G و عمل * همان Z و + است، اما ما G و *، و نیز همه بنداشت‌های دستگاه گروه‌های جابه‌جایی را کاملا صوری و مجرد در نظر گرفتیم و هیچ معنایی برای آن قائل نیستیم. Z و + فقط تعبیری از G و * است. یعنی به G و * معنا بخشیده‌ایم و G را به Z و * را به + تعبیر کرده‌ایم و می‌توانیم ببینیم که تمام آن بنداشت‌های صوری، در این جهان، یعنی جهان مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع، جملاتی واقعی هستند و البته علاوه بر اینکه واقعی هستند و صرفا نماد نیستند، برقرار هم هستند. و البته که می‌توانیم تعابیر دیگری برای G و * داشته باشیم؛ مثلا: مجموعه ماتریس‌های دو در دو به همراه عمل جمع ماتریسی. پس G و * نه مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع اعداد صحیح است، نه مجموعه ماتریس‌های دو در دو به همراه عمل جمع ماتریسی. بلکه چیزی کلی‌تر و مجردتر از آن‌هاست.بنابراین وقتی از یک دستگاه منطقی حرف می‌زنیم، دو مفهوم «صورت» (syntax) و «معنا» (semantic) به تمامی از هم تفکیک می‌شوند. جمله‌ی «حداقل سه نقطه وجود دارد» به خودی خود فاقد هر گونه معنا است. اما می‌شود به آن معنا بخشید؛ چگونه؟ اینگونه که مفهوم «نقطه» و «وجود» را به چیزی در یک جهان مشخص تعبیر کنیم. مثلا نقطه را همان تصور شهودی خود از نقطه بدانیم، و وجود را همان تصور شهودی خود از وجود. اما مفاهیم نقطه و وجود، به خودی خود، مجرد از هرگونه معنایی هستند و صرفا نمادند! کاملا صوری و بی‌معنا! البته اکنون که داریم از دستگاه منطقی یا همان دستگاه صوری حرف می‌زنیم، در بند زبان فارسی هستیم و واژه‌های «حداقل» ، «سه» و «دارد» در جمله‌ی «حداقل سه نقطه وجود دارد» ایجاد ابهام می‌کنند. باید زبانی بسازیم که مخصوص دستگاه‌های صوری باشد و مجبور نباشیم برای بیان جملات از زبان‌های طبیعی مثل زبان فارسی یا انگلیسی استفاده کنیم. چنین کاری، انجام شدنی است و فرآیند انجام آن را می‌توانید در هر کتاب تخصصی که در زمینه منطق ریاضی نوشته شده، ببینید.اکنون که تا اندازه‌ای با مفهوم دستگاه‌ منطقی آشنا شدید، زمان مناسبی است تا پرسش مهمی را در این باره مطرح کنیم و به آن بپردازیم.پرسشِ مهم منطقی-فلسفی اینجاست که:«کدام مفاهیم را به عنوان مفاهیم اولیه، و کدام جملات را به عنوان بنداشت در نظر بگیریم»؟به عبارتی، «کدام دستگاه منطقی را برای اثبات جملاتمان انتخاب کنیم؟»پاسخ من این است که هر دستگاهی را که دلتان می‌خواهد انتخاب کنید! مثلا، حتی می‌توانید جمله «خدا وجود دارد» را به عنوان بنداشت در نظر بگیرید و آن را بدون اثبات بپذیرید! اما چنین کاری، پسندیده نیست. نه اینکه از نظر منطقی اشکال داشته باشد، بلکه از منظرهای دیگری محل بحث است. مثلا، یکی از توجیهاتی که علیه انجام این کار داریم این است که وقتی می‌توانیم به کمک جمله ۱، ۲ و ۳ که پذیرش آن‌ها به جهاتی آسان‌تر از پذیرش جمله «خدا وجود دارد» است، جمله «خدا وجود دارد» را اثبات کنیم، چرا چنین نکنیم؟ بحث مشابهی درباره مفاهیم اولیه نیز مطرح می‌شود.آری؛ اهالی منطق و فلسفه، معمولا تلاش می‌کنند مفاهیمی را به عنوان مفاهیم اولیه، و جملاتی را به عنوان بنداشت در نظر بگیرند، که پذیرش آن‌ها کمتر مناقشه برانگیز باشد. اما مناقشه برانگیز بودن، مفهومی نسبی است؛ بنابراین ملاک دقیقی نیست. گاهی میزان «بدیهی بودن یک مفهوم»، به عنوان معیاری برای انتخاب آن مفهوم به عنوان یک مفهوم اولیه در نظر گرفته می‌شود. و همینطور، میزان «بدیهی بودن یک جمله»، به عنوان معیاری برای انتخاب آن جمله به عنوان یک بنداشت در نظر گرفته می‌شود. با این معیار، مثلا اگر بخواهیم بین دو مفهوم «خدا» و «وجود» یکی را به عنوان مفهوم اولیه انتخاب کنیم، مفهوم «وجود» را انتخاب می‌کنیم؛ زیرا بدیهی‌تر از مفهوم «خدا» است.یا مثلا اگر بخواهیم یکی از دو جمله «خدا وجود دارد» و «انسان وجود دارد» را به عنوان بنداشت انتخاب کنیم، جمله «انسان وجود دارد» را انتخاب می‌کنیم، زیرا بدیهی‌تر از جمله «خدا وجود دارد» است. اما دوباره، مشکلی که این معیار دارد، نسبی بودن آن است. ممکن است مفهومی برای من بدیهی باشد و برای شما نباشد، یا جمله‌ای از نظر شما بدیهی باشد و از نظر من بدیهی نباشد. برای همین، معیار بداهت، با وجود اینکه گاهی در انتخاب مفاهیم اولیه و بنداشت‌ها کمکمان می‌کند، معیار دقیقی نیست. اما چند ملاک دیگر وجود دارد که نسبی نیستند و تعریفی دقیق دارند، و به علاوه خیلی اساسی هستند و می‌توان حدس زد که هر منطقدانی برای انتخاب یک دستگاه منطقی، آن‌ها را در نظر می‌گیرد؛ از آن دو ملاک، تحت عنوان «کامل بودن» و «سازگاری» یاد می‌کنیم. اما کامل بودن و سازگاری به چه معناست؟کامل بودن: یک دستگاه منطقی را کامل می‌گوییم، هرگاه هر جمله معناداری که در آن دستگاه نوشته شود، توسط دستگاه، یا اثبات شود، یا رد شود.منظور از رد شدن یک جمله، این است که نقیض آن اثبات شود. مثلا برای اینکه جمله «خدا وجود دارد» را رد کنیم، باید جمله «خدا وجود ندارد» را اثبات کنیم.پس وقتی دستگاهی کامل است، یعنی در برابر هر جمله معناداری، سکوت نمی‌کند و حکم می‌دهد؛ یا خود آن جمله را اثبات می‌کند، یا نقیضش را.سازگاری: یک دستگاه را سازگار می‌گوییم، هرگاه هیچ جمله‌ای وجود نداشته باشد که هم توسط دستگاه اثبات شود، هم توسط دستگاه رد شود.اکنون برای درک بهتر دو مفهوم کامل بودن و سازگاری، این دو مفهوم را بیشتر توضیح می‌دهیم.تصور کنید یک دستگاه منطقی در اختیار دارید؛ یعنی چند مفهوم اولیه و چند بنداشت. شما می‌توانید به کمک مفاهیم اولیه، تعداد زیادی جمله بسازید، که البته چندتا از آن جمله‌ها را به عنوان بنداشت در نظر گرفته‌اید. غیر از بنداشت‌ها، جملات زیاد دیگری هم می‌توانید بسازید.تصور کنید دستگاه منطقی که در اختیار دارید، همان دستگاه هندسه وقوع باشد. اکنون سعی کنید به کمک مفاهیم اولیه، یک جمله غیر از بنداشت‌ها بسازید. (نه اینکه هر جمله فارسی که دلتان بخواهد بسازید! بلکه یک جمله به کمک مفاهیم اولیه بسازید. به عبارتی، یک جمله معنادار در دستگاه هندسه وقوع بسازید) مثلا همان طور که قبلاً توضیح دادیم، جمله زیر که بیانی از بنداشت پنجم اقلیدس است، جمله‌ای معنادار در دستگاه هندسه وقوع است:«اگر نقطه p روی خط l واقع نباشد، یک و فقط یک خط مانند m وجود دارد که با l موازی است و نقطه p روی آن قرار دارد».نام این جمله را A بگذارید.اکنون یک پرسش مهم منطقی مطرح می‌شود:«آیا جمله A، توسط دستگاه هندسه وقوع، اثبات می‌شود»؟به عبارتی، آیا می‌توانیم با کنار هم قرار دادن بنداشت‌های هندسه وقوع و استفاده از قواعد استنتاجِ منطقی که آن‌ها را پذیرفته‌ایم، جمله A را نتیجه بگیریم؟دقت کنید که منظور از این توانستن، تواناییِ انسانی ما نیست! بلکه منظور، توانایی دستگاه است. یعنی ممکن است دستگاه بتواند یک جمله را اثبات کند، اما ما نتوانیم! به عبارتی، ممکن است به طریقی از کنار هم قرار دادن بنداشت‌های دستگاه و قواعد استنتاج منطقی، جمله مورد نظر اثبات شود، اما انجام این کار توسط انسان نشدنی باشد!به راستی تضمینی برای «وجود اثبات» وجود ندارد! واقعا ممکن است جمله‌ای معنادار در دستگاه نوشته شود، اما توسط دستگاه اثبات نشود. فرض کنید ساعت‌ها و روز‌ها و سال‌ها اندیشه کردیم، اما موفق نشدیم جمله A را در دستگاه هندسه وقوع اثبات کنیم. سوال دیگری به ذهن می‌رسد:«آیا جمله A، توسط دستگاه هندسه وقوع، رد می‌شود»؟به عبارتی، حال که موفق نشدیم جمله A را اثبات کنیم، آیا می‌توانیم این جمله را رد کنیم؟! به عبارت دیگر، آیا می‌توانیم نقیض جمله A را اثبات کنیم؟به راستی تضمینی وجود ندارد! واقعا ممکن است جمله‌ای معنادار در دستگاه نوشته شود، اما توسط دستگاه رد نشود.مثالی واقعی از چنین اتفاقی، همین دستگاه هندسه وقوع و جمله A است. می‌توان نشان داد که جمله A، توسط دستگاه هندسه وقوع، نه اثبات می‌شود، نه رد می‌شود!پس دستگاه هندسه وقوع، کامل نیست؛ زیرا جمله‌ای پیدا کردیم(جمله A)، که این دستگاه نه آن را اثبات می‌کند، نه رد می‌کند.در چنین حالتی، می‌گوییم دستگاه هندسه وقوع آنقدر «قوی» نیست که درباره جمله A نظر بدهد. یا اصطلاحا می‌گوییم جمله A، «مستقل» از دستگاه هندسه وقوع است.حال ممکن است دستگاهی وجود داشته باشد که کامل باشد؛ یعنی هر جمله‌ معناداری که در آن دستگاه بنویسیم، بالاخره یا توسط دستگاه اثبات شود یا رد شود. واقعا چنین دستگاه‌هایی وجود دارند. روشن است که کامل بودن، ویژگی مطلوبی برای یک دستگاه منطقی به شمار می‌رود.اکنون دوباره تصور کنید که دستگاهی منطقی در اختیار دارید؛ یعنی چند مفهوم اولیه و چند بنداشت. همین ابتدا، یک پرسش مهم منطقی پیش می‌آید:«آیا جمله‌ای وجود دارد، که توسط دستگاه، هم اثبات شود، هم رد شود»؟ به عبارتی، آیا جمله‌ای هست که هم خودش توسط دستگاه اثبات شود، هم نقیضش؟به راستی هیچ تضمینی وجود ندارد که چنین جمله‌ای یافت نمی‌شود! فرض کنید دستگاهمان ۵ بنداشت دارد و با استفاده از این ۵ بنداشت، ۷۴۳ جمله را اثبات کرده‌ایم. و هیچ کدام از این ۷۴۳ جمله، نقیض یکدیگر نبوده‌اند. ما همچنان به اثبات کردن‌هایمان ادامه می‌دهیم و مدام جملات جدیدی را اثبات می‌کنیم. ممکن است پنجاه سال بعد، وقتی جمله ۲۳۵۹ را اثبات کردیم، معلوم شود که این جمله، با جمله ۲۸۱ در تناقض است! به عبارتی، ممکن است جمله ۲۳۵۹ و جمله ۲۸۱ که هر دو توسط دستگاه اثبات شده‌اند، نقیض یکدیگر باشند! برای آنکه تصوری پیدا کنید، به این فکر کنید که جمله‌ «خدا وجود دارد» و جمله «خدا وجود ندارد» نقیض یکدیگر هستند!این وضعیت، بسیار نامطلوب است؛ ما دوست نداریم دستگاهمان به گونه‌ای باشد که دو جمله‌ی متناقض را اثبات کند. اگر جمله‌ای وجود داشته باشد که هم خودش و هم نقیضش توسط دستگاه اثبات شود، دستگاه را ناسازگار می‌گوییم. در غیر این صورت، آن را سازگار می‌گوییم.واقعا دستگاه‌هایی وجود دارند که ناسازگار هستند. همینطور دستگاه‌هایی وجود دارند که سازگار هستند.با تعاریفی که تا کنون ارائه دادیم، مطلوب‌ترین وضعیتی که دستگاهمان می‌تواند داشته باشد، این است که هم کامل باشد، هم سازگار. البته شرط سازگاری بسیار مهم‌تر از کامل بودن است. اگر دستگاهمان کامل نباشد، فوقش درباره تعدادی جمله سکوت می‌کند و نه اثباتشان می‌کند، نه ردشان می‌کند. اما اگر دستگاه سازگار نباشد، تناقض (یعنی یک جمله و نقیضش) را اثبات می‌کند و این خیلی فاجعه‌بار است.پرسش مهم منطقی-فلسفی که در این زمینه به ذهن می‌رسد، این است که:«آیا می‌توان یک دستگاه منطقی ساخت، که در آن همه‌ی جملات خبری معنادار باشند، و این دستگاه هم سازگار باشد و هم کامل باشد»؟دقت کنید که قصد داریم همه جملات خبری در این دستگاه معنادار باشند؛ حتی جمله «خدا وجود دارد»، «مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است»، «ماست سفید است» و جمله «آدم‌فضایی‌ها وجود دارند»! و به علاوه، هر جمله‌‌ی خبری که بگوییم، توسط این دستگاه بالاخره یا اثبات شود، یا رد شود؛ و علاوه بر این، این دستگاه هیچگاه تناقض را اثبات نکند. آیا چنین دستگاهی وجود دارد؟پرسشی مشابه پرسش بالا را دیوید هیلبرت درباره ریاضیات مطرح می‌کند. به عبارتی، پرسش دیوید هیلبرت، ضعیف‌تر از پرسش بالاست و حالت خاصی از آن است.پرسش مهمی که دیوید هیلبرت درباره مبانی ریاضیات مطرح می‌کند این است:«آیا دستگاهی منطقی برای ریاضیات وجود دارد که هم کامل باشد هم سازگار»؟به عبارتی، آیا می‌توان دستگاهی منطقی معرفی کرد به طوری که همه جملات ریاضیات در آن دستگاه به عنوان جملاتی معنادار قابل بیان باشد، و هر جمله ریاضی بالاخره توسط آن دستگاه یا اثبات شود یا رد شود، و این دستگاه هیچگاه تناقض را اثبات نکند؟ما دوست داریم پاسخ این پرسش مثبت باشد؛ این، ایده‌آل‌ترین وضعیت ممکن برای ریاضیات است. گمان هیلبرت هم همین بود که پاسخ مثبت است. تا اینکه کورت گودل در ۱۹۳۱ اثبات کرد که پاسخ این پرسش منفی است! یعنی چنین دستگاهی وجود ندارد. قضیه زیر که به قضیه ناتمامیت اول گودل شهرت دارد، همین حقیقت را بیان می‌کند:قضیه ناتمامیت اول گودل:«اگر دستگاهی به اندازه کافی قوی باشد، اگر سازگار باشد، آنگاه کامل نیست»بیان دیگر این است که: «اگر دستگاهی به اندازه کافی قوی باشد، اگر سازگار باشد، جمله‌ای معنادار در دستگاه وجود دارد که توسط دستگاه نه اثبات می‌شود و نه رد می‌شود»صفتِ «به اندازه کافی قوی»، تعریفی دقیق دارد. اما در اینجا کافی است بدانید هر دستگاهی که بخواهد همه ریاضیات را در بر داشته باشد، به اندازه کافی قوی است. پس اگر سازگار باشد، دیگر کامل نخواهد بود. در نتیجه اگر کامل باشد، دیگر سازگار نیست. پس نمی‌تواند هم سازگار باشد، هم کامل. به عبارتی، ما درباره همه ریاضیات، نمی‌توانیم سازگار بودن و کامل بودن را با هم داشته باشیم و با داشتن یکی، دیگری را از دست می‌دهیم. و چون سازگار بودن ویژگی مهم‌تری است، ترجیح می‌دهیم سازگاری را داشته باشیم و کامل بودن را بیخیال شویم!پس پاسخِ پرسشِ نخست هم معلوم شد؛ هیچ دستگاهی وجود ندارد که همه جملات خبری در آن قابل بیان باشد و آن دستگاه هم سازگار باشد، هم کامل. چرا که اگر چنین دستگاهی وجود داشته باشد، همه ریاضیات را نیز در بر دارد، و به اندازه همه ریاضیات قوی است، و چون همه ریاضیات به اندازه کافی قوی است، این دستگاه نیز به اندازه کافی قوی است، پس قضیه ناتمامیت اول گودل درباره آن برقرار است.در نتیجه، این ایده که همه جملات به طور دقیق، منطقی و بی‌مناقشه در یک دستگاه منطقی قابل اثبات هستند، رویایی است که واقعیت ندارد. به عبارتی، نباید انتظار داشته باشید که هر جمله‌ای را بتوان اثبات کرد یا رد کرد! کسی چه می‌داند، شاید جمله‌ی «خدا وجود دارد» از همین نوع باشد. البته در تمام این بحث، منظور از اثبات، استنتاج منطقی یک جمله از تعدادی جمله است؛ شاید روش‌های دیگری از اثبات وجود داشته باشد که با این روش متفاوت باشد. بحثِ اینجا درباره روش‌های دیگر اثبات هیچ نظری نمی‌دهد. مثلا شاید نتوان جمله «خدا وجود دارد» را با آن مفهومی که از اثبات معرفی کردیم اثبات کرد، اما بتوان به گونه‌ای دیگر اطمینان یافت که خدا وجود دارد! همان طور که شما، نمی‌توانید به طور رسمی و دقیق اثبات کنید که «حداقل یک انسان وجود دارد» (اگر گمان می‌کنید که می‌توانید، تلاش کنید اثباتتان را بنویسید!)، اما اطمینان دارید که حداقل یک انسان وجود دارد! یا نمی‌توانید به شکلی منطقی اثبات کنید «ماست سفید است»، اما اطمینان دارید که ماست سفید است. به عبارتی، اثبات منطقی، تنها راه اطمینان به درستی یک جمله نیست!خوب است همینجا به قضیه ناتمامیت دوم گودل هم اشاره کنیم؛ این قضیه، در پاسخ به پرسشِ زیر مطرح می‌شود:«اگر T یک دستگاه منطقی باشد، آیا می‌توان اثبات کرد که T سازگار است؟»به هرحال وقتی یک دستگاه منطقی را انتخاب می‌کنیم، دوست داریم بدانیم که سازگار هست یا نه. در واقع دوست نداریم دستگاهی که در آن به اثبات جملات می‌پردازیم، ناسازگار باشد و تناقض را اثبات کند. برای همین دنبال راهی هستیم که از سازگاری آن اطمینان پیدا کنیم و سازگاری‌اش را به اثبات برسانیم. قضیه ناتمامیت دوم گودل، توضیح جالبی درباره این موضوع می‌دهد.این قضیه بیان می‌کند که اگر دستگاه T به اندازه کافی قوی باشد، و سازگار باشد، جمله‌ی «T سازگار است» که یک جمله «در مورد دستگاه» و به عبارتی «بیرون دستگاه» است، و به عبارت دیگر در «فرازبان» است، در «خود دستگاه»(«درون دستگاه» یا «زبان») به عنوان یک جمله معنادار بیان می‌شود. اما نه اثبات می‌شود، نه رد می‌شود!قضیه ناتمامیت دوم گودل:«اگر دستگاه T به اندازه کافی قوی باشد، اگر T سازگار باشد، جمله‌‌ی T سازگار است، توسط T نه اثبات می‌شود، نه رد می‌شود»به عبارتی، اگر T به اندازه کافی قوی باشد، اگر سازگار باشد، جمله‌ای وجود دارد که توسط T نه اثبات می‌شود و نه رد می‌شود و یکی از آن جملات، جمله «T سازگار است» است! قضیه ناتمامیت دوم گودل، نتایج جالبی دارد: اگر شما در یک دستگاه به اندازه کافی قوی، بتوانید اثبات کنید که این دستگاه سازگار است، در واقع اثبات کرده‌اید که دستگاه ناسازگار است! نتیجه جالب دیگر این است که اگر یک دستگاه منطقی برای ریاضیات داشته باشیم که به اندازه کافی قوی باشد، نمی‌توانیم سازگاری این دستگاه را اثبات کنیم. ریاضیات مدرن در دستگاهی به نام ZFC صورت بندی می‌شود، و ZFC به اندازه کافی قوی است. پس اگر سازگار باشد، بنا بر قضیه ناتمامیت اول گودل کامل نیست، یعنی جملاتی معنادار در ریاضیات هستند که ZFC درباره آن‌ها سکوت می‌کند و توانایی اثبات کردن یا رد کردنشان را ندارد، و بنا بر قضیه ناتمامیت دوم گودل، اگر سازگار باشد، نمی‌تواند سازگاری خودش را اثبات کند! و ریاضیدانان، اکنون نمی‌دانند که ZFC سازگار است یا نه، یعنی ممکن است مثلا چند سال بعد، قضیه‌ای در ZFC اثبات شود که با قضیه 2+2=4 در تناقض باشد!قضیه‌های ناتمامیت گودل، نتایج بسیار دیگری در «ریاضیات»، «منطق»، «فسلفه» و «علوم کامپیوتر» دارد و کتاب‌ها و مقالات زیادی در این باره نوشته شده است.هدف من، بحثی منطقی-فلسفی درباره اثبات منطقی و شرح قضیه‌های ناتمامیت گودل بود. آنچه از دستم برمی‌آمد و به ذهنم می‌رسید، نوشتم. امیدوارم هدفم را به نیکی محقق کرده باشم.برای مطالعه بیشتر در این زمینه، کتاب‌های زیر را ببینید:۱. «هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی» از گرینبرگ۲. «قضیه‌ گودل» از ارنست نیگل و دیگران۳. «منطق ریاضی» از محمد اردشیر محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Thu, 24 Mar 2022 20:29:03 +0430 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/%D9%81%D9%84%D8%B3%D9%81%D9%87-%D8%AA%D9%88%D9%BE%D9%88%D9%84%D9%88%DA%98%DB%8C-%D8%AC%D8%A8%D8%B1%DB%8C-tzozw9w5hqhv از مطالعه توپولوژی جبری لذتی عایدم شد، که با خود گفتم چه بهتر اگر تو را نیز در این لذت شریک کنم. امیدوارم پس از مطالعه این نامه، طعم لذیذی را که من چشیدم تو نیز بچشی، و آن شیرینی که نصیب من شد، نصیب تو هم بشود. می‌دانم، شاید لفظ دهان پر کن «توپولوژی جبری» تو را کمی بترساند، و گمان کنی که از این نامه چیزی نخواهی فهمید. اما نگران نباش. تلاش کرده‌ام تا در ساده‌ترین حالت ممکن داستان توپولوژی جبری را برایت روایت کنم. فرض کرده‌ام که نه از توپولوژی چیزی می‌دانی، نه از جبر! تنها فرضم این بوده که توانایی خواندن داری، و البته حوصله! امیدوارم فرض زیادی نباشد. پس اگر می‌توانی بخوانی، و حوصله خواندن داری، با من همراه شو تا تو را به دنیای توپولوژی جبری ببرم و زیبایی‌های این دنیا را نشانت دهم.برای رسیدن به قله‌ی توپولوژی جبری، ابتدا باید از گذرگاه توپولوژی و شهرِ جبر گذر کنیم. پس بیا تلاش کنیم تا این دو را بیشتر بشناسیم و جوابی برای این دو سوال پیدا کنیم:توپولوژی چیست؟جبر چیست؟وقتی از این‌ها گذر کنیم، کوهِ توپولوژی جبری پدیدار خواهد شد و تلاش می‌کنیم به سوال «توپولوژی جبری چیست» بپردازیم و از کوه بالا برویم و به قله برسیم.مفهومی که توپولوژی روی آن سوار شده، و هرگز از آن پیاده هم نمی‌شود، مفهوم «پیوستگی» است. پس برای جواب دادن به سوالِ «توپولوژی چیست»، لازم است درکی از «پیوستگی» داشته باشیم. بیا بپرسیم: «پیوستگی چیست»؟!مثلا سیب سرخی را در نظر بگیر که از شاخه درختی به زمین می‌افتد. در اینجا چیزی اتفاق افتاده که به آن حرکت می‌گوییم؛ حرکت سیب از روی شاخه به روی زمین. سوالی که می‌توان پرسید این است که ویژگی‌های این حرکت چیست؟! مثلا: آیا این حرکت، پیوسته بوده؟! یا نه؟! برای درک بهتر این سوال، به فیلم‌برداری فکر کن. یک قطعه فیلم، حاصل کنار هم گذاشتن تعداد زیادی عکس است که در زمان‌های متفاوتی گرفته شده. وقتی تو فیلمی را می‌بینی، یک فیلمِ پیوسته نیست. یک ثانیه فیلم، هزاران عکس است که با سرعت زیاد از جلوی چشمانت می‌گذرد، و تو گمان می‌کنی که واقعا حرکت پیوسته‌ای اتفاق افتاده. در حالی که این گونه نیست. اگر بتوانی یک ثانیه را به اندازه هزار ثانیه کش بدهی(!)، در آن صورت انگار در هر ثانیه یک عکس به تو نمایش داده شده، تا اینکه بعد از هزار ثانیه، تمام عکس‌ها را ببینی. اگر زمان برای تو به اندازه کافی کُند بگذرد، متوجه می‌شوی که فیلم نمی‌بینی. فقط تعداد زیادی عکس شبیه به هم می‌بینی. پس یک قطعه فیلم، یک پدیده‌ی پیوسته نیست. اما حرکت سیب چطور؟! اگر از افتادن سیب فیلم بگیری و آن فیلم را به کسی نشان دهی، آن چیزی که او می‌بیند، یک پدیده‌ی پیوسته نیست! چون او دارد فیلم می‌بیند، و دیدیم که فیلم پدیده‌ای پیوسته نیست. اما آن چیزی که تو دیدی چه؟! آیا پیوسته بود؟! کسی چه می‌داند، شاید چشم ما هم مثل یک دوربین فیلم‌برداری تعداد بسیار زیادی عکس را در زمان کمی به ما نشان می‌دهد. پس شاید آن چیزی که ما می‌بینیم هم پیوسته نباشد. اما حرکت واقعی سیب چطور؟! اصلا فرض کن بیننده‌ای در کار نیست. سیبی از روی درختی می‌افتد‌. آیا پیوسته افتاد؟! یا این افتادن نیز مانند تعداد زیادی عکس بود که یکی پس از دیگری گذشت؟! راستش را بخواهی، من جواب این سوال را نمی‌دانم. و گمان نمی‌کنم فهمیدن اینکه حرکت سیب واقعا پیوسته است یا نه، به سادگی امکان‌پذیر باشد. اما این را می‌دانم که در علم فیزیک، و بعضی علوم دیگر، معمولا این حرکت سیب را پیوسته «فرض» می‌کنند. گرچه شاید دلیل کافی برای این موضوع نداشته باشند. نه تنها حرکت سیب، بلکه حرکت‌های مشابه را نیز پیوسته فرض می‌کنند‌. مثلا حرکت یک اتوموبیل، حرکت دست من، حرکت زمین به دور خورشید و ... . به هر حال، با اینکه تعریف دقیقی از پیوستگی ارائه ندادم، اما احساس می‌کنم با این مثال، مفهوم پیوستگی را لمس کرده باشی. اجازه بده مثال دیگری بزنم. فرض کن یک لیوان چای داغ برای خودت آماده کرده‌ای. پس از مدتی دمای چای پایین می‌آید. این پایین آمدن دما، پیوسته بود یا نه؟! یا مثلا فرض کن به قصد پیاده‌روی از خانه بیرون زده‌ای. همین‌طور که در خیابان‌ها قدم می‌زنی، دمای هوا احتمالا تغییر می‌کند. به عبارتی، در هر نقطه که قرار بگیری، هوا دمایی دارد که احتمالا با نقطه قبلی که در آن قرار داشتی متفاوت است. آیا این تغییر دمای هوا، یک تغییر پیوسته است؟ یک مثال دیگر؛ فرض کن به یک استخر شنا رفته‌ای. اگر تجربه کرده باشی، می‌دانی که هر چه به کف استخر نزدیک‌تر شوی، فشار آب بیشتر می‌شود. به طوری که اگر عمق آب استخر مثلا چهار متر باشد، وقتی به کف استخر برسی (اگر به اندازه کافی شنا بلد باشی!)، فشار شدید آب را بر بدن خود، مخصوصا فشار آب وارد بر گوش‌ها و ناحیه سر خود را حس می‌کنی. آیا این افزایش فشار آب، وقتی از سطح آب به عمق آب حرکت می‌کنیم، یک تغییر پیوسته است؟خودت به معنای این سوالات بیندیش و تلاش کن جوابی بدهی. همین طور سعی کن این مثال‌ها را با مثال افتادن سیب مقایسه کنی، و شباهت‌ها و تفاوت‌هایشان را بیابی.اکنون که کمی با مفهوم پیوستگی آشنا شدی، ابزار آن را داری که در مورد «توپولوژی» بیشتر بدانی. پس سوالی که می‌پرسیم این است: «توپولوژی چیست»؟! تعریفی که می‌خواهم ارائه دهم، کاملا دقیق نیست، اما با تقریب خوبی، تعریف درستی است:«توپولوژی، شاخه‌ای از ریاضیات است که مفهوم پیوستگی را «دقیق» می‌کند»اما دقیق کردن یعنی چه؟! منظور من از دقیق کردن یک مفهوم، پیدا کردن معادلِ منطقی-ریاضیِ آن مفهوم است. این یعنی چه؟! تلاش می‌کنم با مثالی منظورم را روشن کنم:احتمالا با مفهوم جاذبه یا «گرانش» آشنا باشی. تعریف فیزیکی گرانش اینگونه است: «هر دو جسمی به هم نیرو وارد می‌کنند، که هر چه مجموع جرم دو جسم بیشتر باشد، و فاصله بین دو جسم کمتر باشد، مقدار این نیرو بیشتر است. این نیرو را، نیروی گرانشی می‌گویند».مثلا، کره زمین، به اجسام روی سطح خود، نیرو وارد می‌کند و آن‌ها را به سمت خود می‌کشد. هر چه جرم آن جسم بیشتر، و فاصله‌اش با زمین کمتر باشد، نیرویی که زمین به آن وارد می‌کند بیشتر است. همین‌طور زمین و خورشید، خورشید و مریخ، مریخ و زحل و ... به هم نیروی گرانشی وارد می‌کنند. به طور کلی، طبق قانون گرانش، هر دو جسمی به هم نیرو وارد می‌کنند. حتی من اکنون دارم به کتابی که روی میزم قرار دارد نیروی گرانشی وارد می‌کنم! اما خب، چون مجموع جرم من و کتابم ناچیز است، این نیرو بسیار بسیار کم است. این‌ها توضیحاتی بود درباره نیروی گرانشی. اما به نظرت این حرف‌ها دقیق بود؟! به راستی نه! اگر دقت کنی، مدام از توصیفاتی کیفی مانند رابطه دارد، بیشتر است، کمتر است، ناچیز است، بسیار بسیار کم است و ... استفاده کردیم. این توصیفات کیفی، ما را به کره‌ی ماه نمی‌رساند! و رویای زندگی در مریخ، با این توصیفات کیفی به واقعیت تبدیل نخواهد شد! برای آنکه بخواهیم به ماه سفر کنیم، یا در مریخ به زندگی ادامه دهیم، لازم است دقت و توصیفات کَمّی را وارد کار کنیم. و بدانیم که:نیروی گرانشی چگونه محاسبه می‌شود؟ اگر جرم ده برابر شود، نیروی گرانشی چند برابر می‌شود؟ اگر فاصله دو جسم نصف شود نیروی گرانشی چند برابر می‌شود؟ نیرویی که من به کتاب روی میزم وارد می‌کنم، چقدر است؟ به عبارتی، لازم است این مفاهیم فیزیکی را ابتدا با اعداد بیان کنیم، و بعد فرمولی را که این مفاهیم در آن‌ها صدق می‌کنند مشخص کنیم. فیزیک، همین کار را می‌کند و برای این کار، به شکل چشمگیری از ریاضیات کمک می‌گیرد. در این صورت، مفاهیم فیزیکی محاسبه پذیر می‌شوند، و چون تعاریف دقیق و فرمول‌های دقیقی در اختیار داریم، می‌توانیم نتایج دقیق‌تری بدست آوریم؛ مثلا به ماه سفر کنیم! بد نیست بدانی نیروی گرانشی بین دو جسم، از این رابطه محاسبه می‌شود:«جرم جسم اول، ضربدر جرم جسم دوم، تقسیم بر فاصله بین دو جسم به توان دو، ضربدر یک عدد ثابت»برای نوشتن این عدد ثابت، یک صفر بنویس، یک ممیز بکش، بعد از آن ممیز ده تا صفر بگذار، و بعد عدد یک را قرار بده! (البته مقدار دقیق‌تری از این عدد ثابت هم وجود دارد). همان طور که می‌بینی، این عدد ثابت، عدد بسیار کوچکی است. اما اینجا، می‌دانیم بسیار کوچک یعنی چقدر کوچک! به عبارتی، مفهوم نیروی گرانشی، در فرمول گرانش، «دقیق» شده است. و می‌توانیم با دقت ریاضی درباره نیروی گرانشی حرف بزنیم و نتیجه گیری کنیم.پس وقتی از دقیق شدنِ یک مفهوم حرف می‌زنم، منظورم چنین چیزی است. برگردیم به بحثمان.توپولوژی، علمی است که مفهوم پیوستگی را دقیق می‌کند. همان‌طور که فیزیک مفهوم نیرو را دقیق می‌کند. به عبارتی، توپولوژی، تلاش می‌کند تا تعریفی ریاضی‌گونه از مفهوم پیوستگی ارائه دهد. وقتی پیوستگی به طور دقیق‌تری تعریف شود، می‌توان نتایج دقیق‌تری هم گرفت، و جمله‌های دقیق‌تری را اثبات کرد. اصلا وقتی ریاضی را صدا می‌زنیم، با جعبه ابزار قدرتمندش به سراغمان می‌آید، و کمکمان می‌کند تا جمله‌هایی را اثبات یا رد کنیم که تا قبل از آن نمی‌توانستیم. چرا که ریاضی، توانایی شگرفی در اثبات کردن دارد. مثلا به کمک توپولوژی، می‌توانیم اثبات کنیم که:اگر دما و فشار هوا، روی سطح کره زمین به طور پیوسته(با همان تعریف پیوستگی که در توپولوژی به طور دقیق تعریف می‌شود) تغییر کند، حداقل یک نقطه روی سطح کره زمین وجود دارد، که نقطه متقاطر آن در نیم‌کره‌ی دیگر کره‌ی زمین، دقیقا همان دما و فشار را دارد!این جمله، نتیجه قضیه مهمی در توپولوژی جبری است که به «قضیه بورسک اُلام» مشهور است.جالب است که برای اثبات چنین جمله‌ای، فقط فرض پیوستگی تغییرات دما و فشار هوا، و فرض کروی شکل بودن زمین لازم است. یعنی این نتیجه به ویژگی‌های جغرافیایی و ... وابسته نیست!در ادامه به بعضی از دیگر جملات جالبی که به کمک توپولوژی و توپولوژی جبری اثبات می‌شوند، اشاره‌ای خواهم کرد.چون سر و کار توپولوژی با مفهوم مهمی مثل پیوستگی است، قابل درک است که این شاخه از ریاضی، کاربردهایی جدی و مهمی در علومی مثل فیزیک، مخصوصا کیهان‌شناسی دارد. انگار همیشه همین‌طور بوده! انگار صدا زدن ریاضی، همیشه به کمک علم و تکنولوژی آمده. یادت نرود که اگر فیزیک، ریاضی را صدا نمی‌زد و از او کمک نمی‌خواست، اکنون هواپیمایی نبود که سفر‌های کیلومتری را راحت کند، و اینترنتی نبود که ارتباطات را تا این حد گسترش دهد. حداقل می‌توان گفت این پیشرفت‌ها به این سرعت بدست نمی‌آمد. یا حداقل‌تر(!) به نظر نمی‌آمد که این پیشرفت‌ها به این سرعت بدست بیاید!پس تا اینجا فهمیدیم که کار توپولوژی، دقیق کردن مفهوم پیوستگی است. اما بیا ببینیم که توپولوژی چگونه این کار را انجام می‌دهد. آن پیوستگی که ما می‌شناسیم، در جهانی رخ می‌دهد که ما در آن زندگی می‌کنیم. اما جهانی که ما در آن زندگی می‌کنیم کجاست؟! به عبارتی، اگر بخواهیم جهانمان را به طور ریاضی بیان کنیم، چه می‌گوییم؟! اینجاست که سر و کله‌ی مفاهیم هندسی پیدا می‌شود. تا جایی که برای هندسه و ریاضیات مهم باشد، جهان ما(دقیق‌تر: جهانِ مادیِ ما!)، مجموعه‌ای از اشکال هندسی است. مثلا یک کتاب، یک مکعب مستطیل است. یک توپ، یک کره است. یک قوطی رب، یک استوانه است و ... . در هندسه، دیگر کتاب بودن و توپ بودن و رب بودن مهم نیست. آن چیزی که مهم است، مکعب مستطیل بودن و کره بودن و استوانه بودن است. پس جهان ما به زبان ریاضی، یعنی مجموعه‌ای از همین اشکال هندسی. که همه این شکل‌های هندسی، در جایی زندگی می‌کنند که آن را جهان سه بعدی می‌نامیم. این جهان سه بعدی، جهان دو بعدی را هم در بر دارد. شاید بازی قارچ خور را دیده باشی. قارچ خور، در جهانی دو بعدی زندگی می‌کند. به عبارتی، جهان دو بعدی، جهان اشیائی است که در یک صفحه واقع‌اند. مثلا مستطیل، مربع، مثلث، دایره، خط، و ... در جهان دو بعدی زندگی می‌کنند. اما خب جهان ما یا همان جهان سه بعدی، جهان دو بعدی را هم در بر دارد. یا به قول معروف، چون که صد آمد نود هم پیش ماست! در مورد جهان یک بعدی، خودت بیندیش و تلاش کن تا بفهمی منظور از جهان یک بعدی چیست. همین‌طور درباره جهان صفر بعدی فکر کن. جهان ما، جهان یک بعدی و صفر بعدی را هم در بر دارد. به هر حال، جهان ما، جهان سه بعدی است.برای چند لحظه، عینک هندسه را به چشمانت بزن، و نگاهی به دور و برت بینداز. دیگر کتاب و میز و دونات و فنجان قهوه و دیوار و تابلوی نقاشی نمی‌بینی. با این عینک، تنها چیزهایی که می‌بینی، مکعب و کره و چنبره (شکل هندسیِ دونات) و مستطیل و دایره و شکل‌های منظم و نامنظم هندسی است. و آن پیوستگی که ما می‌فهمیم، و محل بحث ماست، همین پیوستگی است که در جهان سه بعدی رخ می‌دهد. مثلا سوالمان این است که حرکت یک مکعب مستطیل (جعبه‌ی یک اسباب بازی) پیوسته است یا نه؟! حرکت یک کره یا چیزی شبیه کره (سیب) پیوسته است یا نه؟ اصلا چرا بگوییم حرکت، کلی‌تر بگوییم! بگوییم تغییر! تغییرات یک مکعب، پیوسته است یا نه؟! تغییرات یک کره چطور؟! تغییرات یک دایره چطور؟! آیا همه تغییرات پیوسته‌اند؟! یا تغییرات ناپیوسته هم وجود دارد؟! اصلا معنای پیوستگیِ یک تغییر در جهان سه بعدی (جهان اشکال هندسی) چیست؟! و وقتی می‌گوییم تغییرات پیوسته، دقیقا منظورمان چیست؟! قرار است که توپولوژی همه این سوال‌ها را جواب دهد. ابتدا مفهوم پیوستگی را به طور دقیق تعریف می‌کند، بعد برای ما اثبات می‌کند که یک تغییر تحت چه شرایطی یک تغییر پیوسته به شمار می‌رود. به کمک این ابزار، می‌تواند بررسی کند که یک تغییر مشخص، پیوسته است یا نه.اما توپولوژی، گام را فراتر می‌گذارد و مفهوم پیوستگی را نه فقط برای این جهان سه بعدی‌ که ما در آن زندگی می‌کنیم، بلکه برای بی‌نهایت جهانِ دیگر تعریف می‌کند! که البته کار ما را راه می‌اندازد، اما کار موجودات دیگر در جهان‌های دیگر را هم راه می‌اندازد! می‌دانی مثل چه می‌ماند؟! فرض کن که من و تو برای زندگی کردن محتاج یک خانه‌ایم و اگر یک خانه به ما بدهند، تا آخر عمر می‌توانیم در آن خانه زندگی کنیم و خلاصه کارمان راه می‌افتد. برای اینکه به این خانه برسیم، آقا یا خانومِ (هر طور تو دوست داری!) توپولوژی را صدا می‌زنیم. می‌گوییم ما برای زندگی به یک خانه نیاز داریم و همین یک خانه ما را بس است. توپولوژی، قبول می‌کند و می‌گوید خانه را برایتان می‌سازم. چند روز بعد می‌آییم و می‌بینیم، نه تنها توپولوژی برایمان یک واحد خانه ساخته، بلکه بالای آن خانه هزار طبقه خانه ساخته، و به این هم اکتفا نکرده، در کنار خانه ما، هزار خانه دیگر ساخته، و به این‌ها هم اکتفا نکرده، هزار شهر و هزار کشور ساخته، و باز هم قانع نشده، هزار جهان مختلف ساخته است!! (اگر به جای این «هزار»ها، «بی‌نهایت» بگذاری، این مثال، مثال دقیق‌تری خواهد شد!)و واقعا هم توپولوژی همینگونه رفتار می‌کند. ما پیوستگی را فقط در جهان خودمان، یعنی جهان سه بعدی درک می‌کنیم. و لازم داریم که پیوستگی فقط در همین جهان دقیق شود. و توپولوژی را صدا می‌زنیم و می‌گوییم بیا مفهوم پیوستگی را در این جهان سه بعدی دقیق کن. توپولوژی قبول می‌کند. اما بعداً می‌بینیم که توپولوژی علاوه بر اینکه مفهوم پیوستگی را برای جهان سه بعدی تعریف کرده، مفهوم پیوستگی را برای جهان‌های چهار بعدی و پنج بعدی و هزاربعدی و صدهزاربعدی و ... تعریف کرده، و اصلا آمده و مفهوم پیوستگی را در بی‌نهایت جهان دیگر (غیر از جهان‌های دارای بُعد) تعریف کرده است. اگر بخواهم دقیق‌تر بگویم، توپولوژی پیوستگی را در کلی‌ترین حالت ممکن تعریف می‌کند، که این تعریف کلی برای جهان سه بعدی ما هم کار می‌کند. یعنی کار پیوستگی در جهان ما، با تعریفی که توپولوژی ارائه می‌دهد، راه می‌افتد. اما خب پیوستگی، در بی‌نهایت جهان دیگر هم که ربطی به جهان ما ندارند، توسط توپولوژی جان (!) تعریف شده است! و با دقت هم تعریف شده است! شاید فکر کنی این حجم از کلیت بی‌فایده است، اما تاریخ نشان داده که این جهان‌های کلی، حداقل تعدادی از آن‌ها، به مرور کاربردهای خودشان را در روزمرگی‌های ما پیدا می‌کنند!اینکه تعریف دقیق پیوستگی که توپولوژی آن را ارائه می‌دهد چیست، سوالی است که قصد ندارم در این نامه به آن بپردازم. چون بحث را بیش از اندازه تخصصی می‌کند. صرفا می‌خواهم ایده‌ها را بگویم، و درک شهودی تو را نسبت به مسائل توپولوژیک بالا ببرم.در ابتدا، درکی از مفهوم پیوستگی پیدا کردیم اما تعریف دقیقی از آن نداشتیم. در ادامه فهمیدیم که توپولوژی مفهوم پیوستگی را با دقت ریاضی تعریف می‌کند و این تعریف آنقدر کلی است که نه تنها نیاز ما و جهان ما را برآورده می‌کند، بلکه نیازهای موجودات دیگر در جهان‌های دیگر را هم برطرف می‌سازد. اکنون بیا درباره مسائل مهمی که در توپولوژی مطرح می‌شود با هم حرف بزنیم. شاید این جمله معروف را تا کنون شنیده باشی:«توپولوژی‌دان کسی است که بین فنجان قهوه و دونات، تفاوتی نمی‌بیند!»در این قسمت از نامه، تمام هدفم این است که همین یک جمله را توضیح دهم و بگویم منظور این جمله‌ی عجیب و غریب چیست. اتفاقا فهمیدن همین یک جمله برای فهمیدن توپولوژی اهمیت زیادی دارد؛ درک این جمله، یعنی رسیدن به مغزِ توپولوژی. و ادامه نامه، روی معنای همین جمله سوار شده است! پس چشم و دلت را عمیقاً به من بسپار تا ابزار فهم این جمله را به تو هدیه کنم. یادت هست گفتم توپولوژی مفهوم پیوستگی را در کلی‌ترین حالت ممکن تعریف می‌کند؟! اما توپولوژی چگونه این کار را انجام می‌دهد؟توپولوژی، به جهان‌های مختلف ریاضی (لازم نیست تعریف دقیق یک جهان ریاضی را بدانی، فقط تصورت این باشد که جهان ریاضی، یعنی جهانی در دنیای ریاضیات!) یک ساختارِ خاص نسبت می‌دهد. به این ساختار، ساختار توپولوژیک می‌گویند. برای روشن شدن این جملات، به این مثال دقت کن: فرض کن که در یک کشور، بعضی شهرها را به ساختار شهرِ بازی مجهز کرده‌اند، بعضی شهرها را نه. به عبارتی در بعضی شهر‌ها شهر بازی ساخته‌اند، در بعضی نه. ما در مورد آن شهرهایی که شهر بازی دارند، می‌توانیم جملات معناداری بگوییم و سوالات معناداری بپرسیم که در مورد شهرهای دیگر گفتن این جملات و پرسیدن این سوالات، معنادار نیست. مثلا فرض کن شهر X، از آن شهرهایی باشد که ساختار شهر بازی دارد. این سوالات منطقی است:آیا شهربازیِ شهر X، چرخ و فلک دارد؟ شهربازیِ شهر X، چند چرخ و فلک دارد؟ظرفیت چرخ و فلک شهربازیِ شهر X، چند نفر است؟آیا شهربازیِ شهر X، قطار وحشت دارد؟شهربازیِ شهر X، چند قطار وحشت دارد؟ظرفیت قطار وحشت شهربازیِ شهر X، چند نفر است؟و ...فرض کنید شهر Y، از آن شهرهایی باشد که ساختار شهر بازی ندارد. هیچ کدام از سوالات بالا، در مورد شهر Y معنادار نیست. اگر نگوییم معنادار نیست، حداقل کاملا بی‌اهمیت است. چون شهر Y اصلا شهر بازی ندارد.حالا فرض کن شهر X و شهر Z، هر دو ساختار شهربازی داشته باشند. در این صورت می‌گوییم این دو شهر از دید شهر بازی هیچ تفاوتی ندارند، هرگاه هر وسیله بازی که در شهر بازی شهر X وجود داشته باشد، در شهر بازی شهر Z نیز وجود داشته باشد و برعکس؛ یعنی هر وسیله بازی که در شهر بازی شهر Z وجود داشته باشد، در شهر بازی شهر X هم وجود داشته باشد. مثلا فرض کن که شهر بازی شهر X دو چرخ و فلک دارد که هر کدام چهل جایگاه دارد. فرض کن شهر بازی شهر Z هم دو چرخ و فلک داشته باشد که هر کدام چهل جایگاه دارد. فرض کن شهر بازی شهر X یک قطار وحشت داشته باشد که هفتاد صندلی دارد. فرض کن شهر بازی شهر Z هم یک قطار وحشت داشته باشد که هفتاد صندلی دارد. خلاصه فرض کن هر وسیله‌ای که شهر بازی شهر X دارد، شهر بازی شهر Z هم همان وسیله را با همان ویژگی‌ها دارد و برعکس. در این صورت می‌گوییم شهر X و شهر Z از دید شهر بازی هیچ تفاوتی با هم ندارند. اگر اینطور می‌بود که مثلا شهر بازی شهر X دو چرخ و فلک داشت و شهر بازی شهر Z یک چرخ و فلک، می‌گفتیم شهر X و شهر Z از دید شهربازی با هم فرق دارند.اکنون فرض کن عینکی وجود داشته باشد به نام عینک شهر بازی. هرگاه آن عینک را به چشم بزنی، هیچ چیزی جز شهر بازی نمی‌بینی. پس بعضی شهرها را کلا نمی‌بینی چون اصلا شهر بازی ندارند. بعضی شهرها گرچه شهرهایی بسیار متفاوتند، آن‌ها را دقیقا یکسان می‌بینی چون از دید شهربازی هیچ تفاوتی ندارند و به عبارتی ساختار شهربازی هایشان یکسان است. بعضی‌ شهرها گرچه بسیار به هم شبیه‌اند، آن‌ها را متفاوت می‌بینی چون ساختار شهر بازی‌هایشان با هم متفاوت است (مثلا یکی چرخ و فلک دارد و دیگری ندارد).حالا بیا این مثال را عیناً در مورد جهان‌های ریاضی پیاده کنیم. جهان‌های ریاضی مختلفی وجود دارد. به برخی از آن‌ها، ساختار توپولوژیک می‌دهیم. ما در مورد آن جهان‌هایی که ساختار توپولوژیک دارند، می‌توانیم جملات معناداری بگوییم و سوالات معناداری بپرسیم که در مورد جهان‌های دیگر گفتن این جملات و پرسیدن این سوالات، معنادار نیست. مثلا فرض کن جهان X، از آن جهان‌هایی باشد که ساختار توپولوژیک دارد. این سوالات منطقی است:آیا جهان X فشرده است؟آیا جهان X همبند است؟ جهان X چند مولفه همبندی دارد؟آیا جهان X همبندِ راهی است؟جهان X چند مولفه‌ی همبندی راهی دارد؟و ...برای فهمیدن ادامه نامه، لازم نیست تعریف دقیق این مفاهیم را بدانی؛ فقط این را بدان که مفهوم فشردگی، همبندی، همبندی راهی، مولفه‌های همبندی، مولفه‌های همبندی راهی و ... مفاهیمی توپولوژیک هستند که فقط در مورد جهان‌هایی مطرح می‌شوند که ساختار توپولوژیک داشته باشند. درست مثل مفاهیمی مثل چرخ و فلک و قطار وحشت که فقط در مورد شهرهایی مطرح می‌شوند که ساختار شهربازی داشته باشند. (از تو می‌خواهم که در مثال مناقشه نکنی!)فرض کن جهان Y، از آن جهان‌هایی باشد که ساختار توپولوژیک ندارد. هیچ کدام از سوالات بالا، در مورد جهان Y معنادار نیست. چون جهان Y اصلا ساختار توپولوژیک ندارد.حالا فرض کن جهان X و جهان Y، هر دو ساختار توپولوژیک داشته باشند. در این صورت می‌گوییم این دو جهان از دید توپولوژی هیچ تفاوتی ندارند، هرگاه هر ویژگی توپولوژیک که جهان X آن را دارد، جهان Y نیز آن را داشته باشد و برعکس؛ یعنی هر ویژگی توپولوژیک که جهان Y آن را دارد، جهان X نیز آن را داشته باشد.مثلا فرض کن که جهان X فشرده است و همبند نیست. فرض کن جهان Y نیز فشرده باشد و همبند نباشد. فرض کن جهان X پنج مولفه همبندی داشته باشد. فرض کن جهان Y هم پنج مولفه همبندی داشته باشد. خلاصه فرض کن هر ویژگی توپولوژیک که جهان X دارد، جهان Y هم همان ویژگی را داشته باشد و برعکس. در این صورت می‌گوییم جهان X و جهان Y از دید توپولوژی هیچ تفاوتی با هم ندارند. اگر اینطور بود که مثلا جهان X فشرده باشد اما جهان Y فشرده نباشد، می‌گفتیم این دو جهان از دید توپولوژی با هم متفاوتند. اکنون فرض کن عینکی وجود داشته باشد به نام عینک توپولوژی. هرگاه آن عینک را به چشم بزنی، هیچ چیزی جز ویژگی‌های توپولوژیک نمی‌بینی. پس بعضی جهان‌ها را کلا نمی‌بینی چون اصلا ساختار توپولوژیک ندارند. بعضی جهان‌ها گرچه جهان‌هایی بسیار متفاوتند، آن‌ها را دقیقا یکسان می‌بینی چون از دید توپولوژی هیچ تفاوتی ندارند؛ به عبارتی هر ویژگی توپولوژیک که یکی از این دو جهان دارد دیگری هم دارد. بعضی‌ جهان‌ها گرچه بسیار به هم شبیه‌اند، آن‌ها را متفاوت می‌بینی چون از دید توپولوژی با هم متفاوتند(مثلا یکی فشرده است و دیگری فشرده نیست).اکنون می‌توانی آن جمله معروف را درک کنی: «توپولوژی‌دان کسی است که بین فنجان قهوه و دونات، تفاوتی نمی‌بیند!»در اینجا، منظور از توپولوژی‌دان کسی است که همواره عینک توپولوژی به چشم دارد. او بین فنجان قهوه و دونات، هیچ تفاوتی نمی‌بیند، چون این دو شکل هندسی (شکل هندسی فنجان قهوه و شکل هندسی دونات) اولا هر کدام جهان‌هایی هستند که ساختار توپولوژیک دارند. ثانیا گرچه جهان‌هایی بسیار متفاوتند اما از دید توپولوژی هیچ تفاوتی با هم ندارند! چرا که هر ویژگی توپولوژیک که فنجان قهوه دارد، دونات هم دارد و برعکس. فنجان قهوه فشرده است، دونات هم فشرده است. فنجان قهوه همبند راهی است، دونات هم همبند راهی است و ... . این هم از درک آن جمله معروف! حالا شاید برایت سوال پیش آمده باشد که چرا ویژگی‌های توپولوژیک فنجان قهوه و دونات دقیقا مثل هم است؟ و اصلا از کجا می‌شود این را فهمید؟ از کجا فهمیدند که فنجان قهوه و دونات از دید توپولوژی هیچ تفاوتی با هم ندارند؟ و اصلا وقتی دو جهان از دید توپولوژی مثل هم باشند، چه معنایی دارد؟! اکنون جواب جالبی به این سوال‌ها می‌دهم.اما قبل از آن بیا برای خلاصه نویسی قراردادی را به طور ذهنی امضا کنیم:هرگاه دو جهان از دید توپولوژی تفاوتی نداشته باشند، این دو جهان را «همسان ریخت» می‌گوییم. انگار وقتی دو جهان از دید توپولوژی تفاوتی نداشته باشند، ریختشان همسان است! به طور خلاصه، به آن‌ها همسان ریخت می‌گوییم. مثلا فنجان قهوه و دونات، چون از دید توپولوژی هیچ تفاوتی با هم ندارند، و همه ویژگی‌های توپولوژیک آن دو مثل هم است، پس همسان ریخت هستند. اما چه زمانی دو جهانِ توپولوژیک (وقتی می‌گویم جهان توپولوژیک، منظورم جهانی است که ساختار توپولوژیک دارد) با هم همسان ریخت هستند؟ یک ایده شهودی ساده و جالب برای جواب دادن به این سوال وجود دارد. قبل از آنکه این ایده را بگویم، اجازه بده برای اینکه با جهان‌های توپولوژیک، بیشتر آشنا شوی، چند تا از جهان‌های توپولوژیک را به تو نشان دهم.جهان سه بعدی خودمان (جهان همه اشکال هندسی) یک ساختار توپولوژیک دارد. پس جهان سه بعدی، یک جهان توپولوژیک است. به علاوه، هر قسمت از این جهان، خودش یک جهان توپولوژیک است! مثلا کره‌ی زمین را در نظر بگیر. کره‌ی زمین، قسمت کوچکی از جهان سه بعدی است. پس یک جهان توپولوژیک است. همان طور که در این مثال دیدی، ممکن است یک جهان توپولوژیک درون جهان توپولوژیک دیگری قرار داشته باشد. به عنوان مثالی دیگر، کره‌ی ماه نیز چون قسمتی از جهان سه بعدی است، یک جهان توپولوژیک است. فنجان قهوه نیز چون قسمتی از جهان سه بعدی است، یک جهان توپولوژیک است. همین‌طور دونات، پرتقال، صندلی، تلویزیون و ... همگی جهانی توپولوژیک هستند؛ چرا که قسمتی از جهان سه بعدی به حساب می‌آیند. البته همان‌طور که قبلاً گفتم، در ریاضیات، پرتقال بودن اهمیت ندارد. بلکه شکل هندسی پرتقال مهم است. پس دقیق‌تر این است که بگویم:شکل هندسی کره زمین، شکل هندسی کره ماه، شکل هندسی دونات، شکل هندسی پرتقال، شکل هندسی صندلی، شکل هندسی تلویزیون و ... جهان‌هایی توپولوژیک هستند. به عبارتی، کره، مکعب، مکعب مستطیل، هِرم، مخروط، ترکیب مکعب و هرم، ترکیب کره و مخروط و حتی شکل‌های هندسی نامنظمی که اسم خاصی ندارند، همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند. همین طور دایره، مستطیل، مثلث، لوزی و ... همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند. چرا که قسمتی از جهان سه بعدی هستند. (درست است که دو بعدی‌اند، اما هر شکل دو بعدی، یک شکل سه بعدی هم به شمار می‌رود)همین‌طور کره‌ی توپُر، مکعب توپر، هرم توپر و ... همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند. و نیز دایره‌‌ی توپر، مستطیل توپر، مثلث توپر و ... همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند.همین‌طور خط، پاره‌خط، نیم خط، نقطه و ... همگی جهان‌هایی توپولوژیک هستند. به طور کلی، خود جهان سه بعدی جهانی توپولوژیک است، و هر قسمتی از جهان سه بعدی، یک جهان توپولوژیک است؛ به عبارتی، هر شیئی در جهان سه بعدی که در نظر بگیری، چه بخواهد صفر بعدی باشد(مثل نقطه)، چه بخواهد یک بعدی باشد(مثل پاره خط)، چه بخواهد دو بعدی باشد(مثل دایره یا دایره‌ی توپُر)، چه بخواهد سه بعدی باشد(مثل کره یا کره‌ی توپُر) یک جهان توپولوژیک است. پس با گستره‌ی بسیار زیادی از جهان‌های توپولوژیک آشنا شدی. اتفاقا بحث ما در این نامه، در ارتباط با همین جهان‌های توپولوژیکی است که در جهان سه بعدی خودمان حضور دارند. در این نامه به جهان‌های توپولوژیک چهار بعدی و پنج بعدی و پانصد بعدی و ... کاری ندارم و قصد ندارم از آن‌ها سخن بگویم. همین‌طور با جهان‌های توپولوژیک دیگری که دارای بُعد نیستند هم کاری ندارم. اگر می‌خواهی در مورد آن‌ها اطلاعات پیدا کنی، خوب است به کتاب‌های مربوط به توپولوژی سری بزنی. بنابراین از اینجای نامه به بعد، هر زمان که گفتم جهان توپولوژیک، منظورم یا خود جهان سه بعدی است، یا منظورم جهانی است که در قسمتی از جهان سه بعدی قرار دارد(مثل پاره خط، دایره‌ی توپُر، مکعب و ...).برگردیم به سوال مهمی که پرسیده بودیم:چه زمانی مطمئن می‌شویم دو جهان توپولوژیک با هم همسان ریخت هستند؟به عبارتی:چه زمانی مطمئن می‌شویم دو جهان توپولوژیک از دید توپولوژی تفاوتی با هم ندارند؟به بیان معادل:چه زمانی مطمئن می‌شویم همه ویژگی‌های توپولوژیک دو جهان توپولوژیک با هم یکسان است؟جواب سوال بالا این است: «دو جهان توپولوژیک زمانی با هم همسان ریخت هستند، که بتوان هر یک از آن‌ها را به طور پیوسته تغییر داد و به دیگری تبدیل کرد»اما منظور از تغییر پیوسته چیست؟ این تغییر پیوسته، در علم توپولوژی، به شکلی دقیق و ریاضی‌گونه تعریف می‌شود. اما در اینجا، چون قصد ندارم به طور تخصصی وارد مباحث توپولوژی شوم، از ارائه تعریف دقیق پیوستگی به تو، خودداری می‌کنم. فقط این را بدان، که همه این بحث‌های شهودی که مطرح کرده‌ام، و باز هم مطرح خواهم کرد، پشتوانه‌ای بیش از اندازه دقیق دارند! پس خیالت از بابت دقت راحت باشد. خب، حال که نمی‌خواهم تعریف دقیق تغییر پیوسته را بگویم، حداقل لازم است تا تعبیری شهودی و ملموس از از آن ارائه دهم. خوشبختانه، چنین تعبیری وجود دارد.به طور شهودی، تغییر پیوسته یعنی: کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن! اما برش دادن تغییر پیوسته نیست. چسباندن هم همین‌طور. در واقع تغییر پیوسته، تغییری است که در آن، نقاطی از شکل که به هم نزدیک‌اند، در انتهای تغییر نزدیک به هم باقی می‌مانند، و نقاطی از شکل که از هم دورند، در انتهای تغییر از هم دور باقی می‌مانند. برای همین است که کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن تغییر پیوسته است(زیرا در انتهای اینگونه تغییرات، نقاط نزدیک، نزدیک به هم باقی می‌مانند و نقاط دور، دور از هم). اما چسباندن و بریدن تغییر پیوسته نیست(زیرا در بریدن، نقاط نزدیک از هم دور می‌شوند و با چسباندن، نقاط دور به هم نزدیک!). همان‌طور که گفتم، این تعبیرِ شهودی تغییر پیوسته است؛ وگرنه مفاهیم دوری و نزدیکی به طور دقیق در توپولوژی تعریف می‌شوند.به قلب مطلب رسیدیم! اجازه بده چند مثال دم دستی و جالب را با هم بررسی کنیم. اگر دیده‌ باشی، گاهی بسته‌های اسکناس را با کشی می‌بندند. همان کش‌هایی که گاهی کودکان (گاهی هم بزرگسالان!) با آن شوخی کرده و از خاصیت کشسانی آن استفاده می‌کنند و آن را به سر و صورت هم شلیک می‌کنند! یکی از آن کش‌ها را در نظر بگیر. اگر در دسترست هست، یکی را بردار. تو می‌توانی بدون اینکه این کش را پاره کنی، آن را ببُری یا قطعاتی از آن را به هم بچسبانی، بلکه فقط با کشیده کردن آن، مثلث درست کنی، مربع درست کنی، مستطیل درست کنی، اگر انگشت‌های بیشتری داشتی، می‌توانستی پنج ضلعی درست کنی! یا ده ضلعی، یا هزار ضلعی! حتی اگر ابزارش را داشتی، می‌توانستی آن کش را با کشیدن‌های مناسب به دایره تبدیل کنی، به بیضی تبدیل کنی و ... . بنابراین، مثلا مستطیل و مثلث، با تغییر پیوسته به هم تبدیل می‌شوند! یعنی اگر یک مستطیل داشته باشی، می‌توانی آن را به طور پیوسته تغییر دهی و به مثلث تبدیل کنی و برعکس؛ یعنی اگر یک مثلث داشته باشی، می‌توانی آن را به طور پیوسته تغییر دهی و به مستطیل تبدیل کنی. در نتیجه، مستطیل و مثلث، دو جهان توپولوژیکِ همسان ریخت هستند. پس اگر عینک توپولوژی بزنی، تفاوتی بین مثلث و مستطیل نمی‌بینی! به عبارتی، مثلث و مستطیل را یک چیز می‌بینی! نه تنها مثلث و مستطیل را یک چیز می‌بینی، بلکه دایره، مربع، بیضی، متوازی الاضلاع، پنج ضلعی، لوزی، ذوزنقه، ده ضلعی، هفتاد ضلعی، هزار ضلعی و ... همه را یک چیز می‌بینی. به عبارتی، هر خمِ بسته را یک چیز می‌بینی. (برای اینکه بدانی خم بسته چیست، قلم و کاغذی بردار، یک نقطه روی کاغذ مشخص کن، با قلم از آن نقطه روی کاغذ شروع کن به حرکت کردن، و بدون آنکه قلم را از روی کاغذ برداری، و بدون آنکه مسیر طی شده را قطع کنی، به همان نقطه برگرد. اکنون به شکلی که کشیدی نگاه کن. این شکل، یک خمِ بسته است؛ مثل مثلث و دایره و ...) چرا که با همان کش، می‌توانی هر یک از این اشکال را به طور پیوسته (یعنی با اعمال کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن) تغییر دهی و به دیگری تبدیل کنی. به عبارت دیگر، همه‌ی این اشکال هندسی با یکدیگر همسان ریخت هستند و تمام ویژگی‌های توپولوژیک آن‌ها مثل هم است و عینک توپولوژی، هیچ تفاوتی بین آن‌ها نمی‌گذارد و آن‌ها را از هم متمایز نمی‌کند. پس اکنون بی‌نهایت مثال از جهان‌های توپولوژیک می‌شناسی که با یکدیگر همسان ریخت هستند.برگردیم به آن دو شکل معروف! دونات و فنجان قهوه! چرا توپولوژی‌دان تفاوتی بین دونات و فنجان قهوه نمی‌بیند؟ چون شکل هندسی دونات و شکل هندسی فنجان قهوه همسان ریخت هستند. یعنی می‌توانی دونات را با تغییر پیوسته به فنجان قهوه تبدیل کنی و برعکس! بیا تلاش کنیم ببینیم چگونه می‌توان چنین کاری را انجام داد. فرض کن یک اسباب بازی به شکل دونات در اختیار داری، که بسیار منعطف و ارتجاعی (اِلاستیکی) است. منظورم این است که این اسباب بازی را می‌توانی به راحتی کش دهی، پیچش دهی، خم کنی یا مچاله کنی. اکنون سعی کن با استفاده از همین چهار عملِ پیوسته، آن اسباب بازی را به یک فنجان قهوه تبدیل کنی! دقت کن که نباید چیزی را بُرش دهی، یا چیزی را به چیزی بچسبانی. چون برش دادن و چسباندن اعمالی پیوسته نیست. کمی فکر کن.چه شد؟ توانستی؟! این کار، شدنی است! نکته اصلی این است، که آن حفره‌ی وسط دونات، همان دسته‌ی فنجانِ قهوه است. همین طور می‌توان فنجان قهوه را با همین اعمال پیوسته به دونات تبدیل کرد. اگر کنجکاو بودی می‌توانی با جستجوی ساده‌ای در اینترنت، انیمیشن‌های این تبدیل را ببینی.بنابراین، فنجان قهوه و دونات، دو جهان توپولوژیک همسان ریخت هستند و تمام ویژگی‌های توپولوژیک آن‌ها با هم یکسان است. پس عینک توپولوژی، بین این دو شکل، هیچ فرقی نمی‌گذارد.فکر می‌کنم اکنون مفهوم همسان ریختی را به خوبی درک کرده باشی. خلاصه برای اینکه ببینی دو جهان توپولوژیک همسان ریخت هستند، ببین می‌توانی هر یک از آن‌ها را فقط با تغییر پیوسته (یعنی با اعمال کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن، نه برش دادن یا چسباندن) به دیگری تبدیل کنی یا نه. اگر توانستی، آن دو جهان توپولوژیک همسان ریخت هستند. اما اگر امکان نداشته باشد یکی از آن دو جهان توپولوژیک را با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل کرد، آن دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند. دقت کن! نگفتم «اگر نتوانستی»، گفتم «اگر امکان نداشته باشد»! بین این دو، تفاوت از زمین تا آسمان است!برای اینکه جهان‌های همسان ریختِ بیشتری را بشناسی، چند مثال دیگر می‌زنم. سعی کن خودت را قانع کنی که هر کدام از مثال‌هایی که معرفی می‌کنم با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل می‌شوند:مثلث توپُر، مستطیل توپر، دایره‌ی توپر و لوزی توپر با هم همسان ریخت هستند. و به طور کلی هر دو خمِ بسته‌ی توپر با هم همسان ریخت هستند. کُره، مکعب، مکعب مستطیل، مخروط، هرم و استوانه با هم همسان ریخت هستند. و به طور کلی هر دو سطحِ بسته با هم همسان ریخت هستند.کره‌ی توپُر، مکعب توپر، مکعب مستطیل توپر، مخروط توپر، هرم توپر و استوانه توپر با هم همسان ریخت هستند. و به طور کلی هر دو سطحِ بسته‌ی توپر با هم همسان ریخت هستند.پاره خط مستقیم و پاره خطِ کج و کوله(!) با یکدیگر همسان ریخت هستند! شکل هندسی دونات و شکل هندسی فنجان قهوه نیز با یکدیگر همسان ریخت هستند!باید یک نکته مهم را همینجا به تو بگویم. این اعمال پیوسته، یعنی کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن، ممکن است اندازه‌ها را تغییر دهد. مثلا با همان کش پول، می‌توانی یک مستطیل کوچک درست کنی، و یک مستطیل بزرگتر از آن. پس مستطیل‌های کوچک و مستطیل‌های بزرگ با هم همسان ریخت هستند. به عبارتی، همه‌ی مستطیل‌ها با هم همسان ریخت هستند. مهم نیست که اندازه آن‌ها چقدر باشد. اکنون شاید اینگونه ایراد بگیری: «من که نمی‌توانم با آن کش پول، یک مستطیل به اندازه کشور فرانسه درست کنم»! آری! نمی‌شود با آن کش پول در واقعیت چنین کرد. اما در توپولوژی می‌شود! تو باید این کش را به گونه‌ای تصور کنی که قابلیت این را داشته باشد تا بی‌نهایت کش بیاید! پس می‌توانی مستطیل کوچکی را، به مستطیلی تبدیل کنی به بزرگی کشور فرانسه! به عبارت دیگر، توپولوژی به اندازه‌ها اهمیت نمی‌دهد. یک نخود، با کره‌ی زمین همسان ریخت است! یعنی اگر عینک توپولوژی بزنی، تفاوت نخود و کره زمین را نخواهی فهمید! حتی فراتر از آن، این نخود با کلِ جهانِ سه بعدی همسان ریخت است! چون می‌توان این نخود را آن قدر کش داد (اگر فرض کنیم جهان سه بعدی که ما در آن زندگی می‌کنیم بی‌نهایت است، باید این نخود را بی‌نهایت کش داد) که به کل جهان سه بعدی تبدیل شود. پس فقط با کش دادن، که یک تغییر پیوسته است، نخود را به کل جهان سه بعدی تبدیل کردیم(آیا نظریه انفجار بزرگ یا همان Big Bang برایت تداعی نشد؟!). همین طور کل جهان سه بعدی را می‌توان آنقدر فشرد و مچاله کرد که به نخود تبدیل شود. پس فقط با مچاله کردن که یک تغییر پیوسته است، کل جهان سه بعدی را به نخود تبدیل کردیم. از این‌ها نتیجه می‌گیریم که یک کُره‌ی کوچکِ توپُر، با کل جهان سه بعدی همسان ریخت است. البته این تعبیر شهودیِ ماجرا است. وگرنه، می‌توان این کش دادن و مچاله کردن و تبدیل نخود به کل جهان و برعکس را، با معادلات ریاضی به طور دقیق اثبات کرد. پس یادت باشد، وقتی عینک توپولوژی را به چشم بزنی، دیگر طول و اندازه و مساحت و حجم و ... برایت بیگانه می‌شوند. تفاوت اصلی توپولوژی و هندسه در همین نکته نهفته است. هندسه به فاصله‌ها و اندازه‌ها احترام می‌گذارد، اما توپولوژی آن‌ها را آدم حساب نمی‌کند!چه احساسی داری؟! تازه داریم به معمای اصلی داستان نزدیک می‌شویم؛ هنوز حرفی از توپولوژی‌ جبری به میان نیامده! کمی دیگر برویم، کوهِ توپولوژی جبری پدیدار می‌شود. پس همراه من بیا!شاید گمان کنی که دیگر جهان‌های توپولوژیک سه بعدی را می‌شناسی! اما جهان‌های توپولوژیک سه بعدی به همین‌ مثال‌هایی که تا اینجا زدیم ختم نمی‌شوند. مثلا شکل هندسی عینک، شکل هندسی شلوار، شکل هندسی مانتو، شکل هندسیِ کُت، شکل هندسی صندلی، شکل هندسی دو تا دوناتِ به هم چسبیده (همان دونات که به جای یک حفره، دو حفره داشته باشد) این‌ها همه مثال‌هایی از جهان‌های توپولوژیک سه بعدی هستند. بی‌نهایت مثال دیگر هم وجود دارد.پس درست است که تو اکنون بی‌نهایت جهان توپولوژیک را می‌شناسی که با یکدیگر همسان ریخت باشند، اما بی‌نهایت جهان توپولوژیک هست که از آن‌ها بی‌خبری، و نمی‌دانی با چه جهان‌هایی همسان ریخت هستند.خب! تا اینجا، مثال‌هایی از دو جهان توپولوژیک معرفی کردیم که همسان ریخت باشند. اما شاید به دنبال مثالی از دو جهان توپولوژیک باشی که با یکدیگر همسان ریخت نیستند. بیا اندیشه کنیم. به نظر تو، آیا توپ فوتبال با دونات همسان ریخت است یا نه؟ به عبارتی، آیا کره‌ی توپر (همان توپ فوتبال به زبان هندسی) با چنبره‌ی توپُر (همان دونات به زبان هندسی) همسان ریخت است؟ همان اسباب بازیِ منعطف و ارتجاعی را که شکلی شبیه دونات داشت در نظر بگیر. ببین می‌توانی آن را با اعمال پیوسته تغییر دهی تا به توپ تبدیل شود؟! تا جایی که می‌توانی، و هر چقدر که دلت می‌خواهد، آن را بکِش، بپیچ، خم کن و مچاله کن. فقط حواست باشد که این وسط چیزی را نبُری و چیزی را به چیزی نچسبانی. آیا می‌توانی این دونات را به توپ تبدیل کنی؟ خوب فکر کن!چه شد؟! توانستی؟ من نمی‌توانم. اما آیا منطقی است از اینکه من نتوانستم چنین کاری را انجام دهم، نتیجه بگیرم که چنین کاری ممکن نیست؟! معلوم است که نه! من تا الان که تلاش کردم، نتوانستم. شاید اگر بیشتر تلاش کنم بشود! اصلا به فرض که محال است «من» بتوانم. از کجا معلوم که «تو» هم نمی‌توانی؟! شاید تو توانستی. اصلا به فرض که هیچ انسانی نمی‌تواند. از کجا معلوم که ممکن نیست؟! شاید ممکن باشد، اما از عهده انسان خارج! پس از اینکه هر چه تلاش کردیم نتوانستیم با تغییرات پیوسته، دونات را به توپ تبدیل کنیم، تنها نتیجه‌ای که منطقا بدست می‌آید این است که:«فعلا نمی‌دانیم دونات و توپ همسان ریخت هستند یا نه»!دیدی! جواب مسأله به سادگی دیده نمی‌شود! پس از کجا بفهمیم دونات و توپ همسان ریخت هستند یا نه؟! شاید بگویی: «خب معلوم است که دونات و توپ همسان ریخت نیستند! دونات کجا، توپ کجا»! اما خب ما دیدیم که دونات و فنجان قهوه با هم همسان ریخت بودند! دونات کجا، فنجان قهوه کجا! اما به هر حال همسان ریخت هستند! پس، از اینکه دو شکل ظاهراً فرق دارند، نمی‌توان نتیجه گرفت که همسان ریخت نیستند. شاید بگویی: «دونات و فنجان قهوه هر دو یک حفره دارند. پس همسان ریخت بودن آن‌ها خیلی دور از انتظار نیست. اما دونات یک حفره دارد و توپ هیچ حفره‌ای ندارد. پس دونات و توپ همسان ریخت نیستند»اگر این را بگویی، می‌پرسم: «از کجا معلوم که اگر تعداد حفره‌های دو شکل با هم فرق کند، آن دو شکل با هم همسان ریخت نیستند؟! کسی چه می‌داند! شاید تعداد حفره‌های دو شکل با هم متفاوت باشد، اما بتوان هر یک را با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل کرد»پس باز هم نشد! چه کنیم؟!! بیا از یک زاویه دیگر به مسأله نگاه کنیم. دانستیم که اگر دو جهان توپولوژیک همسان ریخت باشند، همه‌ی ویژگی‌های توپولوژیک آن‌ها یکسان است. پس اگر آن دو جهان، فقط یک ویژگی توپولوژیک متفاوت داشته باشند، همسان ریخت نیستند. پس یک راه خوب بدست آمد! برای اینکه نتیجه بگیریم دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند، کافی است فقط یک ویژگی توپولوژیک در یکی پیدا کنیم که در دیگری نباشد. کافی است یک وسیله‌ی بازی در شهر بازیِ یکی پیدا کنیم که در شهرِ بازی دیگری نباشد! پس بیا بگردیم! بگردیم ببینیم آیا می‌توانیم یک ویژگی توپولوژیک پیدا کنیم که در دونات باشد و در توپ نباشد؟! یا در توپ باشد و در دونات نباشد؟!اما ویژگی‌های توپولوژیک چه ویژگی‌هایی هستند؟!فشردگی، همبندی، همبندیِ راهی و ... از جمله ویژگی‌های معروف توپولوژیک به شمار می‌روند. در این نامه، آن‌ها را تعریف نکرده‌ام، و قصد هم ندارم تعریف کنم. فقط این را بدان، که دونات فشرده است، توپ هم فشرده است. دونات همبند و همبند راهی است، توپ نیز همبند و همبند راهی است. خلاصه، هر ویژگی توپولوژیک شناخته شده‌ای که توپ آن را داراست، دونات هم آن را داراست و برعکس. پس باز هم نتوانستیم بفهمیم که دونات و توپ همسان ریخت هستند یا نه. برای فهمیدن اینکه دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند، غیر از این راهی که اکنون گفتم، کلک‌های دیگری هم وجود دارد. اما خب در مورد توپ و دونات هیچ یک از آن‌ها کار نمی‌کند. دیگر درمانده شدیم! نظر تو چیست؟! چه کنیم؟! از کجا بفهمیم؟!اینجا، یعنی همان جایی که برای تشخیص همسان ریختی به دره درماندگی سقوط می‌کنیم، دقیقا همان جایی است که «توپولوژی جبری»، مثل فرشته‌ی نجات به فریادمان می‌رسد! می‌آید و حقیقتی را بر ما آشکار می‌کند که بدون او نتوانسته بودیم آن را بفهمیم. او به ما می‌گوید که دونات و توپ همسان ریخت نیستند! یعنی برایمان اثبات می‌کند هر تغییر پیوسته‌ای که روی دونات اعمال کنی، هرگز نمی‌توانی آن را به توپ تبدیل کنی! نه اینکه فقط تو نتوانی، هیچ کس نمی‌تواند! نه اینکه فقط هیچ کس نتواند، اصلا ممکن نیست!! و البته حدس نمی‌زند، و گمان نمی‌کند، بلکه مطمئن است، و این اطمینان را اثبات می‌کند! این، معجزه‌ی توپولوژی جبری است.پس داستان از چه قرار است؟! ماجرا این است که یکی از مهم‌ترین سوال های توپولوژی رده‌بندی جهان‌های توپولوژیک در حد همسان ریختی است. به عبارتی، یکی از مهم‌ترین مسأله‌های توپولوژی این است:«دو جهان توپولوژیک X و Y را در نظر بگیرید. آیا جهان X و جهان Y همسان ریخت هستند»؟گاهی اوقات، اگر دو جهان همسان ریخت باشند، می‌توانی این حقیقت را ثابت کنی. کافی است فکر کنی ببینی که چگونه می‌توان با تغییر پیوسته، یکی را به دیگری تبدیل کرد. اما خب پیدا کردن این تغییر پیوسته، در بعضی مثال‌ها، واقعا دشوار است.اگر دو جهان همسان ریخت نباشند، هر چقدر زحمت بکشی، نخواهی توانست یکی را با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل کنی. بدبختی اینجاست که با این نتوانستن، نمی‌توانی نتیجه بگیری که: «پس این دو جهان همسان ریخت نیستند». چرا که تو نتوانستی، اما شاید دیگری بتواند. شاید دیگری هم نتواند، اما واقعا ممکن باشد. پس برای اثبات همسان ریخت نبودن دو جهان توپولوژیک، یعنی برای اینکه اطمینان پیدا کنی که دو جهان همسان ریخت نیستند، باید چاره‌ای بیندیشی. گاهی اوقات با بررسی بعضی ویژگی‌های توپولوژیک در آن دو جهان، متوجه می‌شوی که مثلا یکی فشرده است و دیگری فشرده نیست. پس نتیجه می‌گیری که آن دو جهان همسان ریخت نیستند. چرا که اگر بودند، باید همه ویژگی‌های توپولوژیکشان یکسان می‌بود. اما گاهی اوقات، همه ویژگی‌های شناخته شده توپولوژیک در هر دو جهان یکسان است. اما در این صورت نمی‌توانی نتیجه بگیری: «پس این دو جهان همسان ریخت نیستند». چرا که ممکن است ویژگی توپولوژیکی از قلم افتاده باشد. (زیرا ویژگی ‌های توپولوژیک یکی دو تا نیستند، در مورد اکثر جهان‌ها، بینهایت ویژگی توپولوژیک داریم!) اینجا، همان مرحله درماندگی است، که توپولوژی جبری از راه می‌رسد و نجاتمان می‌دهد. توپولوژی جبری، ابزاری در اختیارمان می‌گذارد که به کمک آن می‌توانیم اثبات کنیم دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند.این از هدف توپولوژی جبری! اما توپولوژی جبری چگونه این کار را انجام می‌دهد؟! توپولوژی جبری، چگونه اثبات می‌کند که دونات و توپ همسان ریخت نیستند و هر چه تلاش کنیم، هرگز نمی‌توانیم یکی را با تغییری پیوسته به دیگری تبدیل کنیم؟! به عبارتی، معجزه‌ی توپولوژی جبری چیست؟!اکنون می‌خواهم تلاش کنم تا این معجزه را برایت توضیح دهم! همان طور که از اسم توپولوژی جبری پیداست، آقا یا خانومِ (هر طور که تو دوست داری!) توپولوژی جبری، برای اثبات همسان ریخت نبودن دو فضا، می‌آید از علم جبر و ابزار‌های جبری استفاده می‌کند. پس برای اینکه بفهمیم معجزه توپولوژی جبری چیست، لازم است تا اندازه‌ای بدانیم که جبر چیست. پس بیا تا برایت کمی از جبر بگویم.یادت هست جهان توپولوژیک را چگونه برایت معرفی کردم؟ گفتم ما به برخی جهان‌های ریاضی، ساختاری نسبت می‌دهیم که آن را ساختار توپولوژیک می‌نامیم. در این صورت به آن جهان، یک جهان توپولوژیک می‌گوییم. درست مثل شهری که روی آن ساختار شهر بازی بگذاریم. من توضیح ندادم که ساختار توپولوژیک دقیقا چیست‌. اما گفتم ساختار توپولوژیک چیزی است که اگر یک جهان آن ساختار را داشته باشد، مفاهیمی توپولوژیک مثل فشردگی، همبندی و ... برای آن جهان معنی‌دار می‌شود. درست مثل وقتی که یک شهر ساختار شهر بازی داشته باشد، مفاهیمی مثل چرخ و فلک، قطار وحشت و ... برای آن شهر معنی‌دار می‌شود. اکنون فرض کن به جای اینکه روی یک جهان ریاضی، ساختار توپولوژیک قرار دهیم، روی آن ساختار «جبری» قرار بدهیم. در این صورت جهان مورد نظر، به جای آنکه «جهان توپولوژیک» باشد، می‌شود یک «جهان جبری». مثلا شهر X را در نظر بگیر. فرض کن به جای آنکه روی X ساختار شهر بازی قرار دهیم، روی آن ساختار پارک آبی قرار دهیم. یعنی به جای اینکه در شهر X شهر بازی بسازیم، در شهر X پارک آبی بسازیم. در این صورت شهر X به جای آنکه ساختار شهر بازی داشته باشد، ساختار پارک آبی دارد. این بار مفاهیمی مثل چرخ و فلک، قطار وحشت و ... بی‌معنی هستند، اما به جایش مفاهیمی مثل سرسره‌ی آبی، چاله‌ی فضایی و ... معنی‌دار می‌شوند. واضح است که یک شهر می‌تواند همزمان هم ساختار شهر بازی داشته باشد، هم ساختار پارک آبی. همین‌ طور یک شهر می‌تواند ساختار شهر بازی داشته باشد و ساختار پارک آبی نداشته باشد، می‌تواند ساختار شهر بازی نداشته باشد و ساختار پارک آبی داشته باشد، می‌تواند نه ساختار شهر بازی داشته باشد و نه ساختار پارک آبی. همین‌طور یک جهان ریاضی می‌تواند نه ساختار توپولوژیک داشته باشد نه ساختار جبری. می‌تواند ساختار توپولوژیک داشته باشد اما ساختار جبری نداشته باشد. می‌تواند ساختار توپولوژیک نداشته باشد اما ساختار جبری داشته باشد. می‌تواند هم ساختار توپولوژیک داشته باشد هم ساختار جبری.اما ساختار جبری چیست؟! باز هم قصد ندارم ساختار جبری را به طور دقیق تعریف کنم. اما ساختار جبری چیزی است که اگر یک جهان ریاضی آن را داشته باشد، مفاهیمی مثل جابجایی بودن، دوری بودن، ساده بودن، و ... در آن جهان ریاضی معنی پیدا می‌کنند و سوالاتی مثل سوالات زیر نیز معنی‌دار می‌شوند:آیا این جهان جبری، جابجایی است؟آیا این جهان جبری، دوری است؟آیا این جهان جبری، ساده است؟و ...قصد ندارم به مفاهیمی جبری مثل جابجایی بودن، دوری بودن، ساده بودن و ... بپردازم. تنها چیزی که از تو می‌خواهم آن را بدانی، این است که ساختار جبری، درست مثل ساختار توپولوژیک، ساختاری است که بعضی از جهان‌های ریاضی این ساختار را دارند. اما ساختار جبری ساختاری است با ماهیت کاملا متفاوت از ساختار توپولوژیک. و همین طور از تو می‌خواهم که مثال شهر‌ها و ساختار شهر بازی، و مثال شهرها و ساختار پارک آبی را در ذهن داشته باشی.حالا فرض کن شهر X و شهر Y، هر دو ساختار پارک آبی داشته باشند. در این صورت می‌گوییم این دو شهر از دید پارک آبی هیچ تفاوتی ندارند، هرگاه هر وسیله‌ای که در پارک آبی شهر X وجود داشته باشد، در پارک آبی شهر Y نیز وجود داشته باشد. و برعکس؛ یعنی هر وسیله‌ای که در پارک آبی شهر Y وجود داشته باشد، در پارک آبی شهر X نیز وجود داشته باشد.مثلا فرض کن که پارک آبی شهر X دو سرسره آبی دارد که ارتفاع یکی ۸۰ متر و ارتفاع دیگری ۱۰۰ متر است. فرض کن پارک آبی شهر Y هم دو سرسره آبی داشته باشد که ارتفاع یکی ۸۰ متر و ارتفاع دیگری ۱۰۰ متر است. فرض کن پارک آبی شهر X یک چاله فضایی داشته باشد که شعاع چاله‌ی آن ۱۰ متر است. فرض کن پارک آبی شهر Y هم یک چاله فضایی داشته باشد که شعاع چاله‌ی آن ۱۰ متر است. خلاصه فرض کن هر وسیله‌ای که پارک آبی شهر X دارد، پارک آبی شهر Y هم همان وسیله را با همان ویژگی‌ها داشته باشد و برعکس. در این صورت می‌گوییم شهر X و شهر Y از دید پارک آبی هیچ تفاوتی با هم ندارند. اگر اینطور باشد که مثلا پارک آبی شهر X دو سرسره آبی داشت داشته باشد و پارک آبی شهر Y یک سرسره آبی، می‌گوییم شهر X و شهر Y از دید پارک آبی با هم فرق دارند. اکنون فرض کن عینکی وجود داشته باشد به نام عینک پارک آبی. هرگاه آن عینک را به چشم بزنی، هیچ چیزی جز پارک آبی نمی‌بینی. پس بعضی شهرها را کلا نمی‌بینی چون اصلا پارک آبی ندارند. بعضی شهرها گرچه شهرهایی بسیار متفاوتند، آن‌ها را دقیقا یکسان می‌بینی چون از دید پارک آبی هیچ تفاوتی ندارند و به عبارتی ساختار پارک آبی آن دو یکسان است. بعضی‌ شهرها گرچه بسیار به هم شبیه‌اند، آن‌ها را متفاوت می‌بینی چون ساختار پارک آبی آن دو با هم متفاوت است (مثلا یکی چاله فضایی دارد و دیگری ندارد).حالا فرض کن جهان X و جهان Y، هر دو ساختار جبری داشته باشند. در این صورت می‌گوییم این دو جهان از دید جبر هیچ تفاوتی ندارند، هرگاه هر ویژگی جبری که جهان X آن را دارد، جهان Y نیز آن را داشته باشد و برعکس؛ یعنی هر ویژگی جبری که جهان Y آن را دارد، جهان X هم آن را داشته باشد.مثلا فرض کن که جهان X جابجایی است و دوری نیست. فرض کن جهان Y نیز جابجایی باشد و دوری نباشد. فرض کن جهان X ساده نباشد. فرض کن جهان Y هم ساده نباشد. خلاصه فرض کن هر ویژگی جبری که جهان X دارد، جهان Y هم همان ویژگی را داشته باشد و برعکس. در این صورت می‌گوییم جهان X و جهان Y از دید جبر هیچ تفاوتی با هم ندارند. اگر اینطور بود که مثلا جهان X جابجایی باشد اما جهان Y جابجایی نباشد، می‌گفتیم این دو جهان از دید جبر با هم متفاوتند. اکنون فرض کن عینکی وجود داشته باشد به نام عینک جبر. هرگاه آن عینک را به چشم بزنی، هیچ چیزی جز ویژگی‌های جبری نمی‌بینی. پس بعضی جهان‌ها را کلا نمی‌بینی چون اصلا ساختار جبری ندارند. بعضی جهان‌ها گرچه جهان‌هایی بسیار متفاوتند، آن‌ها را دقیقا یکسان می‌بینی چون از دید جبر هیچ تفاوتی ندارند؛ به عبارتی هر ویژگی جبری که یکی از این دو جهان دارد دیگری هم دارد. بعضی‌ جهان‌ها گرچه بسیار به هم شبیه‌اند، آن‌ها را متفاوت می‌بینی چون از دید جبر با هم متفاوتند(مثلا یکی جابجایی است و دیگری جابجایی نیست).اگر دو جهان جبری، از دید جبر تفاوتی نداشته باشند، به عبارتی اگر هر ویژگی جبری که یکی از آن‌ها آن ویژگی را دارد، دیگری هم آن را داشته باشد و برعکس، می‌گوییم این دو جهان جبری با هم «یکریخت» هستند. انگار ریختِ این دو جهان جبری یکی است! بنابراین برای خلاصه نویسی، این دو جهان جبری را یکریخت می‌نامیم.همان طور که احتمالا همین الان هم متوجه شده‌ای، رابطه «یکریختی» بین جهان‌های جبری، دقیقا مشابه رابطه همسان‌ریختی بین جهان‌های توپولوژیک است. خوشبختانه در مورد جهان‌های توپولوژیک، من توانستم مثال‌های ملموس بی‌شماری به تو نشان دهم. مثلا گفتم که کره و مکعب و دایره و مستطیل و به طور کلی هر قسمت از جهان سه بعدی، یک جهان توپولوژیک است. و تو توانستی با آن جهان‌های توپولوژیک ارتباط برقرار کنی، چون به اندازه کافی با آن‌ها آشنا بودی؛ ناسلامتی خودت هم دارای یک جسم سه بعدی هستی، و به عبارتی خودت هم یک جهان توپولوژیک به شمار می‌روی! اما متاسفانه در مورد جهان‌های جبری، من توانایی این را ندارم که مثال‌های ملموسی از جهان‌های جبری به تو معرفی کنم. مثال‌هایی که می‌شناسم همگی ماهیتی کاملا ریاضی، صوری و مجرد دارند. البته، کل جهان سه بعدی خودش ساختاری جبری دارد. اما دیگر اینگونه نیست که هر قسمت از جهان سه بعدی، ساختار جبری داشته باشد. همین‌طور، در مورد همسان ریخت بودن دو جهان توپولوژیک، یک ایده‌‌ی کاملا شهودی به تو هدیه کردم. و گفتم اگر بتوانی یک جهان توپولوژیک را با تغییر پیوسته (کشیدگی، پیچش، خم کردن و مچاله کردن) به دیگری تبدیل کنی و برعکس، آن دو جهان توپولوژیک همسان ریخت هستند. با این تعریف اصلا تو خودت توانمند شدی که جواب بعضی مسائل مهم توپولوژیک را پیدا کنی؛ مثلا خودت دانستی که دایره و مستطیل و مثلث و خلاصه هر دو خم بسته، با یکدیگر همسان ریخت هستند. زیرا می‌توان هر یک از آن‌ها را با تغییر پیوسته به دیگری تبدیل کرد.اما باز هم متاسفانه در مورد یکریخت بودن دو جهان جبری، هیچ ایده شهودی و ملموس را نمی‌شناسم و تنها تعریف ریاضی و صوری یکریختی را می‌دانم. پس نمی‌توانم به تو ابزاری بدهم که بتوانی به کمک آن جواب بعضی مسائل جبری را پیدا کنی. خلاصه، توپولوژی، علمی است که می‌توانی اشیاء آن را ببینی! آن‌ها را در دست بگیری و با آن‌ها بازی کنی! اما جبر، ماهیتی مجرد و صوری دارد که دیدن اشیاء آن حداقل‌ به راحتی ممکن نیست. شاید به خاطر همین است که اسم این شاخه از ریاضی را «جبر مجرد» گذاشته‌اند. خلاصه این را بدان که توپولوژی و جبر دو شاخه مختلف از ریاضی هستند و ماهیتی کاملا جداگانه دارند. معجزه توپولوژی جبری، همین است که این دو دنیای متفاوت را به یکدیگر پیوند می‌دهد. و گویی سفینه‌ای ماورایی است که ما را از دنیای توپولوژی به دنیای جبر می‌برد. منظورم از دنیای توپولوژی، دنیای همه‌ی جهان‌های توپولوژیک است و منظورم از دنیای جبر، دنیای همه جهان‌های جبری است. به عبارتی، در این نام‌گذاری که انجام دادم، مفهوم «دنیا»، مفهومی کلی‌تر از جهان است؛ یعنی مجموعه‌ی همه‌ی جهان‌ها، تشکیل یک دنیا می‌دهند. به عنوان مثال، در سینمای غرب، چند جهان مختلف داریم؛ جهان مارول(Marvel)، جهان، دی‌سی(DC)، جهان جنگ ستارگان(Star wars) و ... . همه‌ی چنین جهان‌هایی، تشکیل یک دنیا می‌دهند که این دنیا را دنیای علمی-تخیلی می‌نامیم. خلاصه منظورم این است که دنیا، کلی‌تر از جهان است. اکنون دو دنیا مورد بحث ماست. یکی دنیای جهان‌های توپولوژیک، یکی دنیای جهان‌های جبری. این دو دنیا، همان‌طور که توضیح دادم، دو دنیای کاملا متفاوتند. موجوداتی که در دنیای توپولوژی زندگی می‌کنند، یعنی همان جهان‌های توپولوژیک، با موجوداتی که در دنیای جبر زندگی می‌کنند، یعنی همان جهان‌های جبری، تفاوت‌هایی بنیادی دارند. (مثل دنیای ارباب حلقه‌ها و دنیای پاندای کونگ‌فوکار که موجوداتی کاملا متفاوت در هر یک از آن‌ها زندگی می‌کنند!) توپولوژی جبری، همان طور که گفتم سفینه‌ای است که ما را از دنیای توپولوژی به دنیای جبر می‌برد. اما ما سوار این سفینه شویم که چه؟! چه سودی دارد؟! قلب توپولوژی جبری، جواب همین سوال است. اول بیا تا برایت بگویم این سفینه چگونه کار می‌کند، و چگونه ما را از دنیای توپولوژی به دنیای جبر می‌برد. کار معجزه آسایی که توپولوژی جبری انجام می‌دهد، این است که سفینه‌ای می‌سازد، که این سفینه، به هر موجود از دنیای توپولوژی، یک موجود از دنیای جبر نسبت می‌دهد. یعنی چه؟! یعنی اینکه توپولوژی جبری با سفینه خود، یک جهان توپولوژیک را برمی‌دارد، و آن را می‌برد به دنیای جبر، و آن جهان‌ توپولوژیک را به یک جهان جبری می‌چسباند! برای آنکه درک این مثال برایت راحت‌تر شود، اینگونه تصور کن:فرض کن هر جهان توپولوژیک، یک شکل هندسی باشد (کما اینکه شکل‌های هندسی واقعا جهان توپولوژیک هستند، مثل کره و مکعب و هرم و مستطیل و دایره و ... . اما خب جهان‌های توپولوژیکی هم وجود دارند که دیگر یک شکل هندسی نیستند)، و فرض کن همه جهان‌های جبری که با هم یکریخت هستند، یک جعبه را درست می‌کنند. سفینه‌ی توپولوژی جبری، این شکل‌های هندسی را سوار می‌کند، آن‌ها را از دنیای توپولوژی می‌برد به دنیای جبر، و در هر جعبه تعدادی از این شکل‌ها را قرار می‌دهد. این سفینه، هیچ جعبه‌ای را خالی نمی‌گذارد، و هیچ‌ شکل هندسی‌ای را بی‌جعبه نمی‌گذارد. به عبارتی، هیچ جعبه‌ای را نمی‌بینی که خالی باشد و هیچ شکل هندسی‌ای در آن نباشد. همین‌طور هر شکل هندسی را که در نظر بگیری، بالاخره داخل یک جعبه قرار گرفته است. اما ممکن است چند شکل هندسی مختلف را درون یک جعبه قرار دهد. بنابراین درست است که هیچ جعبه‌ای خالی نیست و حداقل یک شکل هندسی در خود دارد، اما بعضی‌ جعبه‌ها بیشتر از یک شکل هندسی در خود دارند. اما سوال مهم اینجاست که این سفینه، کدام شکل‌های هندسی را در جعبه‌های یکسان قرار می‌دهد؟!! مثلا، آیا کره و هرم را در یک جعبه می‌گذارد؟ یا آن‌ها را در جعبه‌های مختلف می‌گذارد؟! چنبره (شکل هندسی دونات) را در کدام جعبه می‌گذارد؟! مستطیل را در کدام جعبه؟! دایره را در کدام؟! و ...جواب این سوال، دقیقا بر ما معلوم است! این سفینه، به گونه‌ای تصمیم می‌گیرد کدام شکل را در کدام جعبه بگذارد، که نیاز ما را برآورده کند و مسأله ما را حل کند‌. یعنی ما این سفینه را به گونه‌ای ساختیم که اینطور عمل کند. مسأله ما این بود که می‌خواستیم بدانیم «چه زمانی دو شکل همسان ریخت نیستند»؟! الگوی انتخاب سفینه چنین است:«این سفینه، همه شکل‌هایی که همسان ریخت هستند را در یک جعبه قرار می‌دهد»(به عبارتی، توپولوژی جبری به همه جهان‌های توپولوژیکِ همسان ریخت، در حد یکریختی، فقط یک جهان جبری نسبت می‌دهد)این الگو با تقریب خوبی به مسأله ما جواب می‌دهد.طبق این الگوی انتخاب، هر دو شکلی که در دو جعبه مختلف باشند، همسان ریخت نیستند! پس با نگاهی به جعبه‌های مختلف، گستره زیادی از شکل‌هایی را شناسایی می‌کنیم که همسان ریخت نیستند.مثلا من که تا اندازه‌ای با ساز و کار این سفینه آشنا هستم(چون مقداری توپولوژی جبری خوانده‌ام!) می‌دانم که این سفینه، دونات را در یک جعبه قرار می‌دهد، و توپ را در یک جعبه دیگر! (منظورم از دونات، شکل هندسی دونات است نه خود شیرینی دونات، و منظورم از توپ، شکل هندسی توپ است نه خود توپ). از قبل می‌دانیم این سفینه به گونه‌ای ساخته شده که جهان‌های توپولوژیک همسان ریخت را در یک جعبه قرار می‌دهد؛ پس حال که دونات و توپ را در دو جعبه مختلف قرار داده، نتیجه می‌گیریم که دونات و توپ همسان ریخت نیستند! به عبارتی، بعضی ویژگی‌های توپولوژیک دونات و توپ با هم متفاوت است. به عبارت دیگر، نمی‌توان با تغییر پیوسته دونات را به توپ تبدیل کرد یا برعکس. آری اینگونه است که این سفینه معجزه کرده و مسأله‌ی به ظاهر حل نشدنی ما را حل می‌کند. اکنون تو هم می‌دانی که این سفینه، فنجان قهوه را در همان جعبه‌ای می‌گذارد که دونات را در آن گذاشته! چون قبلا دیدیم که دونات و فنجان قهوه همسان ریخت هستند. همین‌طور همه‌ی این اشکال را در یک جعبه می‌گذارد:مستطیل، مثلث، دایره، بیضی، و به طور کلی هر خم بسته.و نیز همه‌ی این اشکال را در یک جعبه می‌گذارد:مستطیل توپُر، مثلث توپر، دایره توپر، بیضی توپر، و به طور کلی هر خم بسته توپر.و همه‌ی این اشکال را نیز در یک جعبه می‌گذارد:کره‌، مکعب، هرم، مخروط و خلاصه هر سطح بسته. و همین طور همه‌ی این اشکال را در یک جعبه می‌گذارد:کره‌ توپُر، مکعب توپر، هرم توپر، مخروط توپر و خلاصه هر سطح بسته توپر. و ... پس سوال بنیادی توپولوژی، یعنی این سوال که: «چگونه مطمئن شویم دو جهان توپولوژیک همسان ریخت نیستند»؟ به کمک توپولوژی جبری و سفینه‌اش، با تقریب خوبی جواب داده می‌شود. شاید بپرسی چرا می‌گویم با تقریب؟! زیرا این سفینه، با وجود اینکه به شکل معجزه‌ آسایی بسیاری از جهان‌های توپولوژیکی را که همسان ریخت نیستند از هم تفکیک می‌کند، اما آنقدرها هم دقیق و کامل نیست! چرا که این سفینه خطا دارد! منظورم از خطا، این است که ممکن است دو جهان توپولوژیکی که همسان ریخت نیستند را نیز به یک جعبه ببرد. من به تو چه گفتم؟ گفتم که:این سفینه، همه جهان‌های توپولوژیکی که همسان ریخت هستند را در یک جعبه قرار می‌دهد.اما نگفتم که:این سفینه، همه جهان‌های توپولوژیکی که همسان ریخت نیستند را در دو جعبه مختلف قرار می‌دهد! ماجرا همان ماجرای گردو بودن و گرد بودن است؛ هر گردویی گرد است اما هر گردی گردو نیست!خلاصه، این سفینه گاهی اوقات خطا می‌کند و دو جهان توپولوژیک غیر همسان ریخت را به یک جعبه می‌برد. بنابراین:«اگر دو جهان توپولوژیک در یک جعبه نباشند، قطعا همسان ریخت نیستند. اما اگر دو جهان توپولوژیک در یک جعبه باشند، نتیجه نمی‌شود که حتما همسان ریخت هستند. ممکن است همسان ریخت باشند، ممکن است همسان ریخت نباشند».می‌توان سفینه مشابه دیگری ساخت به طوری که خطایش کمتر شود. مثلا اگر سفینه اول ده جهان توپولوژیک غیر همسان ریخت را درون یک جعبه قرار می‌داد، سفینه جدید فقط پنج جهان توپولوژیک غیر همسان ریخت را در آن جعبه قرار دهد. در توپولوژی جبری، آن سفینه که همان ابتدای راه می‌سازیمش، کره‌ی توخالی و دایره‌ی توپر را در یک جعبه قرار می‌دهد(به نظرت این دو شکل همسان ریخت هستند یا نه؟!). اما در ادامه داستان، سفینه‌ای می‌سازیم قوی‌تر از سفینه قبلی، به طوری که کره توخالی و دایره توپر را در دو جعبه مختلف می‌گذارد و به ما می‌گوید این دو شکل همسان ریخت نیستند و سفینه اول خطا کرده که این دو را در یک جعبه قرار داده است! اما سفینه دوم نیز خطایش صفر نیست! سفینه‌های زیادی در توپولوژی جبری ساخته‌اند، اما هیچ کدام از آن‌ها بدون خطا نیستند. در ایستگاه فضایی توپولوژی جبری، هر سفینه‌ای را در نظر بگیری، تعدادی جهان توپولوژیک که همسان ریخت نیستند پیدا می‌شود که این سفینه آن‌ها را به یک جعبه می‌برد. پس سوال بنیادی اینجاست:آیا می‌توان سفینه‌ای ساخت که هر دو جهان توپولوژیک همسان ریخت را به یک جعبه ببرد، و هر دو جهان توپولوژیک غیر همسان ریخت را به دو جعبه مختلف ببرد؟!من جوابش را نمی‌دانم. به گمانم ساخت چنین سفینه‌ای، کار ساده‌ای نیست. اگر هم ساخته شود، شاید در صورت حرکت کردن از دنیای توپولوژی و رسیدن به دنیای جبر، کارش را درست انجام دهد، اما حرکت دادنش و رساندنش به دنیای جبر، کار بسیار سختی خواهد بود! (به عبارت دقیق‌تر، شاید از لحاظ تئوری جواب دهد اما از لحاظ عملی و محاسباتی، کار کردن با آن بسیار دشوار خواهد بود)اما به هر حال سفینه‌هایی که تا کنون ساخته شده، تا حد زیادی پاسخ نیازهای ما را داده است، و توانسته‌ایم به کمک آن‌ها جهان‌های توپولوژیک متعددی را از هم تفکیک کنیم. از مهم‌ترین دستاوردهای توپولوژی جبری در زمینه‌ی تفکیک فضاهای غیر همسان ریخت، کشف حقایق زیر است:دونات و توپ همسان ریخت نیستند.دایره توپر و کره‌ی توخالی همسان ریخت نیستند. جهان سه بعدی و جهان دو بعدی همسان ریخت نیستند. (یعنی هر چقدر جهان سه بعدی را کش دهی، مچاله کنی، خم کنی و پیچش دهی، به جهان دو بعدی تبدیل نمی‌شود یا برعکس)به طور کلی، اگر m و n دو عدد طبیعی متفاوت باشند، جهان n بعدی با جهان m بعدی همسان ریخت نیست.مثلا جهان سیصد بعدی با جهان پنجاه و چهار بعدی همسان ریخت نیست و ... اما توپولوژی جبری، غیر از اینکه کمکمان کند تعداد زیادی از فضاهای غیر همسان ریخت را تشخیص دهیم، خوبی‌های دیگری هم دارد، و جمله‌های جالب دیگری را هم برایمان اثبات می‌کند.مثلا «قضیه بورسک اُلام» که در ابتدای نامه آن را بیان کردم، یکی از نتایج جالب توپولوژی جبری است.همین‌طور است «قضیه خَم جُردن» که به کمک ابزارهای توپولوژی جبری اثبات می‌شود؛ این قضیه بیان می‌کند:هر خم بسته (مثلا مثلث، دایره یا ...) در صفحه، صفحه را به سه قسمت تقسیم می‌کند؛ درون خم، بیرون خم، و مرز خم. شاید بگویی اینکه معلوم است و نیاز به اثبات ندارد! اما وقتی دقیق شوی، می‌بینی آنقدرها هم معلوم نیست! یادم هست این جمله در کتاب‌های ریاضی مدرسه بود و در جایی دیدم نوشته است که قضیه خم جُردن توسط ابزارهای ریاضیات پیشرفته اثبات می‌شود. و بالاخره بعد از حدود ده سال، اثباتش را ملاقات کردم!یکی دیگر از دستاوردهای جالب توپولوژی جبری، «قضیه توپِ مودار» است. این قضیه می‌گوید:اگر یک توپ داشته باشیم که تمام سطح آن پوشیده از مو باشد، امکان ندارد که تمام موها مماس بر سطح توپ باشند. بلکه بعضی از آن‌ها حتما به شکل صاف و عمود بر سطح توپ هستند! جالب است نه؟! اگر دوست داشتی درستی این قضیه را با یک توپ مودار امتحان کن! قضیه مهم دیگری که یکی از بنیادی‌ترین قضیه‌ها در توپولوژی به حساب می‌آید، و به کمک توپولوژی جبری در کلی‌ترین حالت خود اثبات می‌شود، «قضیه‌ نقطه ثابت براؤر» است که هم در شاخه‌های مختلف ریاضی، هم در علوم کاربردی دیگر بی‌اندازه اهمیت دارد. حتی در علومی که به ظاهر ارتباطی با توپولوژی ندارند، مانند «نظریه بازی‌ها»، رد پای نقطه ثابت براور دیده می‌شود. این قضیه، نتایج جالبی هم در زندگی روزمره دارد؛ مثلا یکی از آن‌ها به شرح زیر است:اگر یک استکان چای را با چیزی مثل قاشق برای هر مدتی که دلت بخواهد هم بزنی و بعد، هم زدن را متوقف کنی و منتظر بمانی تا ذرات چای آرام شوند، حداقل یک ذره‌ی چای وجود دارد که دقیقا در همان نقطه‌ای آرام می‌گیرد، که قبل از هم زدن در آن نقطه قرار داشت! البته این جمله وقتی نتیجه می‌شود که فرض کنیم تغییرات ذرات چای پیوسته است. به نظرم توپولوژی جبری، از آن شاخه های شیرین ریاضیات است که هر دانشجوی ریاضی لازم است حداقل تا اندازه‌‌ای آن را مطالعه کند. در انتها لازم است نکته‌ای فلسفی را گوش زد کنم. ممکن است رویای پیوستگی، واقعیت نداشته باشد؛ یعنی ممکن است هیچ تغییری در جهان ما پیوسته نباشد. در این صورت قضیه‌های بنیادی توپولوژی و توپولوژی جبری در جهان ما الزاما برقرار نخواهند بود. اما هر کدام از این قضیه‌ها، در جهان ریاضیات، به قوت خودشان باقی خواهند ماند! توجه به این نکته مهم است که درست است گاهی ریاضیدانان بعضی از شاخه‌های ریاضیات را بر اساس تعبیری که از جهان فیزیکی دارند می‌سازند، اما ماهیت ریاضیات، مستقل از جهان فیزیکی است. خب! من نامه‌ام را همینجا خاتمه می‌دهم. برای آشنایی با سفینه‌های توپولوژی‌ جبری و ساز و کارشان، لازم است به کتاب‌های توپولوژی جبری مراجعه کنی و آن‌ها را مطالعه کنی. کسی چه می‌داند، شاید روزی توانستی سفینه‌ای بسازی که هم به سادگی حرکت کند و از دنیای توپولوژی به دنیای جبر برود، هم اینکه هیچ خطایی نداشته باشد. خدا را چه دیدی، شاید هم توانستی اثبات کنی که ساخت چنین سفینه‌ای ممکن نیست!امیدوارم از مطالعه این نامه لذت برده باشی. نقد و نظراتت را به من بگو؛ از آن‌ها استقبال می‌کنم. محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Sat, 12 Feb 2022 21:04:22 +0330 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/%D8%AF%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D8%A7%D9%86-%D8%B4%DA%A9%D9%84-%DA%AF%DB%8C%D8%B1%DB%8C-%D8%B1%D8%A7%D8%A8%D8%B7%D9%87-%D8%B9%D8%A7%D8%B7%D9%81%DB%8C-%D9%85%D9%86-%D9%88-%D9%85%D9%86%D8%B7%D9%82%D9%90-%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C-ewrj5ezoqgrh از من پرسیده بودی که چرا تا این اندازه به ریاضیات علاقه دارم، و چرا بین این همه گرایش، منطق ریاضی را انتخاب کرده‌ام. من این کنجکاوی تو را درک می‌کنم، چون خود من نیز کنجکاوی‌های مشابهی داشته‌ام. از آنجایی که گمان کردم برطرف کردن این کنجکاوی تو، هم برای تو سودمند است و هم به من منافعی می‌رساند، این نامه را برایت نوشتم تا هر دو بهره‌مند شویم. پس وقتت را برای دقایقی به من بسپار، تا داستان آشنایی خود با منطق ریاضی را برایت روایت کنم. علاقه من به ریاضیات، از دوران دبیرستان شروع شد. یادم هست که در دوران ابتدایی و راهنمایی از مطالب ریاضی خیلی خوشم نمی‌آمد. اما وقتی وارد مقطع دبیرستان شدم، و شکوفه‌های درخت نوجوانی‌ام به تازگی شکفته بود، دانستم که چقدر ریاضیات را دوست دارم. آنقدر که هنگام انتخاب رشته برای دوم دبیرستان و مقاطع بعدی، بی‌درنگ ریاضیات را انتخاب کردم و استدلالم این‌گونه بود:«آخر بدون ریاضی چگونه می‌توانم زندگی کنم»؟!!دیگر خودت حدیث مفصل را از این مجمل بخوان.خلاصه که در دوران دبیرستان تا جایی که می‌توانستم و وقت و انرژی اجازه می‌داد، با ریاضیات عشق بازی کردم و مهرش بیش از پیش در دلم جای گرفت. تا اینکه بعد از کنکور، و برای انتخاب رشته دانشگاهی‌ام، «آموزش ریاضی» را انتخاب کردم و عزمم را جزم کردم که یک معلم ریاضی توانمند شوم. آخر همان‌قدر که ریاضیات را دوست داشتم، تدریسش را نیز دوست داشتم. با خود گفتم که «معلمی ریاضی» بهترین و متناسب ترین شغلی است که می‌توانم برای خودم انتخاب کنم. و با علاقه بسیار، و شور و شوقی وصف ناشدنی، قدم در راه دانشگاه گذاشتم و بدون هیچ دردسر و سدی که پیش رویم باشد، به حرکت ادامه دادم. برای تحصیل در مقطع کارشناسی، وارد دانشگاه فرهنگیان شدم و چهار سال را در آنجا سپری کردم. در متنی جداگانه، با عنوان «بیدارنامه» داستان زندگی‌ام را در این چهار سال روایت کردم و در این روایت، به سه پرسش پاسخ دادم:با چه انگیزه‌ای وارد شدم؟چگونه ادامه یافت؟با چه تصمیمی به پایان رسید؟اگر می‌خواهی و حوصله‌ات می‌کشد، می‌توانی آن را مطالعه کنی. اما در این نامه، همان طور که از عنوانش پیداست، قصد دارم برایت از منطق ریاضی بگویم. اینکه سر و کله‌ی منطق از کجا پیدا شد، و چه شد که دل به گیسوی پریشانش سپردم. در دوران کارشناسی، درس‌های ریاضی زیادی خواندم. با درس «مبانی ریاضی» و «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها» به طور دقیق تری با دنیای مجموعه‌ها و زبان ریاضی ارتباط برقرار کردم، و با درس «جبر مجرد» با سه جهان بزرگ، که از مجردترین جهان‌های ریاضی محسوب می‌شوند آشنا شدم؛ جهان گروه‌ها، جهان حلقه‌ها و جهان میدان‌ها. بعدا در درس «جبر خطی» جهان مجرد دیگری را شناختم که به جهان فضاهای برداری معروف است. هر کدام از این مفاهیم عمیق و زیبای ریاضی، برایم جذابیت ویژه‌ای داشتند و با حوصله آن‌ها را مطالعه می‌کردم و لذت می‌بردم. در درس «آنالیز ریاضی» داستان شنیدنی آنالیز برایم روایت شد و خوشبختانه با سفینه دوست داشتنی «راسل گوردون» به دنیای آنالیز سفر کردم. سفینه‌ای که راسل به قدری ظریف و هنرمندانه آن را خلق کرده بود، که خستگی و دلزدگی در آن معنایی نداشت، و طعم لذیذ مفاهیم آنالیزی را با ادویه‌های خوش عطر مخصوصش، بیش از پیش دلپذیر می‌کرد. «آمار و احتمال»، «نظریه گراف»، «معادلات دیفرانسیل»، «مبانی ترکیبات»، «توپولوژی» و ... هر کدام برایم جذابیت مخصوص خود را داشتند. واقعا همه آن‌ها را دوست داشتم. اصلا هر چیزی که برچسب ریاضی روی آن خورده بود، مرا به سمت خود می‌کشاند. البته به جز ریاضیات عمومی. مطالبش جذاب بود اما به نظرم از دقت ریاضی کافی برخوردار نبود و مرا راضی نمی‌کرد. همان مفاهیم حد و پیوستگی و مشتق و انتگرال وقتی در آنالیز با دقت تعریف شدند و مورد بررسی قرار گرفتند، دوباره نظرم را جلب کردند. آری آن جنبه از ریاضیات که مرا شیفته خود کرده بود، دقتی بود که در تعریف‌ها و اثبات‌ها به کار می‌رفت. تلاش برای فهمیدن اثبات‌های ریاضی، و مشاهده‌ی زیباییِ خیره‌کننده‌‌ی ایده‌ها و مفاهیم عمیقی که پشت نمادها و متغیرها پنهان شده بودند، و تو باید با وقت و حوصله و ریاضت ذهنی پرده نمادها را پس می‌زدی که آن زیبایی را ببینی، لذت عمده من در مطالعه ریاضی به حساب می‌آمد. درست است که گاهی اثبات‌ها طولانی و پیچیده می‌شد و فهمیدن برخی از آنها بیش از اندازه دشوار بود، اما خب این دشواری، معمولا با زیبایی آن مفاهیم پنهان شده رابطه مستقیم داشت. به قول مریم میرزاخانی، لذت بخش ترین بخش مطالعه ریاضی آنجاست که می‌گویی: «آها»!. به تعبیر من جایی که می‌گویی «آها»، دقیقا همان جایی است که پرده‌ها را کنار می‌زنی و آن زیبایی پنهان را می‌بینی. به هر حال، من در دوران کارشناسی مدام در حال کشف همین زیبایی‌ها بودم، و تقریبا همه دروس ریاضی در دوران کارشناسی این زیبایی را داشتند. اما دو درس بودند که رنگ و لعاب دیگری داشتند و حس و حال دیگری؛ «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها» و «مبانی هندسه». می‌خواهم درباره این دو درس، کمی مفصل‌تر صحبت کنم. «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها»، چهار مبحث کلی داشت؛ مجموعه‌ و رابطه و تابع‌، مجموعه‌های متناهی و نامتناهی، کاردینال‌ها، اصل انتخاب و صورت‌های هم‌ارز آن. هر کدام از این مباحث را بیش از اندازه دوست داشتم. در فصل کاردینال‌ها، برای اولین بار کمی دقیق‌تر با چند مفهوم جالب منطقی آشنا شدم؛ «اثبات پذیری» و «ابطال پذیری». وقتی کمی از کاردینال فهمیدم، و معلوم شد که کاردینال مجموعه اعداد طبیعی با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی متفاوت است، سوالی پیش آمد:آیا زیرمجموعه‌ای نامتناهی از اعداد حقیقی وجود دارد به طوری که کاردینال آن نه برابر با کاردینال مجموعه اعداد طبیعی باشد، و نه برابر با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی؟!این سوال را می‌توان به شکل حدس بیان کرد؛ این حدس که به فرضیه پیوستار مشهور است به این شکل بیان می‌شود:کاردینال هر زیرمجموعه‌ی نامتناهی از اعداد حقیقی، یا برابر با کاردینال مجموعه اعداد طبیعی است، یا برابر با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی. ریاضیدان‌ها و مخصوصا آن‌هایی که به مطالعه نظریه مجموعه‌ها علاقه‌مند بودند، تلاش کردند بفهمند این حدس درست است یا نه. اما در پاورقی کتاب «لین و لین» که مرجع اصلی درس بود، نوشته بود که تلاش برای یافتن جواب موفقیت آمیز نبود! ابتدا «کورت گودل» بدون اینکه بداند اثباتی برای این حدس وجود دارد یا نه، اثبات کرد که این حدس با پذیرفتن اصول نظریه مجموعه‌ها(منظور همان اصول ZFC است که شاید بعدها درباره آن نیز برایت نامه‌ای نوشتم) رد(ابطال) نمی‌شود! یعنی با فرض کردن اصول نظریه مجموعه‌ها، نمی‌توانیم نقیض فرضیه پیوستار را اثبات کنیم! این خبر برایم خیلی عجیب بود. گودل اثبات کرد که نقیض فرضیه پیوستار اثبات‌پذیر نیست! اینکه چگونه می‌توان اثبات‌کرد که جمله‌ای اثبات‌پذیر نیست، بدون اینکه درباره وجود اثباتی برای نقیض آن اطلاعی داشته باشیم، کنجکاوی دیوانه‌واری در من برانگیخت. به شدت مشتاق بودم که بدانم چگونه می‌توان چنین کاری را انجام داد. تا آن موقع، هر اثباتی که دیده بودم، اثبات یک جمله یا نقیض یک جمله ریاضیاتی بود. اما اثباتی که گودل آن را نوشته بود، گویی در جایی ورای ریاضیات زندگی می‌کرد؛ در فراریاضیات! در همان پاورقی نوشته بود که بعدها، «پاول کوهن» اثبات کرد که خودِ فرضیه پیوستار نیز با فرض اصول نظریه مجموعه‌ها اثبات‌پذیر نیست! و اثبات گودل و کوهن را اگر با هم ببینیم، نتیجه می‌شود که:با فرض اصول نظریه مجموعه‌ها، فرضیه پیوستار نه اثبات می‌شود و نه ابطال! به عبارتی، اثباتی وجود دارد که می‌گوید فرضیه پیوستار نه اثبات‌پذیر است و نه ابطال‌پذیر! این حقیقت مرا بیش‌ از اندازه تحت تاثیر قرار داد و به فکر فرو برد. یک میهمان ناخوانده بود که سرزده به خانه‌ی ذهنم آمده بود و نمی‌دانستم باید با آن چگونه برخورد کنم و چه واکنشی نشان دهم. مبهوت و حیرت‌زده این حقیقت را در ذهنم مرور می‌کردم و هر چه می‌گذشت تعجبم بیشتر می‌شد. «آخر چطور می‌شود چنین کاری انجام داد»؟ بدجوری کنجکاو شده بودم. این کنجکاوی به کنار، سوال دیگری نیز مدام در ذهنم رژه می‌رفت و پایش را محکم بر زمین ذهنم می‌کوبید:اکنون که فرضیه پیوستار نه اثبات می‌شود و نه ابطال، آن را بپذیریم؟ یا نقیضش را بپذیریم؟ یا هر دو؟ یا هیچ‌کدام؟ همیشه به ما گفته بودند که یک خبر، یا درست است یا غلط! و خیلی بیراه هم نگفته بودند؛ بالاخره یا حسن در خانه است، یا حسن در خانه نیست، یا خدا وجود دارد یا خدا وجود ندارد و... . اما خود این خبر که «هر خبر یا درست است یا غلط»، درست است یا غلط؟!! آیا می‌توان گفت فرضیه پیوستار، یا درست است یا غلط؟! فرض کنیم این‌گونه باشد. و فرض کنیم فرضیه پیوستار، مثلا درست باشد. اما اثبات که نمی‌شود! این چه درستی است که اثبات نمی‌شود؟! مگر جمله‌ای می‌تواند درست باشد اما اثبات نشود؟! و اگر اثبات نشود، از کجا معلوم که درست است؟! پس مجبورم این سوال را بپرسم که اصلا «درست» یعنی چه؟! و «اثبات» به چه معناست؟! و سوال‌های منطقی-فلسفی دیگری که یکی پس از دیگری به دیوار ذهن کوبیده می‌شوند. چه سوالات عمیق و چه کنجکاوی دیوانه‌کننده‌ای! و البته چه حال لذت بخش و محبوبی! این کنجکاوی رازگونه به قدری بود، که اگر شرایط اجازه می‌داد، واقعا دوست داشتم برای مدتی کافی، کنج خلوت بگزینم و آنقدر بخوانم و تحقیق کنم که جواب سوال‌هایم را پیدا کنم. اما زندگی روزمره چنین اجازه‌ای نمی‌داد. به هر حال من نیز انسان بودم و در خلأ زندگی نمی‌کردم! این سوال‌ها را در صندوقچه‌‌ی ذهنم منتظر گذاشتم، تا در زمانی مناسب از خجالتشان دربیایم. خب! این از فرضیه پیوستار و جذابیت منطقی-فلسفیش و راهی که نشان داد و کنجکاوی‌ای که برانگیخت. برویم سراغ «اصل انتخاب و صورت‌های هم‌ارزش». آشنایی اولیه من و اصل انتخاب، داستان جالبی داشت. اصل انتخاب جمله‌ای بود که جنسش برایم با سایر جملات ریاضی متفاوت بود. چیزی می‌گفت که خیلی بدیهی به نظر نمی‌آمد، و صورت‌های هم‌ارز زیادی داشت که ظاهرشان با هم بسیار فرق داشت! در ریاضیات، منظور از هم ارزی دو جمله، یعنی اینکه با فرض یکی از جمله‌ها، می‌توان دیگری را اثبات کرد و برعکس. به عبارتی، از نگاه منطق، دو جمله‌ی هم‌ارز، با هم تفاوتی ندارند؛ به این دلیل که دارای ارزش یکسانند. درست بودن یکی یعنی درست بودن دیگری، و نیز غلط بودن یکی یعنی غلط بودن دیگری. اصل انتخاب نیز صورت‌های هم‌ارز زیادی داشت که چهار پنج تا از آن‌ها را در کتاب آورده بود و هم‌ارزی آن‌ها با هم را اثبات کرده بود. اینکه دانستم اصل انتخاب، اصلی بوده که برخی ریاضیدان‌ها در اثبات برخی جمله‌ها آن‌ را به کار می‌بردند اما خودشان هم نمی‌دانستند دارند از چنین اصلی استفاده می‌کنند، برایم جالب بود. به عنوان یک ریاضیدان، وقتی می‌خواهیم جمله‌ای را اثبات کنیم، اگر کسی از ما بپرسد که داری از چه فرض‌هایی(جمله‌هایی که درستی آن‌ها را از قبل پذیرفته‌ایم) استفاده می‌کنی، انتظار می‌رود توانایی لیست کردن فرض‌هایمان را داشته باشیم. اینکه فرضی از قلم بیفتد، به دور از منطق است. اما ظاهراً درباره اصل انتخاب، داستان به همین قرار بود و این اصل بیچاره، دیده نمی‌شد و از قلم می‌افتاد! پذیرش صورت‌هایی از اصل انتخاب خیلی هم دور از انتظار نبود، اما صورت‌های هم ارزی از آن یافت می‌شد که پذیرش آن‌ها خیلی ساده نبود! آنقدر که برخی ریاضیدان‌ها حاضر نشدند اصل انتخاب را فرض کنند و در اثبات‌هایشان از آن استفاده کنند. مثلا یکی از هم‌ارزهای اصل انتخاب، اصل خوش‌ترتیبی است. این اصل می‌گوید که هر مجموعه‌ای خوش‌ترتیب شدنی است! پس در نتیجه، مجموعه اعداد حقیقی هم خوش‌ترتیب شدنی است. اما تا کنون هیچ خوش‌ترتیبی روی اعداد حقیقی معرفی نشده. صرفا می‌دانیم که اصل انتخاب تضمین می‌کند که حداقل یک خوش‌ترتیبی روی اعداد حقیقی وجود دارد! و کسی که تعریف خوش‌ترتیبی را بداند، درمی‌یابد که خوش‌ترتیب شدن اعداد حقیقی چه اندازه عجیب است؛ حداقل برای من عجیب است! به هر حال دعوای ریاضیدان‌ها سر پذیرش یا عدم پذیرش اصل انتخاب، داستانی بود که مطالعه آن مرا مسرور می‌کرد و دوست داشتم هر چه بیشتر از این داستان اطلاع پیدا کنم. لذتی که در مطالعه فرضیه پیوستار و اصل انتخاب برایم وجود داشت، با لذت مطالعه جبر و آنالیز و ترکیبات و ... متفاوت بود. «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها» دید مرا نسبت به ریاضیات تغییر داد، و کاری کرد که بتوانم از بیرون ریاضی، به ریاضی نظر کنم. و ریاضیات را وقتی از بیرون می‌نگریستم، برایم جذاب‌تر جلوه می‌کرد. دوست داشتم بیشتر به سوال‌های بنیادی ریاضی بپردازم؛ اینکه «درستی» و «نادرستی» به چه معناست، «اثبات» دقیقا یعنی چه، برای پذیرفتن یک اصل، چه ملاک و معیاری وجود دارد؟ چرا باید جمله‌ای را به عنوان اصل بپذیریم و جمله‌ای دیگر را نه؟ و ... پرداختن به این سوال‌ها که معمولا به آن‌ها سوال‌های منطقی-فلسفی درباره ریاضی، یا سوال‌های فراریاضیاتی می‌گویند، برایم جذاب‌تر بود از پرداختن به سوالاتی در خود ریاضیات. اکنون زمانش رسیده تا از درس «مبانی هندسه» بگویم و برایت تعریف کنم که این درس با من چه کرد!مرجع اصلی درس، کتاب «هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی گرینبرگ» بود. شاید اسم کتاب، هندسه باشد، اما منطقی‌ترین کتابی بود که در دوره کارشناسی مطالعه کردم، و بسیاری از مطالب منطقی را به من آموخت، و مرا با حقایق منطقی جالب توجهی آشنا کرد. داستان علم هندسه، برای علم منطق، مثال خوبی به شمار می‌رود. اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد مسیح تلاش کرد همه مطالب هندسی را که تا آن زمان نوشته شده بود، هم جمع‌آوری کند، هم تدوین کند. اما یک سوال اساسی پیش رویش بود: از کجا بدانیم که یک جمله هندسی درست است؟ جوابش «اثبات» بود. او به خودش اطمینان داد که اگر بتوانیم جمله‌ای را اثبات کنیم، آن جمله حتما درست است. اما سوال مهم دیگر این بود که چگونه یک جمله را اثبات کنیم؟ بالاخره باید برای اثبات آن جمله از فرض‌هایی(جمله‌هایی که درستی آن‌ها را از قبل پذیرفته‌ایم) استفاده کنیم. اما خود آن فرض‌ها چطور؟ آیا آن‌ها درستند؟ ممکن است بگویی: «خب! آن‌ها را هم اثبات می‌کنیم»! آری! اما برای اثبات آن‌ها هم باید از فرض‌هایی استفاده کنیم! سوال این است که این فرآیند قصد دارد تا کجا ادامه پیدا کند؟ اگر قرار باشد تا بی‌نهایت ادامه پیدا کند، که اصلا هیچ جمله‌ای اثبات نمی‌شود! جوابی که شاید به ذهن برسد این است: «باید به فرضی برسیم که آنقدر بدیهی باشد که اصلا نیاز به اثبات نداشته باشد». اما خب، «بدیهی» یعنی چه؟ ملاک «بداهت» یک جمله چیست؟ آیا جمله‌ای که برای من بدیهی باشد، حتما برای دیگری نیز بدیهی است؟ و سوال‌های اساسی دیگری که مطرح می‌شود. ریاضیدان‌ها برای اینکه خود را از بند این سوالات برهانند، نگفتند بدیهی. گفتند اصل موضوع(axiom)! گفتند بالاخره باید تعدادی جمله را به عنوان اصل بپذیریم، یعنی بدون اینکه آن‌ها را اثبات کنیم، فرضشان کنیم و با کمک آن‌ها به اثبات جمله‌های دیگر بپردازیم. اقلیدس نیز همین کار را کرد. پنج جمله را به عنوان اصل موضوع در نظر گرفت و چند جمله‌ی منطقی را هم فرض کرد که بتواند از آن پنج جمله، به کمک قواعد منطقی، جملات هندسی دیگری را نتیجه‌گیری کند. او توانست با همین پنج اصل، و همان چند قاعده آشنای منطقی، تقریبا همه ریاضیات آن زمان را، یا حداقل بخش بسیار مهمی از ریاضیات آن زمان را اثبات کند. کتاب او معروف است به «اصول اقلیدس» و برخی آن را شاهکار منطقی او می‌نامند. کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی گرینبرگ، اصول اقلیدس را زیر ذره بین می‌برد و آن‌ها را موشکافانه بررسی می‌کند. «دیوید هیلبرت»، ریاضیدان معروف آلمانی، توانست در نوشتار اقلیدس ایرادات منطقی زیادی پیدا کند! مهم‌ترین آن ایرادها، این بود که آن پنج اصل برای اثبات خیلی از جملات هندسی کافی نبودند، و اقلیدس بی‌آنکه بداند، از فرض‌های دیگری نیز استفاده کرده، اما به آن‌ها تصریح نکرده است. این ایرادها به قدری بود که «برتراند راسل»، ریاضیدان نامدار انگلیسی می‌گوید: «در نام‌گذاری اثر اقلیدس به عنوان یک شاهکار منطقی، سخت مبالغه شده است»! هیلبرت برای برطرف کردن ایرادات منطقی اقلیدس، مجبور شد چند جمله دیگر نیز به اصول اقلیدس اضافه کند. هندسه‌ای که او بنا گذاشت، به «هندسه هیلبرت» معروف است که به نوعی چکش‌کاری همان هندسه اقلیدس به شمار می‌رود. اگر خودمان را به همان پنج اصل اقلیدس محدود کنیم، یک سوال اساسی پیش رویمان است:از کجا معلوم که این پنج اصل، هیچ‌گاه به تناقض نمی‌انجامند؟! به عبارت دیگر، از کجا معلوم که این پنج اصل، در تناقض با یکدیگر قرار ندارند؟! فرض کنید توسط این پنج جمله، ۶۷۵ جمله ثابت کرده‌ایم. کسی چه می‌داند، شاید جمله‌ی ششصد و هفتاد و ششم که بعدا ثابت می‌شود، با جمله هفتاد و هشتم در تناقض باشد!اگر این پنج اصل سازگار باشند، یعنی به هیچ تناقضی نینجامند، به آن دستگاه اصل موضوعی که با این پنج اصل ساخته می‌شود، یک دستگاه «سازگار» می‌گویند و در غیر اینصورت دستگاه را «ناسازگار» می‌نامند. این سوال، که یک دستگاه اصل موضوعی سازگار است یا نه، سوال مهمی است. چرا که اگر کاشف به عمل بیاید که اصول موضوع دستگاهمان ناسازگار بوده، گویی آب در هاون کوبیده‌ایم و در واقع داشتیم در باتلاقی از تناقض دست و پا می‌زدیم. اما متاسفانه جواب دادن به این سوال، هرگز ساده نیست! به راستی چگونه می‌توان سازگاری تعدادی اصل را با یکدیگر ثابت کرد؟! چه روشی وجود دارد؟! جواب دادن به چنین سوالی، همواره یک چالش بزرگ برای منطق‌دانان بوده و هست. مفهوم سازگاری یک دستگاه اصل موضوعی که گرینبرگ در کتابش از آن سخت گفت، برایم مفهوم بسیار جذابی بود. باز هم یک مفهوم فراریاضیاتی. کم کم داشتم می‌فهمیدم که مرا برای فراریاضیات ساخته‌اند؛ بس که مباحث فراریاضیاتی برایم خوشایند بود. دانستم که جایگاه من آنجاست، و روزی به آنجا سفر خواهم کرد. اما اصل پنجم اقلیدس، داستانی حیرت‌انگیز دارد. نمی‌دانید این اصل چه بلایی بر سر ریاضیدان‌ها آورده است! چهار اصل اول اقلیدس، راحت پذیرفته شدند. چون با شهود و فهم ما نسبتا سازگارند. مثلا اصل اول می‌گوید از هر دو نقطه، یک و تنها یک خط می‌گذرد، و اصل چهارم می‌گوید همه زاویه‌های قائمه با هم برابرند. اما اصل پنجم، محل دعوای ریاضیدان‌ها بود. آن‌ها نتوانستند این اصل را به راحتی چهار اصل دیگر بپذیرند. این اصل بیان می‌کند که: «اگر خطی، دو خط را قطع کند، این دو خط در سمتی یکدیگر را قطع می‌کنند که مجموع زاویه‌های ایجاد شده، کمتر از دو قائمه است»همانطور که می‌بینید، حتی ظاهر این اصل هم با اصول دیگر اقلیدس متفاوت است. بعدا ثابت شد که اصل پنجم، هم‌ارز با این است که:«از هر نقطه خارج از یک خط، یک و تنها یک خط می‌گذرد که با خط داده شده موازی باشد»بسیاری از ریاضیدان‌ها، تلاش کردند که به کمک چهار اصل اول، اصل پنجم را اثبات کنند. اما همه آن‌ها شکست خوردند! برخی نیز خواستند اصل پنجم را رد کنند؛ یعنی نقیض آن را به کمک چهار اصل دیگر اثبات کنند. اما همه آن‌ها نیز شکست خوردند! همان طور که می‌بینید، گره کوری ایجاد شده بود که به دست هیچ‌کدام از ریاضیدان‌ها باز نمی‌شد. تا اینکه بالاخره، اثبات کردند که با فرض چهار اصل اول اقلیدس، اصل پنجم نه اثبات می‌شود و نه ابطال! انگار اصل پنجم اقلیدس همان رابطه‌ای را با چهار اصل اول دارد، که فرضیه پیوستار با اصول نظریه مجموعه‌ها. هنگامی که مباحث مربوط به اصل پنجم را در کتاب گرینبرگ می‌خواندم، دوباره همان بحث جذاب فرضیه پیوستار برایم تداعی شد و لذت مشابهی مرا مسرور ساخت. به علاوه، کتاب گرینبرگ توضیح داد که با چه روشی می‌توان اثبات کرد که جمله‌ای نه اثبات‌پذیر است و نه ابطال‌پذیر. یعنی سوالی که در درس «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها» برایم مطرح شده بود، در درس «مبانی هندسه» جواب گرفت. و این جواب گرفتن مثل آب گوارایی بود که در کویری خشک و بی‌آب و علف به آن می‌رسم؛ همان‌قدر جذاب و دوست داشتنی!حال که اینگونه است و اصل پنجم توسط چهار اصل اول، نه اثبات می‌شود و نه ابطال‌، چرا اصل پنجم را فرض کنیم؟ بیایید به جای فرض کردن اصل پنجم اقلیدس، ضد آن را فرض کنیم! به جای اینکه فرض کنیم: «از هر نقطه خارج از یک خط فقط یک خط می‌گذرد که با خط داده شده موازی باشد»فرض کنیم:۱. «از هر نقطه خارج از یک خط، بیش از یک خط می‌گذرد به طوری که با خط داده شده موازی باشد»یا اینکه فرض کنیم:۲. «از هر نقطه خارج از یک خط، هیچ خطی نمی‌گذرد به طوری که با خط داده شده موازی باشد»اگر به جای اصل پنجم اقلیدس، جمله ۱ یا جمله ۲ را فرض کنیم، هندسه‌ای که به آن وارد می‌شویم، «هندسه‌ی نااقلیدسی» نام دارد. آن هندسه نااقلیدسی که جمله ۱ را فرض کرده، هندسه هذلولوی، و آن هندسه نااقلیدسی که جمله ۲ را فرض کرده، هندسه بیضوی نام دارد. اما سوال منطقی-فلسفی مهم اینجاست:بالاخره کدام یک درست است؟! اصل پنجم اقلیدس، جمله ۱؟ یا جمله ۲؟ آن‌ها ضد و نقیضند! نمی‌توانند همزمان درست باشند، همین‌طور نمی‌توانند همزمان غلط باشند! بالاخره باید فقط یکی از آن‌ها درست باشد. اما کدام یک؟! به فرض اصل پنجم اقلیدس درست باشد. پس چرا اثبات نمی‌شود؟ این چه درستی است که اثبات نمی‌شود؟ و اگر اثبات نمی‌شود از کجا معلوم که درست است؟ و سوال‌های دیگری که مشابه آن‌ها درباره فرضیه پیوستار هم مطرح است. فکر کنم روحیه مرا تا به اینجا به خوبی شناخته باشی و بدانی که این سوال‌ها چقدر برایم جذاب بودند. خلاصه، درس «مبانی هندسه» مرا به دنیای زیبایی وارد کرد که هر قسمت از آن، شگفت‌آورتر و جذاب‌تر از قسمت دیگر بود.نتیجه مطالعه این مطالب، این بود که من موضوع مورد علاقه خودم را پیدا کردم؛ فراریاضیات! دوست داشتم در فراریاضیات ادامه تحصیل بدهم و به سوالات بنیادی و منطقی-فلسفی در مبانی ریاضی بپردازم. همان موقع بود که دانستم گرایش منطق ریاضی در مقطع کارشناسی ارشد، دقیقا همان سفینه‌ای است که مرا به فراریاضیات می‌برد. دقیقا سوال‌هایی را می‌پرسد که من پرسیده بودم، و دقیقا به همان مطالبی می‌پردازد که من دوست دارم بپردازم. خب، چه از این بهتر؟! عزمم را جزم کردم که هر طور شده، در بهترین دانشگاه کشور که این گرایش را ارائه می‌دهد، ادامه تحصیل دهم. و اکنون، من در همان جهانی قرار دارم که دوست داشتم؛ در فراریاضیات... .اینکه در فراریاضیات چه خبر است، داستان مفصل و جداگانه‌ای دارد. جهان قشنگی است. سعی می‌کنم به زودی برایت نامه‌ بنویسم و اینجا را برایت توصیف کنم. سعی می‌کنم با نامه‌هایم، جلوه‌ای از زیبایی اینجا را به تو نیز نشان دهم. تو نیز برایم از زیبایی دنیایت بنویس. محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Mon, 10 Jan 2022 22:53:07 +0330 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/%DA%86%D8%B1%D8%A7-%D8%A7%DB%8C%D9%86-%DA%A9%D8%A7%D8%B1-%D8%AE%D9%88%D8%A8-%D8%A7%D8%B3%D8%AA-%D9%88-%D8%A2%D9%86-%DA%A9%D8%A7%D8%B1-%D8%A8%D8%AF-h4n2hrkcrupz فرض کن در شرایطی قرار داری که می‌توانی میلیاردها پول را بدزدی، پولی که با دزدیدن آن می‌توانی تا آخر عمر در رفاه کامل زندگی کنی. اما می‌دانی که با دزدیدن این پول جمعیتی را نگون‌بخت می‌کنی، و از طرفی مطمئنی که هیچ فردی تو را نخواهد دید و تا آخر عمر، هیچ کس از این دزدی تو مطلع نخواهد شد. در این صورت، آیا آن پول را برمی‌داری؟! اگر برنمی‌داری، سوال من از تو این است که چه چیزی تو را از برداشتن آن پول منع می‌کند؟!تا به حال شده خانواده، جامعه یا دوستانت امر و نهیت کنند؟! مثلا در خیابان آشغال بریزی، و آن‌ها بگویند «آشغال ریختن در خیابان بد است» یا مثلا تو را نصیحت کنند و بگویند «دزدی کردن بد است» یا «غیبت کردن زشت است» یا «باید منظم باشی» یا «نباید پاهایت را جلوی بزرگترها دراز کنی» یا جمله‌هایی از این دست؟! وقتی بچه بودم، چنین جملاتی مدام به گوشم می‌خورد. همینطور جملاتی مثل: «راست‌گویی خوب است» یا «کمک کردن به دیگران خوب است» یا «باید به پدر و مادر احترام گذاشت». جملات این چنینی را که با مفهوم خوبی و بدی، زشتی و نیکویی، باید و نباید، یا ترکیبات مشابه سر و کار دارد، جملات اخلاقی یا گزاره‌های اخلاقی می‌نامیم. آن شاخه از فلسفه که به بررسی اینگونه جملات می‌پردازد «فلسفه اخلاق» نام دارد. در این نامه، می‌خواهم با تو در مورد این نوع جملات صحبت کنم. به طور کلی، می‌خواهیم کمی درباره اخلاق گپ بزنیم. همان طور که می‌دانی، تفاوت اصلی فیلسوف با غیر فیلسوف همین است که در ابتدای هر جمله‌‌ی خبری که می‌شنود «چرا» و در انتهای آن «علامت سوال» می‌گذارد و می‌پرسد. به راحتی قبول نمی‌کند. به دنبال دلیل است. می‌خواهد نوری بیابد تا حقیقت را ببیند. اما روش بحث من و تو هم روشی فلسفی است. می‌خواهیم فیلسوف‌ مشربانه با هم حرف بزنیم. پس چون چنین است، در اینجا می‌پرسیم: «چرا دزدی کردن بد است؟» یا «چرا راست‌گویی خوب است؟» و اندیشه می‌کنیم تا ببینیم برای جواب دادن به این سوال‌ها و سوال‌های مشابه، چه ابزاری لازم است. من پیشنهاد می‌کنم که قبل از خواندن ادامه نامه، حتما به این سوال‌ها بیندیشی. مثلا شاید اگر قبل از شروع خواندن این نامه کسی از تو می‌پرسید که آیا به نظر تو دزدی کردن بد است، جواب می‌دادی: «آری بد است». اما اکنون می‌خواهی کمی فیلسوف باشی. پس سعی کن اعتقاد خودت را در مورد دزدی به چالش بکشی، و از خودت بپرسی: «چرا دزدی کردن بد است»؟ و سپس تلاش کنی به این سوال جواب بدهی. به راستی چرا دزدی کردن بد است؟! برای آنکه به این سوال جواب دهیم، ابتدا باید تلاش کنیم تا منظور از «بدی» یا «بد بودن» را دریابیم. پس می‌پرسیم: «منظور از بدی چیست؟». واقعا منظور از بدی چیست؟ چرا یک عمل را بد می‌دانیم و یک عمل را نه؟ مثلا چرا به نظر خیلی‌ها تنبلی بد است و سختکوشی نه؟! اصلا بد را به چه چیزهایی نسبت می‌دهیم؟! یک عمل باید چه ویژگی‌هایی داشته باشد تا آن را بد بنامیم؟! و وقتی عملی بد باشد، نسبت ما با آن عمل چیست؟ آیا نباید آن را انجام دهیم؟ یا اینکه انجام دادن آن مانعی ندارد؟نمی‌دانی در دوران جوانی، هنگامی که چراغ‌های اندیشه و تفکر به تازگی در ذهنم روشن شده بود، چقدر با این سوال‌ها سر و کله زدم و چقدر به آن‌ها اندیشیدم. چقدر با این و آن بحث کردم و همین سوال‌ها را از آن‌ها پرسیدم. چه کتاب‌ها و مقالاتی خواندم، و چه سخنرانی‌ها که گوش کردم. اکنون می‌خواهم نتیجه آن همه تلاش فلسفی را برایت بگویم. پس خودت را آماده کن!من به اینکه فلان فیلسوف چه گفته یا در فلان کتاب چه نوشته کاری ندارم. این نامه، بازتاب اندیشه‌های دیگران نیست. تقلید نیست. تحقیق است. ورزشی ذهنی است. من می‌خواهم با تو مسیری عقلی و استدلالی را بپیمایم تا به جواب برسم. بعد از آن تو می‌توانی جواب یا نتیجه بدست آمده را با افکار فلان دانشمند یا فلان فیلسوف مقایسه کنی تا ببینی کدام یک قانع‌کننده‌‌تر است.جمله‌ی «دزدی کردن بد است» یا جمله‌ای حقیقی است در مورد واقعیت، یا جمله‌‌ای است اعتباری و توصیه‌ای. منظورم چیست؟! مثلا فرض کن من می‌گویم: «زمین کروی شکل است». اکنون دارم جمله‌ای بیان می‌کنم درباره‌ی واقعیت. حال ممکن است این جمله مطابق با واقع باشد(درست باشد)، ممکن است مطابق با واقع نباشد(غلط باشد). حالا فرض کن بگویم: «به حرف‌ پدرت گوش کن». در این صورت جمله‌ی من خبری از واقعیت نمی‌دهد، بلکه من دارم به تو چیزی را توصیه‌ می‌کنم. حال تو می‌توانی این توصیه را عملی کنی، می‌توانی آن را نادیده بگیری. به عبارتی، جمله‌ی «زمین کروی شکل است» از آنجایی که خبری از واقعیت می‌دهد و یا درست است یا غلط، دارای ارزش منطقی است و از نظر منطقی قابل بررسی است. اما جمله‌ی «به توصیه‌های پدرت گوش کن» خبری از واقعیت نمی‌دهد و صرفا یک توصیه است بنابراین درستی و غلطی برای آن تعریف نمی‌شود. در نتیجه، این جمله به خودی خود فاقد ارزش منطقی است. حال جمله‌ی «دزدی کردن بد است» از کدام دسته است؟! حقیقی است یا اعتباری؟! وقتی من می‌گویم «دزدی کردن بد است»، آیا دارم به مخاطبم صرفا توصیه می‌کنم که: «دزدی نکن»؟! یا اینکه نه، بلکه دارم به او می‌گویم: «عمل دزدی چیزی دارد به نام بدی»؟! برای فهمیدن جواب این سوال‌ها، ناچاریم بدانیم منظور از «بد بودن» چیست. شاید بگویی: «مفهوم بدی مفهومی بدیهی است و اصلا نیاز به تعریف ندارد. هر انسانی آن را می‌فهمد. وقتی به کسی می‌گوییم دزدی کردن بد است، می‌فهمد که منظورمان چیست. لازم نیست حتما بد بودن را برای او تعریف کنیم تا منظورمان را بفهمد.»اما من با این حرف مخالفم. حداقل یک نفر هست که مفهوم بدی برای او بدیهی و روشن نیست و آن یک نفر منم! به راستی وقتی کسی می‌گوید: «دزدی کردن بد است» من منظورش را نمی‌فهمم! گرچه احتمال می‌دهم منظورش این باشد: «نباید دزدی کرد».به هر حال، بد بودن چیزی نیست که برای من واضح باشد. کمی به آن فکر کن! به «بدی»! یا به طور مشابه به «خوب بودن» یا «خوبی» بیندیش. می‌بینی که موضوع پیچیده‌تر از این حرف‌هاست! آیا می‌توانی بدی را تصور کنی؟ بدون اینکه در ذهنت مثالی بیاوری؟ منظورم این است که نگویی دزدی کردن بد است یا ... . بلکه صرفا بدی را به خودی خود تصور کنی. آیا می‌توانی؟ آیا می‌توانی بدی را تعریف کنی؟شاید بتوانی تعریفی از «مایع» ارائه دهی:«مایع، ماده‌ای است که شکل ظرف را به خود می‌گیرد؛ مثلا اگر در ظرفی استوانه‌ای شکل ریخته شود استوانه‌ای شکل، و اگر در ظرفی مکعب شکل ریخته شود مکعب شکل می‌شود».اکنون با استفاده از این تعریف، می‌توانیم سراغ ماده‌های مختلف برویم و ببینیم آیا مایع هستند یا نه. این تعریف، مایع‌بودن یا مایع نبودن ماده‌ها را برایمان مشخص می‌کند؛ مثلا بنا بر این تعریف، می‌فهمیم سنگ مایع نیست اما آب مایع است. اکنون آیا می‌توانی همان‌طور که تعریف مناسبی برای مایع ارائه دادی، تعریفی برای «بدی» نیز ارائه دهی؟! همانطور که در نامه‌ی «هدف زندگی» گفتم، ممکن است تعریف برخی چیزها را ندانیم اما بتوانیم مصادیقش را از غیر مصادیقش تمیز دهیم. مثلا شاید نتوانیم انسان را دقیقا تعریف کنیم اما می‌توانیم انسان را از غیرانسان تمیز دهیم(ناگفته نماند که این تشخیص دادن در اکثر موارد درست کار می‌کند، نه در همه موارد!). اما آیا بدی اینگونه است؟ آیا حتی وقتی تعریف درستی از بدی نداریم، می‌توانیم چیزهای بد را از غیر بد متمایز کنیم؟! من که گمان نمی‌کنم اینگونه باشد! مثلا در مورد «انسان»، اینگونه است زیرا ما مصادیق بسیاری از انسان دیده‌ایم که همه آن‌ها موجوداتی مشابه هستند و در یک قالب مشترک می‌گنجند. به عبارتی، مصادیقِ مفهومِ انسان، حقیقی هستند و قابل دریافت با حواس پنجگانه. اما آیا مصادیقِ مفهومِ بدی اینگونه‌اند؟! همه‌ی مردم دنیا آلبرت اینشتین را «انسان» می‌دانند و در اینکه او انسان است با هم اختلاف نظر ندارند. اما در طرفی از دنیا روابط آزاد قبل از ازدواج را «بد» می‌دانند و در طرف دیگر آن را ارج می‌نهند. یکی خوردن گوشت حیوانات کار هر روزش است و دیگری خوردن گوشت حیوانات را «بد» می‌داند. پس ظاهراً مفهوم «بد بودن» با مفهوم «انسان بودن» تفاوت‌هایی بنیادی دارد. یا مثلاً مفهوم لذت. احساسی که ما نسبت به برخی چیزها پیدا می‌کنیم برایمان خوشایند است، که به این احساسات لذت می‌گوییم. به عبارتی، احساس خودمان را در نسبت با آن موضوع می‌سنجیم‌. و البته این احساس، نسبی هم هست؛ ممکن است کاری برای من لذت بخش باشد و برای دیگری نه. اما آیا مفهوم بدی از این نظر، مانند مفهوم لذت است؟! تو هنگام تشنگی آب پرتقال که می‌خوری لذت می‌بری، و این را حس می‌کنی، درک می‌کنی. ربطی هم ندارد که فلان دانشمند در مورد آب پرتقال چه گفته یا جامعه چه موضعی نسبت به آب پرتقال می‌گیرد! نوشیدن آب پرتقال در هنگام تشنگی یا خوردن پیتزا هنگام گرسنگی یا انجام افعال مشابه، حسی را در تو به وجود می‌آورد که آن حس را لذت می‌نامی. اما در مورد بدی، آیا شده کاری را انجام دهی که حس کنی آن کار، کار بدی است؟ احتمالا می‌گویی: «بله! جایی به مادرم دروغ گفتم و حس کردم کار بدی انجام داده‌ام». اما دقت کن، آیا این حس تو به خاطر خودِ عمل دروغ گفتن بود یا به خاطر بینشی که خانواده، جامعه یا در یک کلام «محیط» نسبت به عمل دروغ گفتن در تو ایجاد کرده بود؟!! به خوبی می‌فهمی که مفهوم «لذت» که آن را به نوشیدن آب پرتقال نسبت می‌دهی ربطی ندارد به اینکه طرز فکر تو چیست. اما وقتی مفهوم «بدی» را به عمل دروغ گفتن نسبت می‌دهی، به طرز فکر تو بستگی دارد؛ می‌توانی طرز فکرت را عوض کنی و در آن صورت می‌بینی که دیگر دروغ گفتن بد نیست! اما با طرز فکرت هر کاری که بکنی، باز هم نوشیدن آب پرتقال هنگامی که شدیداً تشنه‌ای، لذت بخش خواهد بود. (در مثال مناقشه نیست! شاید بگویی می‌توانم با فکرم کاری کنم که از آب پرتقال نوشیدن متنفر شوم و دیگر برایم لذت بخش نباشد! اما اگر این را بگویی، من می‌گویم در ارتباط با خوابیدن که هنگامی که شدیداً خسته‌ای و خوابت می‌آید چه می‌گویی؟! آیا می‌توانی طرز فکرت را به گونه‌ای تغییر دهی که دیگر خوابیدن در هنگام خستگی برایت لذت بخش نباشد؟! گمان نمی‌کنم! مثال‌های زیادی وجود دارد)پس ظاهراً مفهوم «لذت» هم با مفهوم «بدی» تفاوت‌هایی دارد.من فکر می‌کنم مفهومی مثل مفهوم «مایع بودن» نیز با مفهوم «بد بودن» متفاوت است. گویی مفهوم «مایع بودن» یک ویژگی ذاتی برای یک شیء است، و ربطی ندارد که من و تو چه اختلاف دیدگاهی داریم. به عبارتی، «مایع بودن» یک ویژگی حقیقی است. «آب مایع است» و «سنگ مایع نیست»، خواه هیچ انسانی نباشد، یا حتی هیچ موجود زنده‌ای وجود نداشته باشد. اما آیا همینطور است اگر بگوییم: «آب زیبا است» یا «سنگ زیبا نیست»؟! آیا زیبایی، یک ویژگی ذاتی برای اشیاء به شمار می‌رود؟ یا بستگی به این دارد که من و تو چگونه نگاه می‌کنیم و چه برداشتی داریم؟! به عبارتی، اگر هیچ موجود زنده‌ای نباشد، آیا باز هم «آب زیباست»؟ یا در آن صورت اصلا زیبایی معنایی نمی‌یابد؟! آیا «آب چیزی دارد به نام زیبایی»؟! و سنگ آن چیز را ندارد؟! یا زیبایی صرفا چیزی است که ما برای آب «اعتبار» می‌کنیم(می‌سازیم)؟! منظورم را می‌فهمی؟! امیدوارم! می‌دانم بحث پیچیده‌ای است اما به آن نیک بیندیش.این بحث که آیا زیبایی یک ویژگی ذاتی هست یا نه، بحثی است در زیبایی‌‌شناسی که من فعلا به آن کاری ندارم. اما به هر حال نظرم این است که نه، زیبایی یک ویژگی ذاتی و حقیقی برای اشیاء نیست. بلکه اعتباری است. بستگی به نگاهمان دارد.خلاصه، قصد داشتم بگویم که ویژگی‌هایی هست که می‌توان در مورد ذاتی بودن آن‌ها تجدیدنظر کرد یا حداقل به تردید افتاد. حال مفهومِ «بدی» از کدام قِسم است؟! حقیقی است یا اعتباری؟! در ذات اشیاء یا اعمال نهفته است یا اینکه ما آن را با ذهن خود اعتبار می‌کنیم؟! شاید پاسخ افراد مختلف به پرسش‌های اخیر متفاوت باشد. اما من قصد دارم نظر خودم را در اینجا به تو بگویم. انتظار ندارم آن را بپذیری؛ برعکس، انتظار دارم آن را نقادانه بررسی کنی تا ببینی می‌توانی ایرادی بیایی یا نه. البته انتظار دارم قبل از قضاوت، حرفم را به نیکی بفهمی. پس تمام سعیت را بکن!من گمان می‌کنم مفهوم بدی مفهومی است اعتباری؛ بستگی به این دارد که ما چه دیدگاهی داریم. عمل دزدی کردن، به خودی خود تفاوتی با عمل آب نوشیدن ندارد. هر دوی آن‌ها عملی است با برخی ویژگی‌های حقیقی. مثلا یکی از ویژگی‌های عمل دزدی -اگر موفقیت آمیز باشد!- این است که به من از نظر مادی سود می‌رساند (منظورم سود لحظه‌ای است، چون شاید چیزی به نام برکت واقعیت داشته باشد!)، و به دیگری از نظر مادی صدمه می‌زند. یکی از ویژگی‌های حقیقی عمل آب نوشیدن این است که لب و دهان را تر می‌کند و تشنگی را برطرف می‌کند. این‌ها همه ویژگی‌هایی است که در واقعیت این اعمال وجود دارد و ربطی ندارد به اینکه ما چگونه می‌خواهیم برداشت کنیم یا از چه زاویه‌ای به موضوع بنگریم. مسلمان که آب بخورد، لب و دهانش تر می‌شود، یهودی و مسیحی هم همین‌طور، بی‌دین و خداناباور نیز همین‌طور. اما آیا عمل دزدی ویژگی‌‌ای حقیقی به نام «بدی» را به یدک می‌کشد؟ و آب خوردن ویژگی‌‌ای حقیقی به نام «خوبی» را؟! من که اینگونه فکر نمی‌کنم! نظر من این است که بدی ویژگی‌ای است که ذهن ما آن را به عمل دزدی کردن می‌چسباند، همان‌طور که خوبی را به عمل آب نوشیدن. اما این بدی و خوبی چیست که از آن حرف می‌زنیم؟! منظورمان از بدی و خوبی چیست؟! سه نوع برداشت به ذهنم می‌رسد؛ اکنون برایت شرح می‌دهم؛برداشت اول: وقتی کسی می‌گوید «دزدی کردن بد است»، دارد صرفا احساس شخصی‌اش را نسبت به عمل دزدی بیان می‌کند.برداشت دوم:وقتی کسی می‌گوید «دزدی کردن بد است»، انگار دارد می‌گوید: «نباید دزدی کرد».برداشت سوم:وقتی کسی می‌گوید «دزدی کردن بد است»، انگار دارد می‌گوید: «اگر دزدی کنی در مجموع باعث می‌شود که به تو ضرر برسد».بیا هر یک از برداشت‌ها را تحلیل کنیم. ابتدا به بررسی برداشت اول بپردازیم: طبق این برداشت، وقتی کسی می‌گوید «دزدی کردن بد است»، انگار دارد می‌گوید: «من از دزدی کردن بدم می‌آید و اکنون دارم حس خودم را نسبت به دزدی می‌گویم». اگر واقعا منظور همین باشد، پس جمله‌ی «دزدی کردن بد است» یک جمله‌ی نسبی می‌شود؛ به این معنا که ممکن است برای یکی دزدی کردن بد باشد(چون از دزدی کردن بدش می‌آید) و برای دیگری دزدی کردن بد نباشد(چون از دزدی کردن بدش نمی‌آید). در این صورت من به خودم نگاه می‌کنم تا ببینم آیا برای من دزدی کردن بد است یا بد نیست؛ به عبارتی، آیا من از دزدی کردن بدم می‌آید یا بدم نمی‌آید تا حس خودم را نسبت به این عمل بفهمم. اگر واقعا منظور از «دزدی کردن بد است» همین احساس شخصی باشد، پس سخن گفتن از بد بودن برخی اعمال، صرفا صحبتی احساسی است و ارزش منطقی ندارد. بنابراین منطقا عملی را ایجاب نمی‌کند. مگر آنکه تو آن احساست را چنان به من منتقل کنی که من هم از دزدی کردن بدم بیاید و دیگر دزدی نکنم. به هر حال در این صورت بحث خاصی وجود ندارد. صرفا احساسی نسبت به موضوعی بیان شده‌. درست مثل اینکه کسی بگوید: «من از بادمجان بدم می‌آید».اما برداشت دوم:طبق این برداشت، وقتی کسی می‌گوید: «دزدی کردن بد است» منظورش این است که: «نباید دزدی کرد». اما این جای بحث زیادی دارد. بلافاصله سوال می‌پرسیم که: «چرا نباید دزدی کرد؟». جواب چه می‌تواند باشد؟! چه زمانی باید کاری را انجام داد، و چه زمانی نباید؟ آن کاری که باید انجامش دهیم باید چه ویژگی‌‌هایی داشته باشد؟ آن کاری که نباید انجامش دهیم چطور؟ در نامه‌ی «ضرورت» دیدی که انجام هیچ کار اختیاری به خودی خود ضروری نیست، مگر آنکه هدف یا خواسته‌ای در کار باشد؛ مثلا: «اگر می‌خواهی زنده بمانی آنگاه باید غذا بخوری». اما «باید غذا بخوری» توجیهی ندارد. هیچ ضرورتی وجود ندارد که حتما غذا بخوریم. پس ضرورت غذا خوردن وقتی توجیه می‌شود که هدفی مثل زنده ماندن در کار باشد. همینطور هر جمله‌ی اخلاقی که با «باید» یا «نباید» شروع شود، اگر مستقل از خواسته‌ یا هدفی بیان شود، نادرست است. بنابراین جمله‌ی «دزدی کردن بد است» به معنای «نباید دزدی کرد»، مادامی که قبل از آن هدف مشخصی بیان نشده باشد، نادرست است. جمله‌هایی مانند «راست‌گویی خوب است» به معنای «باید راستگو بود» نیز همینگونه است. پس ما فهمیدیم که جملات اخلاقی به خودی خود نادرست‌اند بلکه اگر می‌خواهند ارزش منطقی داشته باشند، آنگاه باید در قالب اگر-آنگاه بیان شوند. منطقی نیست بگوییم «نباید دزدی کنی»، منطقی این است که مثلا چنین بگوییم: «اگر نمی‌خواهی به مردم آسیب مالی برسانی، آنگاه نباید دزدی کنی». پس اینکه «دزدی کردن بد است» یا «راستگویی خوب است» بستگی به هدف دارد. از آنجایی که ممکن است هدف افراد مختلف متفاوت باشد، پس ممکن است برای کسی دزدی کردن بد باشد و برای دیگری دزدی کردن بد نباشد. همینطور ممکن است برای کسی راستگویی خوب باشد و برای دیگری راستگویی خوب نباشد. در نامه‌ی «هدف زندگی» دانستی که انسان‌ها همه به دنبال رسیدن به لذت و دوری از رنج هستند. البته این جمله اثبات نشد، اما نپذیرفتن آن سخت است. به هر حال، اگر واقعا اینگونه باشد، آنگاه هدف همه انسان‌ها مشترک است. در این صورت، اگر ما به نحوی ثابت کنیم که دزدی کردن در مجموع باعث رنج انسان می‌شود، ثابت کرده‌ایم که «دزدی کردن بد است». اجازه بده جزئیات را برایت بنویسم:فرض کن پذیرفته‌ایم که هدف همه انسان‌ها رسیدن به لذت و دوری از رنج باشد و همین‌طور فرض کن ثابت کرده‌ایم که دزدی کردن مانع دور شدن ما از رنج می‌شود. در این صورت استدلال را اینگونه بیان می‌کنم:مقدمه اول:انسان اگر می‌خواهد از رنج دور شود، نباید کاری کند که مانع دور شدن او از رنج شود.(این جمله معادل با این است که دور شدن از رنج، با انجام دادن کاری که مانع دور شدن از رنج می‌شود، سازگاری ندارد. درستی آن روشن است)مقدمه دوم:انسان می‌خواهد از رنج دور شود. (طبق فرض)مقدمه سوم:دزدی کردن مانع دور شدن انسان از رنج می‌شود. (طبق فرض) نتیجه:انسان نباید دزدی کند.یا به طور معادل:دزدی کردن بد است.پس بیا کمی کلی‌تر صحبت کنیم؛ اگر کسی بخواهد ثابت کند «انجام دادن عملِ A بد است» (A هر عملی که می‌خواهد باشد)، باید چنین استدلالی ارائه دهد:مقدمه اول:انسان اگر می‌خواهد به x برسد، نباید کاری کند که مانع رسیدن او به x شود.(این جمله معادل با این است که نزدیک شدن به x، با انجام دادن کاری که مانع رسیدن ما به x می‌شود سازگاری ندارد. درستی آن روشن است)مقدمه دوم:انسان می‌خواهد به x برسد. (گوینده باید این را ثابت کند)مقدمه سوم:انجام دادن عمل A مانع رسیدن انسان به x می‌شود. (گوینده باید این را ثابت کند) نتیجه:انسان نباید عمل A را انجام دهد.یا به طور معادل:انجام دادن عمل A بد است.همین طور اگر کسی بخواهد ثابت کند «انجام دادن عمل A خوب است» باید استدلالی مشابه ارائه دهد. فکر کنم تا الان برایت روشن شده باشد که ارائه حکمی کلی درباره همه انسان‌ها، چقدر کار سختی است. اما به هر حال، ممکن است. اینکه ثابت کنیم انجام فلان کار بد است یا انجام فلان کار خوب است، امری است سخت و پیچیده‌. من شخصا نمی‌توانم حتی یک جمله‌ی این‌چنینی را ثابت کنم. اما در حالت خاص، چرا. مثلا برای کسی که می‌خواهد در کنکور رتبه‌ای یک رقمی کسب کند، می‌توانم ثابت کنم که «تنبلی بد است» یا برای کسی که می‌خواهد زنده بماند، می‌توانم ثابت کنم که «غذا خوردن خوب است» اما اینکه بخواهم ثابت کنم انجام دادن عملی مثل A، برای هر انسانی بد است، یا انجام دادن عملی مثل B، برای هر انسانی خوب است، نه! من نمی‌توانم. اما برداشت سوم:طبق این برداشت، وقتی کسی می‌گوید: «دزدی کردن بد است» انگار دارد می‌گوید: «دزدی کردن در مجموع باعث می‌شود به تو ضرر برسد» یا «دزدی کردن در مجموع باعث می‌شود به رنج نزدیک شوی». در این صورت، بلافاصله می‌پرسیم: «چرا دزدی کردن در مجموع باعث می‌شود به رنج نزدیک شویم»؟! اتفاقا در نگاه اول، دزدی کردن به ما منفعت می‌رساند. این که دزدی در مجموع برای من سود بخش است یا مضر، بحثی دامنه دار است. اکنون برایت مثالی می‌زنم تا متوجه شوی بحثش آنقدر هم ساده نیست:فرض کن در شرایطی قرار داری که می‌توانی میلیاردها پول را بدزدی؛ پولی که با دزدیدن آن می‌توانی تا آخر عمر در رفاه کامل زندگی کنی. اما می‌دانی که با دزدیدن این پول جمعیتی را نگون‌بخت می‌کنی، و از طرفی مطمئنی که هیچ فردی تو را نخواهد دید و تا آخر عمر، هیچ کس از این دزدی تو مطلع نخواهد شد. در این صورت، آیا آن پول را برمی‌داری؟! اگر برنمی‌داری، سوال من از تو این است که چه چیزی تو را از برداشتن آن پول منع می‌کند؟! شاید بگویی: «خب درست است که من به منفعت زیادی می‌رسم، اما از آن طرف به جمعیت زیادی آسیب رساندم‌ و گویی خوشبختی من از بدبختی دیگران بدست آمده، و من این را اصلا نمی‌پسندم. به فرض اگر آن پول را بردارم، همواره در عذابم چرا که جمعیتی را بدبخت کرده‌ام». بله جوابت قابل قبول است. تو آن پول را برنمی‌داری چرا که «در مجموع تو را به رنج می‌رساند»، و دلیل اینکه تو را به رنج می‌رساند این است که تو اصلا دوست نداری به دیگران آسیبی بزنی. حال کسی را فرض کن که کاملا منطقی است اما فقط به فکر خودش است. به عبارتی برایش مهم نیست که قرار است عده‌ای بدبخت شوند یا نه، همینکه خودش به منفعت برسد برایش کافی است. در آن صورت، اگر آن فرد در آن موقعیتِ دزدی که وصفش را گفتم قرار داشته باشد، تو برای آنکه او را از دزدیدن آن پول منع کنی، به او چه می‌گویی؟! آیا می‌توانی مانعی پیش پایش قرار دهی؟ اگر به او بگویی: «با این کار تو جمعی بدبخت می‌شوند» می‌گوید: «برایم مهم نیست، مهم این است که من به منفعت می‌رسم» اگر به او بگویی: «تو خودت دوست داری که کسی از تو دزدی کند»؟ می‌گوید: «نه من دوست ندارم کسی از من دزدی کند، چون در آن صورت به من آسیب می‌رسد. اما این دلیل نمی‌شود که من از دیگران دزدی نکنم»اگر بگویی: «دزدی کردن تو باعث می‌شود دزدی ترویج شود و روزی کسی از خود تو دزدی خواهد کرد»او خواهد گفت: «اینکه من دزدی کنم یا نه، باعث نمی‌شود دزدان دیگر در انجام دزدی‌هایشان تجدید نظر کنند یا اینکه افرادی که دزد نیستند به دزدی ترغیب شوند»! راستش را بخواهی، در حالت کلی من نیز نمی‌توانم مانعی منطقی برایش بتراشم. اما در حالت خاص چرا. اگر او شخصی دیندار باشد، و به خدا و حساب و کتاب پس از مرگ معتقد باشد، و همینطور دینِ او برای خوردن حق مردم عذابی در نظر گرفته باشد، به او می‌گویم: «درست است که هیچ آدمی تو را نمی‌بیند، و می‌توانی به راحتی آن پول را برداری و تا آخر عمر در رفاه زندگی کنی، اما خدا تو را می‌بیند و به خاطر این کاری که کردی، تو را عذاب خواهد داد» و چون او رنج و لذت شخصی برایش مهم است، این حرف من برای او مانعی منطقی می‌تراشد. اما اگر او شخص دینداری نباشد و معتقد نباشد که دزدی کردن در مجموع باعث رنجیدنش می‌شود، من نمی‌توانم او را منطقا از این کار منع کنم. فرض کن او یک مادی‌گرا باشد؛ یعنی فقط به جهان طبیعت و ماده باور داشته باشد و وجود هیچ چیز غیرمادی و فراطبیعی را قبول نداشته باشد. پس به وجود خدا و زندگی پس از مرگ نیز اعتقادی ندارد و اتفاقا معتقد است که انسان با مرگ به کلی نابود می‌شود و حساب و کتابی در کار نیست. در این صورت، چگونه سرِ راه او مانعی منطقی قرار دهیم که او را از دزدیدن آن پول باز بدارد؟! تنها راهش این است که او را قانع کنیم دزدی کردن در مجموع به او آسیب می‌زند. اما اثبات چنین چیزی آن هم برای یک مادی‌گرا؟! بعید می‌دانم کار راحتی باشد، اگر نگوییم غیرممکن است! این مثالی که زدم یک چالش جدی پیش روی مادی‌گرایان قرار می‌دهد:«چگونه می‌توان با فرض نبودِ خدا و حساب و کتاب پس از مرگ، زندگی اخلاقی را «منطقا» توجیه کرد»؟! به عبارت ساده‌تر، اگر کسی مادی‌گرا باشد، چه دلیل منطقی می‌تواند او را قانع کند که اخلاقی زندگی کند؟! (منظورم از اخلاقی زندگی کردن این است که دروغ نگوید، دزدی نکند، آدم نکشد و ...) راستش را بخواهی، من با فرض مادی‌گرایی نمی‌توانم زندگی اخلاقی را منطقا توجیه کنم. به نظرم تنها راهی که یک مادی‌گرا برای توسعه اخلاق در جامعه دارد، این است که روی احساسات تمرکز کند نه روی منطق؛ یعنی سعی کند افراد جامعه را از کودکی در محیط‌های اخلاقی قرار دهد و هر طور شده به آن‌ها بقبولاند که «دروغ گویی بد است» یا «کمک کردن به دیگران خوب است» یا «دزدی کردن بد است» و ... . افراد جامعه نباید بپرسند چرا «دزدی کردن بد است» یا «چرا نباید دزدی کرد»، چرا که مادی‌گرا‌ها پاسخی منطقی برای این گونه پرسش‌ها ندارند؛ حداقل من اینگونه فکر می‌کنم. اگر تو مادی‌گرا هستی، به من بگو پاسخ تو به این پرسش‌ها چیست و اگر با مادی‌گراها در ارتباطی، از آن‌ها بپرس و لطفا برایم بنویس. من خوشحال می‌شوم پاسخی قانع کننده با فرض مادی‌گرایی بشنوم. اجازه بده در پایان به نکته مهمی درباره اخلاق اشاره کنم؛ برخی می‌گویند بدی و خوبی در ذات انسان از همان ابتدای تولد نهادینه شده، به گونه‌ای که هر انسانی به طور «فطری» می‌داند که دزدی کردن، آدم کشتن یا اعمال مشابه «بد» است و مهربانی و خوش‌رویی و اعمال مشابه «خوب» است. خب، این ادعایی است که اثباتش برعهده گوینده آن است؛ گمان نمی‌کنم اثباتش راحت باشد. شاید چون اکثر آدم‌هایی که تا کنون دیده‌ایم دزدی کردن، آدم کشتن و ... را بد می‌دانستند، این ایده به ذهنمان رسیده که نکند این «بد دانستن» به طور فطری در همه آدم‌ها وجود دارد. اما از کجا معلوم که مناسبت‌ها و نیازهای جامعه از ابتدای پیدایش اولین انسان‌ها تا کنون، ایجاب نکرده باشد که اعمالی چون دزدی، آدم کشی و ... باید بد دانسته شود؟! به عبارتی، شاید اینگونه نباشد که هر انسانی به طور فطری دزدی را بد می‌داند، بلکه شاید اینطور باشد که اولین انسان‌ها دیدند برای جلوگیری از هرج و مرج و ... مجبورند از اعمالی چون دزدی جلوگیری کنند و بهترین راه این بود که این اعمال را در ذهن مردم از کودکی «بد» جلوه دهند و آن‌ها را طوری تربیت کنند که دزدی کردن، آدم کشتن و ... را بد بدانند و ما از نوادگان همان تصمیم‌گیرنده‌ها هستیم! به هر حال، فقط خواستم بگویم که «فطری بودن» اینکه برخی اعمال خوب است و برخی بد، صرفا یک سناریوی احتمالی است و سناریوهای رقیبی نیز وجود دارد که از قضا رقبای ضعیفی هم نیستند!بیا سعی کنیم نکات مهمی را که تا الان گفته‌ایم خلاصه کنیم:در ابتدا گفتیم مفاهیمی چون خوبی و بدی در ذات اعمال نهفته نیست بلکه ذهن ما آن را برای اعمال اعتبار می‌کند.در ادامه برای جمله‌ای «مثل دزدی کردن بد است»، سه برداشت احتمالی ارائه دادیم:۱. من از دزدی کردن بدم می‌آید. (بیان احساسی شخصی توسط گوینده)۲. نباید دزدی کرد.۳. دزدی کردن در مجموع باعث ضرر کردن خودِ دزد می‌شود.دیدیم که در حالت اول جای بحثی نمی‌ماند.اما در حالت دوم، نشان دادیم که روش اثبات چنین جمله‌ای چگونه است و همینطور نشان دادیم که اثبات آن در حالت کلی، کار بسیار سختی است.در حالت سوم هم گفتیم درستی این جمله برای افراد دیندار روشن است، اما اثبات آن برای غیر دینداران مخصوصا مادی‌گرایان، اگر هم ممکن باشد بسیار سخت خواهد بود.البته همانطور که خودت هم توجه کرده‌ای، برداشت دوم و برداشت سوم هم‌پوشانیِ زیادی دارند.درباره جمله‌ای مانند «راستگویی خوب است» نیز می‌توان بحث را به طور مشابه پیش برد.به هر حال، همانطور که می‌بینی، پایه‌های اخلاق اگر بخواهند با دقت فلسفی و منطقی نگریسته شوند، سخت سست بنیاد است!از تو بابت طولانی شدن نامه عذرخواهی می‌کنم؛ منتظر شنیدن نقد و نظراتت خواهم ماند. محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Mon, 20 Sep 2021 00:25:49 +0430 https://virgool.io/MaxRGroup/%DB%8C%DA%A9-%D8%A7%D8%B4%D8%AA%D8%A8%D8%A7%D9%87-%D8%B1%D8%A7%DB%8C%D8%AC-%D9%85%D9%86%D8%B7%D9%82%DB%8C-ozeoj4cvquke من وقتی با مردم هم‌کلام می‌شوم و در مورد موضوعی بحث می‌کنم، فارغ از اینکه آن موضوع چیست و دعوا بر سر چیست، عیب‌های منطقی زیادی در حرف‌هایشان می‌بینم. قصد دارم یکی دو تا از آن اشتباهات رایج را همینجا به تو بگویم، تا تو هرگز آن‌ها را مرتکب نشوی. شاید وقتی آن‌ها را برایت بگویم بگویی: «اینکه واضح بود!». آری! شاید واضح باشد. اما خوب است حداقل یک بار به آن‌ها بادقت توجه کنی، وگرنه همین اشتباهات واضح لابه‌لای بحث‌های مفصل گم می‌شود و نمی‌توانی پیدایشان کنی. اما راستش را بخواهی همیشه هم واضح نیست. اگر همیشه واضح است، پس چرا مردم مدام این اشتباهات را مرتکب می‌شوند؟! اجازه بده تا بحث را شروع کنم.در جمعی بودم، کسی معرکه‌ای به راه انداخت و گفت: «هر کسی می‌تواند، فقط یک دلیل قانع کننده مبنی بر وجود خدا بیاورد!» و کسی در آن جمع نتوانست دلیلی مناسب ارائه دهد. من هم ساکت بودم و ناظر. ناگهان گفت: «دیدید! هیچ دلیلی برای وجود خدا نداریم. خدایی وجود ندارد. این‌ها همه خرافات است!». آنجا بود که من از این اشتباه منطقی برانگیخته شدم و به کلام آمدم؛ به او گفتم: «از کجا می‌دانی هیچ دلیلی که وجود خدا را ثابت کند وجود ندارد؟!» گفت: «آیا تو دلیلی داری؟!» گفتم: «به فرض خیر»گفت: «پس چه می‌گویی؟!» گفتم: «جواب مرا بده؛ تو گفتی دلیلی برای اثبات وجود خدا نیست. از کجا می‌دانی؟!»گفت:«دیدی که! هیچ کس دلیلی نداشت. به علاوه من زیاد گشته‌ام. هیچ دلیل درستی پیدا نکرده‌ام. آن‌هایی را هم که دیده‌ام، زیرسوال برده‌ام.»گفتم:«تو از همه آدم‌هایی که اکنون روی زمین زندگی می‌کنند نپرسیده‌ای. از آدم‌هایی که مرده‌اند هم نپرسیده‌ای. این‌ها به کنار. اصلا فرض کن واقعا هیچ آدمی از پیدایش اولین آدم‌ها تا کنون، دلیلی مبنی بر وجود خدا ندارد. آیا از این نتیجه می‌شود که خدایی وجود ندارد؟!» گفت: «آری! وقتی هیچ دلیلی نباشد که وجود خدا را اثبات کند، پس خدایی وجود ندارد.» گفتم: «اینگونه نیست که هیچ دلیلی وجود ندارد. بلکه ما هرچه گشتیم دلیلی نیافتیم. آیا احتمال نمی‌دهی فردا کسی دلیلی پیدا کند؟!»گفت:«چرا ممکن است!»گفتم:«در آن صورت وجود خدا را قبول می‌کنی؟!»گفت:«در آن صورت بله!»گفتم:«ولی اکنون می‌گویی خدایی وجود ندارد؟!» به فکر فرو رفت. گفتم:«علاوه بر این، فرض کن اینگونه نباشد که ما انسان‌ها دلیلی نیافته‌ایم، بلکه اصلا ثابت کرده‌ایم که هیچ دلیلی برای اثبات خدا وجود ندارد! حتی در این صورت هم منطقی نیست بگویی خدا وجود ندارد! ممکن است خدا وجود داشته باشد اما هیچ دلیلی برای اثباتش وجود نداشته باشد. تنها هنگامی منطقی است بگویی خدا وجود ندارد، که همین حرفت را ثابت کنی؛ یعنی ثابت کنی که خدا نمی‌تواند وجود داشته باشد. نه اینکه دلایلی را که برای وجودش آورده‌اند یکی یکی رد کنی. این کار نهایتا تو را به این نتیجه می‌رساند که دلایلی که تا کنون برای وجود خدا آورده شده، قانع کننده نیست و وجود خدا را اثبات نمی‌کند. نه اینکه با رد کردن آن‌ها نتیجه بگیری خدا وجود ندارد!»آری! داستان اینگونه بود. حال بگذار چکیده‌ی مطلب را به تو بگویم. گرچه می‌دانم تا کنون نکته اصلی را دریافته‌ای. این را بدان که: «عدمِ دلیلِ وجود چیزی، دلیلی بر عدمِ وجودِ آن چیز نیست»؛ مثلا وقتی تو دلیلی برای اثبات وجود خدا نداری، منطقی نیست که به نبودن خدا باور پیدا کنی. زیرا ممکن است دوست تو فردا دلیلی پیدا کند. اصلا ممکن است همین الان دلیلی وجود داشته باشد که تو آن دلیل را ندانی. اصلا به فرض که ثابت کنی هیچ دلیلی وجود ندارد که وجود خدا را ثابت کند. باز هم منطقی نیست نتیجه بگیری که خدا وجود ندارد. این صرفا ثابت می‌کند که اگر خدا وجود داشته باشد، نمی‌توان دلیلی برای وجودش آورد.شاید می‌پرسی: «پس وقتی دلیلی برای وجود خدا نداریم، باید چه کنیم؟!». وقتی دلیلی برای وجود خدا نداری، منطقی نیست وجود خدا را بپذیری. همینطور منطقی نیست نبودن خدا را بپذیری. بلکه منطقی این است که اظهار ندانستن کنی و بگویی: «نمی‌دانم؛ شاید وجود داشته باشد، شاید نه».حال اگر یکی پیدا شود و بگوید خدا وجود دارد، از او می‌پرسی: «چه دلیلی داری؟!». همینطور اگر کسی پیدا شود و بگوید خدا وجود ندارد، از او می‌پرسی: «چه دلیلی داری؟!» و بعد دلایل را می‌شنوی و اگر منطقی بود می‌پذیری. البته اینکه از کجا بفهمیم دلیلی که آورده شده منطقی است یا نه، خود بحث مفصل و دامنه‌داری است که فعلا در این نامه قصد پرداختن به آن را ندارم. به هر حال گمان می‌کنم به خوبی نکته منطقی این نامه را دریافتی. اما اجازه بده نکته‌‌ی منطقی دیگری را که شباهت بسیاری با این نکته دارد برایت توضیح دهم.هر جمله خبری، یا راست است یا دروغ. به عبارتی، یا درست است یا غلط. مثلا وقتی من بگویم «ماست سیاه است» دارم جمله‌ای خبری می‌گویم. بالاخره یا جمله‌‌ام درست است یا غلط. اما درستی و غلطی به چه معناست؟ اگر جمله‌ای که من می‌گویم مطابق با واقعیت باشد، می‌گوییم جمله درست است، و اگر مطابق با واقعیت نباشد، می‌گوییم جمله غلط است. مثلا اگر واقعا ماست سیاه باشد، جمله‌ی «ماست سیاه است» درست است، و اگر واقعا ماست سیاه نباشد، جمله‌ی «ماست سیاه است» غلط است. بگذار از جمله‌ خبری چند مثال دیگر بزنم:زمین کروی شکل است.خدا وجود ندارد.انسان پس از مرگ نابود می‌شود.هیچ انسانی نمی‌تواند بیش از سیصد سال عمر کند.فاصله مشهد تا تهران پانصد کیلومتر است. کره خورشید از کره زمین بزرگتر است. و ...همه این جمله‌ها از یک جنبه مانند هم هستند؛ همه آن‌ها دارند خبری از واقعیت می‌دهند. یا به عبارتی همه آن‌ها جملاتی خبری هستند که هر کدام یا درست‌اند یا غلط. یا واقعا زمین کروی شکل است یا واقعا زمین کروی شکل نیست. یا واقعا خدا وجود دارد یا واقعا خدا وجود ندارد و به همین ترتیب.حالا اگر کسی بیاید و به تو جمله‌ای خبری بگوید، تو چه واکنشی نشان می‌دهی و به او چه می‌گویی؟! مثلا فرض کن دوستت به تو بگوید: «انسان بعد از مرگ نابود می‌شود». تو به او چه خواهی گفت؟! به نظرم منطقی‌ترین چیزی که می‌توانی به او بگویی این است که: «دلیل تو چیست؟!» و بعد دلیلش را بشنوی. اگر منطقی بود، حرفش را بپذیری. اما اگر منطقی نبود چطور؟! به فرض که تو قبل از این حرف دوستت، نمی‌دانستی که انسان بعد از مرگ نابود می‌شود یا نه. دوستت به تو می‌گوید: «انسان بعد از مرگ نابود می‌شود» و تو دلیلش را می‌پرسی و او می‌گوید: «چون یک دانشمند بزرگ این حرف را زده». تو می‌گویی: «یک دانشمند بزرگ ممکن است اشتباه کند پس اینکه دانشمندی بزرگ این حرف را زده دلیلی بر درستی آن نیست». در اینجا تو دلیل دوستت را رد کردی. اما درباره جمله‌ی دوستت چه می‌گویی؟! آیا آن جمله غلط است؟! آیا چون دلیلش غلط بود، حتما حرفش هم غلط است؟! در اینجا، به نظر تو آیا انسان بعد از مرگ نابود می‌شود یا نه؟! آفرین! هنوز نمی‌دانی. شاید انسان بعد از مرگ نابود شود، شاید نه. پس اینکه دلیل دوستت منطقی نبود، دلیل بر این نیست که جمله‌ی او نیز غلط است؛ به عبارتی، «غلط بودن دلیل، غلط بودن مدعا را نتیجه نمی‌دهد». اما اگر دلیلی که آورد منطقی بود، تو می‌فهمی که جمله‌اش درست است و انسان بعد از مرگ نابود می‌شود.حال فرض کن جمله‌ای خبری را می‌شنوی اما به گوینده دسترسی نداری تا از او دلیل بخواهی. در این صورت چه می‌کنی؟! مثلا در کتابی نوشته شده که انسان بعد از مرگ نابود می‌شود، و در آن کتاب هیچ دلیلی برای درستی این جمله آورده نشده، و نویسنده هم سال‌ها پیش مرده است. در این صورت، در برابر آن جمله چه موضعی می‌گیری؟! می‌پذیری؟! یا رد می‌کنی؟! آفرین! هیچ‌کدام منطقی نیست. تا وقتی دلیلی نداشته باشی، منطقی نیست که بپذیری و همینطور منطقی نیست که رد کنی. منطقی این است که بگویی: «نمی‌دانم، یا درست است یا غلط.» آری! این را بدان که غیر از پذیرفتن و رد کردن راه سومی هم وجود دارد: نمی‌دانم!همه‌ی این نامه را در دو جمله خلاصه می‌کنم:۱. عدمِ دلیلِ وجود چیزی، دلیلی بر عدمِ وجودِ آن چیز نیست.۲. غلط بودن دلیل، غلط بودن مدعا را نتیجه نمی‌دهد. محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Sun, 29 Aug 2021 10:10:07 +0430 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/%DA%86%D8%B1%D8%A7-%D8%A8%D8%A7%DB%8C%D8%AF-jz91rc0a6abc چند وقت پیش آهنگی به گوشم خورد که در جایی از آن می‌گفت: «صبح بیدار شم چایی داغ کنم که چی؟!» و من مدت‌ها بود با معنایی که این جمله قصد اشاره کردن به آن را داشت درگیر بودم.به راستی چرا؟ چرا باید از خواب برخاست، چایی دم کرد و صبحانه خورد، به مدرسه و دانشگاه رفت و درس خواند، ازدواج کرد و بچه‌دار شد و خانواده تشکیل داد؟! چرا باید به حقوق حیوانات احترام گذاشت، یا روز جهانی کتاب‌خوانی را گرامی داشت؟! چرا باید راست گفت، مهربان بود، و پس از مرگ بستگان کسی به او تسلیت گفت؟ اگر بخواهم همچنان از این جنس سوال‌ها بپرسم، گمان نمی‌کنم به این زودی‌ها تمام شود. احتمالا منظورم را فهمیده‌ای. اگر دقت کنی، همه‌ی این پرسش‌ها یک موضوع را نشانه گرفته‌اند: «عملِ اختیاری». و در واقع همه آن‌ها در حال پرسیدن این سوال هستند که: «چرا باید عمل کرد؟!»(در این نامه هر جا عمل یا کار را دیدی، منظور عمل یا کار اختیاری است مگر آنکه خلافش در متن گفته شود.پیشفرض من در این نامه این است که انسان در انجام بعضی اعمال اختیار دارد)پس به جای آنکه هر کدام از آن سوال‌ها را که تعدادشان کم نیست بررسی کنم، به همین یک سوال می‌پردازم. البته اگر لازم شد مثال بزنم، یکی از آن نمونه سوال‌ها را به کار می‌گیرم. پس بیا بررسیمان را شروع کنیم:«چرا باید عمل کنیم؟!»من به این سوال بسیار اندیشیده‌ام. شاید چند سالی هست که ذهن من مدام درگیر همین سوال بوده. نمی‌خواهم ناامیدت کنم اما راستش را بخواهی، هیچ دلیل درست و حسابی که راضیمان کند پیدا نکردم. البته چرا! به یک چیز رسیدم! ضرورت. به خودم نگاه کردم، دیدم فقط وقتی «باید» عمل کنم، که ضرورتی وجود داشته باشد. وگرنه بایدی در کار نیست. اصلا هنگامی که بحث از «عمل» می‌شود، گویی مفهوم «باید» و «ضرورت» یکی است. اما خب مسأله همین است؛ همین که هیچ ضرورتی وجود ندارد! حداقل من هیچ ضرورتی پیدا نکردم. شاید بگویی غذا خوردن در هنگام گرسنگی ضرورت دارد. اما اگر عمیق‌تر ببینی واقعا این‌گونه نیست. حداقل واضح نیست که این‌گونه باشد! برای آنکه روشن‌تر سخن گفته باشم، سوالی می‌پرسم؛ سعی کن به آن جواب بدهی: «چرا غذا خوردن در هنگام گرسنگی ضرورت دارد؟!»شاید بگویی: «خب اگر غذا نخورم می‌میرم». خب بمیری، چه اشکالی دارد؟ شاید بگویی: «خب دوست ندارم بمیرم!». آها! به نقطه‌‌ای اساسی رسیدیم. می‌بینی؟! اکثر مباحث فلسفی همین‌گونه‌اند. با چند سوال ساده درباره چیزهای معمولی که جلوی چشممان است آغاز می‌شود، از آن سوال‌های ابتدایی، سوال‌های دقیق‌تری متولد می‌شود و این فرآیند سوال‌ پرسیدن آن‌قدر ادامه می‌یابد و سوال‌ها آنقدر دقیق و جزئی می‌شود تا اینکه به نقطه‌ای می‌رسیم که می‌توانیم جرقه‌هایی از جواب اصلی را در آنجا جست و جو کنیم.ببخشید که حاشیه رفتم. برگردیم به همان نقطه. گفتی دوست ندارم بمیرم. پس رسیدیم به مسأله خواستن یا نخواستن، تمایل یا عدم تمایل، دوست داشتن یا دوست نداشتن. آری با تو موافقم‌. اگر دوست داری زنده بمانی، برای تو ضرورت دارد که غذا بخوری. چون اگر غذا نخوری می‌میری. به عبارتی برای زنده ماندن، غذا خوردن ضرورت دارد. پس ظاهراً یک ملاک برای ضرورت پیدا کردیم: «خواستن». به عبارتی، حدس ما این است: «انجام یک عمل مادامی ضرورت می‌یابد، که چیزی را بخواهیم». اما آیا واقعا همین‌طور است؟ آیا ممکن نیست هیچ‌چیز را نخواهیم ولی انجام کاری ضرورت داشته باشد؟ به نظرم جواب منفی است. کسی را تصور کن که هیچ چیز نمی‌خواهد. آیا می‌توانی کاری را معرفی کنی که برای او ضرورت داشته باشد؟! روی هر کاری که دست بگذاری، انجام آن برای او ضرورت ندارد. چون او اصلا چیزی را نمی‌خواهد. مثلا اگر بگویی غذا خوردن، می‌گویم برایش ضرورت ندارد. درست است که در صورت غذا نخوردن می‌میرد، اما او زنده ماندن را نمی‌خواهد. شاید بگویی اینکه روی صورت خودش آب جوش نریزد برایش ضرورت دارد! می‌گویم نه؛ درست است که اگر روی صورت خودش آب جوش بریزد رنج می‌کشد، اما او رنج نکشیدن را نمی‌خواهد! او هیچ چیز نمی‌خواهد، پس هیچ ضرورتی برای او قابل تصور نیست.شاید تا حدی قانع شده باشی که ضرورت داشتن انجام یک کار، به خواسته‌ی تو برمی‌گردد. سوال دیگری که به ذهن می‌رسد این است که خودِ خواستن چطور؟ آیا خواستن ضرورت ندارد؟ سوال خوبی است. اما به نظر من جواب این سوال نیز منفی است. به راستی خواستن چه ضرورتی دارد؟ چرا باید چیزی را بخواهیم؟ شاید بگویی: «چون چیزی وجود دارد که اگر آن را نخواهیم رنج می‌کشیم؛ مثلا مکانی گرم در فصل سرما». من می‌گویم تو فرار از رنج را پیش‌فرض گرفته‌ای. چرا باید از رنج فرار کرد؟ شاید بگویی: «چون نمی‌خواهیم رنج بکشیم.» اما در این صورت، دوباره به یک خواسته رسیدیم. آیا ضرورت دارد که نخواهیم رنج بکشیم؟ اگر بگویی نه، پس هنوز نشان نداده‌ای که چیزی هست که خواستنش ضرورت داشته باشد. اگر بگویی بله، من می‌پرسم چرا؟! چرا ضرورت دارد که بخواهیم رنج نکشیم؟ به عبارتی، چرا ضرورت دارد که رنج نکشیدن را بخواهیم؟شاید کمی گیج شده باشی. راستش من هم گیج شده‌ام! عیبی ندارد. شیرینی مطالب فلسفی به همین گیج‌شدن‌ها است. برای آنکه روحیه‌ات عوض شود، بگذار بگویم که نوشتن این نامه هم اصلا ضرورت ندارد. اگر ننویسم چه می‌شود؟! هیچی. فوقش چند مطلب فلسفی را از دست می‌دهی. خب بدهی! مگر چه می‌شود؟! اصلا خواندن فلسفه چه ضرورتی دارد؟! یا اینکه چه ضرورتی دارد که تو این نامه را بخوانی و به کلمه‌ی بعدی که می‌نویسم دقت کنی؟ نظر مرا بپرسی، هیچ ضرورتی ندارد. البته اگر بخواهی فلسفه بیاموزی، گرچه ضرورت ندارد این نامه را بخوانی، اما برای رسیدن به خواسته‌ات تا حدی کافی است. می‌گویم ضرورت ندارد، چون می‌توانی این نامه را نخوانی و به جایش با مطالعه آثار فلسفی دیگر فلسفه بیاموزی. وقتی می‌گوییم انجام این کار برای آن هدف ضرورت دارد، یعنی برای رسیدن به آن هدف، «باید» این کار را انجام دهی؛ به عبارتی، انجام این کار برای رسیدن به آن هدف «لازم» است. ضرورت یعنی این.برگردیم به رشته‌ی اصلی صحبتمان. به اینجا رسیدیم که تا وقتی خواسته‌ای نباشد، انجام هیچ کاری ضروری نیست. اما آیا خود خواستن ضرورت دارد؟ نه. خواستن هم ضرورت ندارد. زیرا می‌توانیم هیچ چیزی را نخواهیم! (البته خواستن‌هایی که در حوزه اختیار ما باشند) اگر خواستن ضرورت داشت، نمی‌توانستیم هیچ چیز نخواهیم! چون ضرورت یعنی همین. وقتی چیزی ضروری است، که اگر نباشد نشود. یا به عبارتی، نشود که نباشد! یا به عبارت دیگر، باید باشد. وقتی کاری ضروری است، که اگر انجام نشود، نشود! یا به عبارتی، باید انجام شود. حالا، مثلا اگر تو بگویی خواستنِ یک لباس خوش‌دوز و زیبا ضروری است، من می‌گویم نیست؛ زیرا می‌توان آن لباس را نخواست. شاید بگویی برخی چیزها به خواستن ما ربطی ندارد، ما چه بخواهیم چه نخواهیم آن را می‌خواهیم! به تصمیم و اراده ما وابسته نیست. آری موافقم‌. مثلا لیوانی آب را فرض کن. اگر به شدت تشنه باشیم و لیوان آب را ببینیم، گویی بدنمان جوری ساخته شده که می‌خواهیم آن را سر بکشیم. دیگر خواستن و نخواستن دست خودمان نیست. البته می‌توانیم در برابر خواسته‌ی خود مقاومت کنیم و جلوی خودمان را بگیریم و آن آب را ننوشیم، اما این غیر از نخواستن است. می‌خواهیم، اما جلوی خودمان را گرفته‌ایم. به هر حال، این نوع خواستن در صورت وجود، آن خواستن مورد سوال ما نیست. این خواستن جبری است! یعنی ما نقشی در این خواستن نداریم. این خواستن، ربطی به اراده ما و تصمیم ما ندارد. خواستنی اختیاری نیست. بلکه به ساختمان بدن ما و نحوه به وجود آمدن ما مربوط است که خود نقشی در آن نداشته‌ایم. ما در مورد خواستن‌هایی حرف می‌زنیم که محصول اراده و تصمیم ما باشند. اصلا وقتی در مورد ضرورت داشتنِ خواستن حرف می‌زنیم، به طور پیش‌فرض، آن خواستن را محصول اراده دانسته‌ایم. اگر مفهوم اراده در کار نبود، بحثش را نمی‌کردیم. زیرا ما داریم در مورد کارهایی صحبت می‌کنیم و همین‌طور منطقی است که در مورد کارهایی صحبت کنیم که خودمان در انجامشان نقشی داریم. اما خواستنی که محصول اراده باشد، هیچ ضرورتی ندارد! چون محصول اراده بودن کاری، یعنی بتوانیم آن را انجام دهیم، بتوانیم انجام ندهیم. و این یعنی ضرورت نداشتن! پس خواستن‌هایی که به اراده ما برمی‌گردد، ضرورتی ندارد.شاید بگویی در این صورت، هیچ کار اختیاری ضرورت ندارد. چون هر کار اختیاری به اراده و تصمیم ما برمی‌گردد. بله حرف من دقیقا همین است! هر کاری که اختیاری باشد ضروری نیست. اختیاری بودن یعنی چه؟ یعنی بتوانی انجام دهی، بتوانی انجام ندهی. و این خودِ ضرورت نداشتن است! چون اگر ضرورت داشت، دیگر نمی‌توانیم بین انجام دادن و انجام ندادن آن یکی را انتخاب کنیم. اگر انجام آن ضرورت داشت، مجبور بودیم آن را انجام دهیم. اما ما قبلا به این نتیجه رسیدیم که اگر بخواهیم زنده بمانیم، غذا خوردن ضروری است. این یعنی غذا خوردن اختیاری نیست؟ نه! آن نتیجه به این معنا نیست که «غذا خوردن اختیاری نیست»، بلکه به این معناست که «اگر می‌خواهی زنده بمانی، غذاخوردن اختیاری نیست!». به عبارتی، اگر بخواهی زنده بمانی، دیگر نمی‌توانی بین غذا خوردن و غذا نخوردن یکی را انتخاب کنی. اگر بخواهی زنده بمانی «مجبوری» غذا بخوری. اگر دوست نداری مجبور به غذا خوردن نباشی، باید در مورد میلت به زنده ماندن تجدید نظر کنی!پس ملاک خوبی به دستمان رسید. اگر کاری اختیاری بود، انجام آن کار هیچ ضرورتی ندارد. تازه علاوه بر آن، اگر انجام کاری ضرورت نداشت، حتما اختیاری است. چون اگر اختیاری نبود، یعنی مجبور به انجام دادنش بودیم و نمی‌شد انجامش ندهیم، پس ضروری بود. خلاصه اینکه: «انجام دادن یک کار ضرورتی ندارد، اگر و فقط اگر اختیاری باشد»البته با توجه به این نتیجه، چیزهایی هستند که خواستن آن‌ها ضرورت دارد. آن چیزهایی که ما نقشی در خواستنشان نداریم بلکه خواستنشان از ساختمان وجودی ما ناشی می‌شود، اختیاری نیست، پس ضرورت دارد.اما خواستن چه چیزهایی اینگونه است؟! فکر نمی‌کنم جواب دادن به این سوال ساده باشد. شاید بگویی خواستنِ لذت بردن، یا خواستن رنج نکشیدن، یا خواستن لیوانی آب هنگامی که شدیداً تشنه‌ای، یا خواستن خواب وقتی حسابی خسته‌ای و خوابت می‌آید. اما اثبات اینکه این خواستن‌ها در ساختمان وجودی همه آدم‌ها وجود دارد، کار ساده‌ای نیست. یعنی ممکن نیست کسی پیدا شود که آرامش و لذت را نخواهد؟ یا رنج نکشیدن را؟ یا حتی هنگامی که شدیداً تشنه است، آب گوارا را نخواهد؟ یا خواب را، وقتی حسابی خوابش می‌آید؟ ممکن است. گرچه عجیب است. من در طول زندگی‌ام کسی را ندیده‌ام که لذت را نخواهد. یا ندیده‌ام کسی را که هنگامی که سخت گرسنه است، غذا نخواهد. هرگز کسی را ندیده‌ام که نخواهد عذاب نکشد و شکنجه نشود. فکر نمی‌کنم تو هم چنین آدم‌هایی را دیده باشی. اما به هر حال، از نظر منطقی، ممکن است چنین آدمی پیدا شود. اما می‌توانیم با تقریب خوبی بگوییم هیچ کدام از آدم‌های روی زمین، نمی‌خواهند سُرب داغِ جانسوز و عذاب‌آوری بر پوستشان کشیده شود. در هر صورت چون از نظر منطقی وجود چنین آدمی ممکن است، من هم منطق حرفم را به هم نمی‌ریزم. در جواب این سوال که آیا چیزی وجود دارد که خواستن آن به اراده ما ربطی نداشته باشد و مجبور باشیم آن را بخواهیم، می‌گویم نمی‌دانم. شاید وجود داشته باشد، شاید نه. خلاصه، تا اینجا دو چیز را خوب فهمیدیم، اول اینکه:«هر چیزی که اختیاری باشد ضرورت ندارد و برعکس»دوم اینکه: «مادامی که خواسته‌ای نباشد، انجام هر کاری اختیاری است»اکنون بیا تا با استفاده از این دو نکته، چند مثال بزنیم. اینکه ناهار قرمه سبزی بخورم ضرورت دارد؟ نه؛ زیرا اختیاری است؛ می‌توانم ناهار قرمه سبزی نخورم. اینکه خواهرم را به قتل نرسانم ضرورت دارد؟ نه؛ زیرا اختیاری است؛ می‌توانم خواهرم را به قتل برسانم.به طور کلی، انجام هیچ کار اختیاری ضروری نیست. آیا می‌توانی چند کار اجباری مثال بزنی؟ مثلا کسی می‌خواهد زنده بماند. در این صورت غذا خوردن برای او اجباری است؛ به عبارتی، نمی‌تواند زنده بماند اما غذا نخورد. یا اینکه: «اگر بخواهد زنده بماند، ضروری است که غذا بخورد.» پس بعضی کارها، اختیاری نیست؛ چرا که با خواسته‌ای همراه شده است.ممکن است کسی بگوید هضم کردن غذا اختیاری نیست، پس ضروری است. این حرف صحیح نیست. هضم کردن غذا وقتی اختیاری نیست، که زنده باشیم. آیا می‌توانیم زنده نباشیم؟! بله. می‌توانیم خودکشی کنیم. به عبارتی، آیا می‌توانیم غذا را هضم نکنیم؟ بله می‌توانیم. می‌توانیم غذا را هضم کنیم(به زنده بودن ادامه دهیم)، می‌توانیم هضم نکنیم(خود را بکشیم). پس هضم کردن غذا اختیاری است، بنابراین ضرورت ندارد. حالا شاید اینطور ایراد بگیری که: «ممکن است غذا بخوریم و بعد بیایند و دست و پایمان را محکم ببندند. در این صورت هضم کردن غذا اختیاری نیست. چون نمی‌توانیم خود را بکشیم.» آری. در اینجا چون مجبور به هضم غذا هستیم، هضم غذا اختیاری نیست؛ فلذا ضروری است.خلاصه آنچه که مهم است، کارهای اختیاری است، و انجام دادن کارهای اختیاری، ضرورتی ندارد. مگر آنکه قبلش چیز خاصی را بخواهی که ملزوماتی داشته باشد. اما اینکه چه چیزی را بخواهی، اگر آن خواستن اختیاری باشد، پس ضرورتی ندارد. در غیر این صورت، آن خواستن غیراختیاری بوده، و ما به امور غیراختیاری کاری نداریم. اگر توانستی، برای خواستن‌های غیراختیاری مثالی بزن و البته دلیل بیاور. من که نتوانستم.در پایان این نتیجه مهم را ذکر کنم که در حوزه اعمال اختیاری، جملاتی مانند: «باید(نباید) عملِ الف را انجام دهی» یا «ضروری است که عملِ الف را انجام دهی(ندهی)» به خودی خود، بی‌معنا هستند مگر آنکه در قالب «اگر-آنگاه» بیان شوند؛ یعنی قالب زیر: «اگر می‌خواهی به الف برسی، آنگاه باید عملِ ب را انجام دهی»در این صورت تازه قابل بررسی می‌شوند.در مورد این نامه، هرگونه نظری داشتی به من بگو، یا اگر ایرادی به ذهنت رسید مطرح کن تا با هم بررسی کنیم.البته من دوباره آن آهنگ را گوش دادم: «صبح بیدار شَم چایی داغ کنم که چی؟!». اما این بار به راحتی با این سوال خواننده کنار آمدم و به او گفتم: «بستگی به خواسته‌ات دارد!» محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Sun, 22 Aug 2021 20:03:52 +0430 https://virgool.io/@mohhamadtahmasbi826/%D9%87%D8%AF%D9%81-%D8%B2%D9%86%D8%AF%DA%AF%DB%8C-l59mwdbvk1f5 این بار می‌خواهم درباره مهم‌ترین چیز زندگی با تو حرف بزنم. البته به نظر من مهم‌ترین چیز است. اما برای مهم‌ترین بودن آن دلیل دارم، گرچه به گمانم هر کسی آن را مهم‌ترین چیز بداند. آن مهم‌ترین چیز، هدف است؛ هدف از زندگی. باور کنی یا نه، سال‌ها مشغول جواب دادن به همین سوال بودم: «هدف از زندگی چیست؟!» از دوران نوجوانی تا اوایل دهه سوم زندگی‌ام تلاش می‌کردم جواب این سوال را پیدا کنم و در هر صحبت جدی با هر کسی، حتما این سوال را از او می‌پرسیدم تا نظرش را بدانم. بالاخره ممکن بود یکی از آن‌ها هدف از زندگی را پیدا کرده باشد. اما متاسفانه در هیچ پرسش و پاسخی به جواب سوالم نرسیدم. تا اینکه بالاخره خودم جواب را پیدا کردم! جواب ساده‌ای بود، اما به راستی برای من قانع‌کننده بود. ساده بود اما رسیدن به آن برای من مسیری طولانی داشت. ساده بود اما هیچ کسی تا قبل از آن به من نگفته بود هدف از زندگی این است. حال اجازه بده از تو بپرسم؛ به نظر تو، هدف از زندگی چیست؟! اگر دقیق باشی، احتمالا خواهی گفت این سوال مبهم است. منظور از هدف چیست؟! به چه چیزی هدف می‌گویند؟! آری حق با توست! بهتر است قبل از تلاش برای جواب دادن، ابتدا سوال را موشکافی کنیم و آن را خوب بفهمیم. بیا قبل از همه چیز، در مورد هدف صحبت کنیم. هدف چیست؟! به چه چیزی هدف می‌گویند؟! هدف باید چه ویژگی‌هایی داشته باشد؟! احتمالا تا به حال از اطرافیانت جملاتی مانند این جمله شنیده‌ای که «هدف من این است که یک فوتبالیست حرفه‌ای شوم» یا «هدف من این است که در یک دانشگاه معتبر ادامه تحصیل دهم». در جمله‌ی «هدف من این است که یک فوتبالیست حرفه‌ای شوم»، منظور از هدف چیست؟! اگر بخواهیم از کلمه هدف استفاده نکنیم و دقیقا منظورِ همین جمله را برسانیم، از چه جمله‌ای استفاده کنیم؟! به نظرم این جمله خوب باشد: «می‌خواهم یک فوتبالیست حرفه‌ای شوم». آری، هدف یعنی همان خواسته! یعنی چیزی را که می‌خواهی بدست آوری. چیزی که می‌خواهی به آن برسی. وقتی کسی می‌پرسد: «هدفت از انجام این کار چه بود؟!» منظورش این است که: «از انجام این کار می‌خواستی به چه چیزی برسی؟!» یا وقتی می‌گویی: «هدفم این بود که حال دوستم را خوب کنم» انگار گفته‌ای: «می‌خواستم حال دوستم را خوب کنم». تو می‌توانی هر جمله‌ای را که در آن «هدف» به کار رفته، با جمله‌ای که در آن «خواسته» به کار رفته جایگزین کنی و برعکس. شاید کسی پیدا شود و بگوید که هدف با خواسته متفاوت است. اما من که تفاوتی نمی‌بینم. اگر کسی مدعی بود که چنین است، بیاید و دلیلش را مطرح کند. به نظر من، با توجه به شواهدی که دیده‌ام و به تو نشان دادم، هدف همان خواسته است و تا خواسته‌ای نباشد، از واژه هدف استفاده نمی‌کنیم. من نمی‌گویم که این کامل‌ترین تحلیل از واژه هدف است، اما می‌دانم که کامل‌ترین تحلیلی است که دیده‌ام و تاکنون نقصی در آن نیافته‌ام. این یک بحث زبانی بود که با هم انجام دادیم، برای آنکه بتوانیم منظور از واژه هدف را بهتر درک کنیم. بحث‌های زبانی را هیچ وقت دست کم نگیر. فعلا زبان اصلی‌ترین راه ارتباط بین ما آدم‌هاست و ما منظورمان را معمولا با زبان به دیگران می‌فهمانیم. مشکلات و درگیری‌های بین مردم اغلب به خاطر نفهمیدن زبان یکدیگر است. آری دست کم گرفتن زبان، هم به مشکلات منطقی و هم به مشکلات عاطفی می‌انجامد. پس برای حل این مشکلات، بهتر است کلمات را به درستی به کار ببریم و منظور دیگران را از کلماتشان به درستی بفهمیم و اگر جایی ابهام داشتیم، حتما سوال بپرسیم که منظور تو چیست. به هر حال، تا الان به این نتیجه رسیدیم که وقتی می‌پرسیم: «هدف از زندگی چیست؟» انگار داریم می‌پرسیم: «خواسته‌ از زندگی چیست؟» یا «از زندگی چه باید خواست؟» پس بیایید به این سوال جواب دهیم که «از زندگی چه باید خواست؟». در یکی از نامه‌های گذشته، در مورد ضرورت صحبت کردیم. اینکه باید چیز خاصی را از زندگی بخواهیم، اشاره به ضرورتِ خواستنِ چیزی از زندگی دارد. اما به راستی بایدی در کار نیست. ممکن است کسی بگوید من چیزی از زندگی نمی‌خواهم و بلافاصله خودکشی کند. ما هم نمی‌توانیم از نظر منطقی به او ایرادی وارد کنیم. حداقل من نمی‌توانم. از آنجایی که بایدی در کار نیست، و هر کسی می‌تواند هر تصمیمی بگیرد، پس این سوال که «از زندگی چه باید خواست؟» سوال مناسبی نیست. همین طور این سوال که «هدف از زندگی چیست؟» از آنجا که معادل همان سوال است، سوال مناسبی نیست. پس سوال مناسب کدام است؟ به نظر من، سوال مناسب این است که «هدف تو از زندگی چیست؟» یا «خواسته تو از زندگی چیست؟» یا «تو از زندگی چه می‌خواهی؟». اکنون به سوال مناسبی رسیدیم. ممکن است جواب افراد مختلف متفاوت باشد. ممکن است کسی بگوید چیزی نمی‌خواهم. ممکن است کسی بگوید می‌خواهم پولدار شوم. ممکن است کسی بگوید می‌خواهم بازیگر شوم و به همین ترتیب. اکنون تو به من بگو! هدف تو از زندگی چیست؟! شاید بگویی: «می‌خواهم مهندس کامپیوتر شوم». من می‌پرسم: «چرا می‌خواهی مهندس کامپیوتر شوی؟!». شاید بگویی: «چون باعث می‌شود که شخصیت اجتماعی مناسبی در جامعه داشته باشم و به علاوه شغل پولساز و آینده‌داری است». من می‌پرسم: «چرا می‌خواهی شخصیت اجتماعی مناسبی در جامعه داشته باشی؟!» یا «چرا میخواهی پول داشته باشی؟!». شاید در مورد پول بگویی: «می‌خواهم پول داشته باشم تا برای خودم لباس بخرم، خانه بخرم، ماشین بخرم و ...». می‌پرسم:«چرا می‌خواهی برای خودت لباس بخری، خانه بخری یا ...؟!» و این رشته سوالات به همین ترتیب ادامه می‌یابد. هر جوابی که تو بدهی، من یک چرا می‌آورم. به نظر تو، آیا این رشته در جایی متوقف می‌شود؟! آیا به جایی می‌رسیم که دیگر چرایی نداشته باشد؟! به راستی آن هدف یا خواسته نهایی تو چیست؟! آخر ِ آخرش می‌خواهی به چه چیزی برسی؟! من جواب را می‌دانم و می‌خواهم در ادامه به تو بگویم. ولی قبل از آن، سعی کن خوب فکر کنی و خودت جوابی به این سوال بدهی. به نظر من، همه‌ی آدم‌ها، آخرِ آخرش لذت را می‌خواهند! تو می‌خواهی پول بدست بیاوری که لباس بخری که از پوشیدن آن لذت ببری! تو می‌خواهی شخصیت اجتماعی مناسبی داشته باشی تا از حضور در جامعه لذت ببری! تو می‌خواهی ازدواج کنی که لذت ببری! تو دوست پیدا می‌کنی که لذت ببری! آری تو هر کاری که تصمیم به انجام آن می‌گیری، برای این است که به لذتی برسی! شاید بگویی: «نه! بعضی کارها هست که هیچ لذتی ندارد اما آدم آن را انجام می‌دهد؛ مثلا اینکه هفته‌ای دو سه بار بیاید خانه‌ی مادر پیر و ناتوانش و ساعت‌ها به او کمک کند و او را جمع و جور کند». به نظر من حتی این هم برای رسیدن به لذت است. او با انجام این کار، چون به مادرش کمک کرده از خودش راضی می‌شود و این احساس رضایت برای او لذت‌بخش‌‌ است. درست است که کار خیلی سختی انجام داده و به رنج افتاده اما برای او آن لذت به این رنج می‌چربد و در مجموع لذت برده. همین‌طور است پول دادن به یک فقیر، سیر کردن شکم یک گرسنه و ... . حتی اشخاص مذهبی هم لذت را می‌خواهند؛ یکی عبادت می‌کند که به بهشت برود و لذت ببرد. یکی عبادت می‌کند که خدای خودش را خشنود کند و وقتی خدایش از او خشنود باشد لذت می‌برد و ... . البته لذت برادر نچسبی دارد به نام رنج! می‌توان گفت دوری از رنج هم خواسته همه ما انسان‌هاست. چرا داروی تلخی را می‌خوریم؟! چون از رنج بیماری فرار کنیم. چرا رنج نخوردن نوشابه را به جان می‌خریم؟! چون از پیامدهای زیانباری که برای جسم دارد و موجب رنج ما خواهد شد فرار کنیم و ... . لازم به ذکر است که برخی لذت بردن و دوری از رنج را معادل می‌دانند؛ مثلا می‌گویند: «دوری از رنج بیماری مساوی است با لذت سلامتی». اما به هر حال، معادل باشند یا نه، هدف ما یا خواسته ما از زندگی، رسیدن به لذت و دوری از رنج است و بس! به عبارتی، انسان هر کار اختیاری که انجام می‌دهد از دو حال خارج نیست:۱. یا «فکر می‌کند» با انجام دادن آن بلافاصله یا پس از مدتی لذتی نصیبش می‌شود.۲. یا «فکر می‌کند» با انجام دادن آن بلافاصله یا پس از مدتی از رنجی فاصله می‌گیرد.این ادعای من است. تا به حال هر کسی را که دیده‌ام، در هر فعل اختیاری که اندیشیده‌ام، غیر از این دو حالت حالتی نیافتم. البته این دلیل نمی‌شود چون من حالت سومی نیافتم، پس حتما حالت سومی وجود ندارد! من باید ثابت کنم که حالت سومی وجود ندارد؛ اما فعلا نمی‌توانم ثابت کنم! البته لازم هم نیست ثابت کنم! به فرض انسانی وجود داشته باشد که انجام یکی از افعال اختیاری‌اش نه به خاطر رسیدن به لذت باشد نه به خاطر دوری از رنج(گرچه تصور چنین حالتی برای من سخت است؛ ذهنم نمی‌تواند این حالت را تصور کند). خب چه اهمیتی دارد؟! من دارم با تو سخن می‌گویم! با خواننده این نامه. تو در افعال ارادی خودت و تصمیم‌هایی که گرفتی جستجو کن. ببین آیا فعلی را انجام داده‌ای یا تصمیم به انجام فعلی گرفته‌ای که نه به خاطر رسیدن به لذت باشد نه به خاطر دوری از رنج؟! اگر جوابت مثبت باشد پس ادعای من حداقل برای تو برقرار است. اگر جوابت منفی باشد ادعای من نقض می‌شود؛ اما در آن صورت بسیار کنجکاوم از تو بشنوم که آن کاری که نه برای رسیدن به لذت و نه برای دوری از رنج انجام داده‌ای چه کاری بوده است. به هر حال من فکر می‌کنم جواب تو به سوال اخیر مثبت باشد. بیا یک جور دیگر به موضوع نگاه کنیم. فرض کن به تو می‌گویند: «تو را به جایی خواهیم برد که سراسر لذت است و همیشه در حال لذت بردنی، و هیچ رنجی حتی به تو نزدیک هم نخواهد شد». آیا قبول نمی‌کنی که به آنجا بروی و در آنجا بمانی؟! اگر نه، چه چیزی مانع رفتن تو می‌شود؟! دست روی هر چیزی بگذاری یا به خاطر رسیدن به لذت است یا به خاطر دوری از رنج. خب این‌ها همه در آنجا هست! پس تو به آنجا خواهی رفت و تا ابد در آنجا خواهی ماند!پذیرش اینکه همه آدم‌ها در نهایت رسیدن به لذت و دوری از رنج را می‌خواهند خیلی سخت نیست. به نظرم کسی در این باره دعوایی ندارد. دعوای اصلی وقتی شروع می‌شود که بپرسیم: «راه رسیدن به لذت و دوری از رنج چیست؟!». اینجاست که مکاتب و اندیشه‌ها و مذاهب گوناگون سربرمی‌آورند و هر یک جوابی می‌دهد که جواب دیگری را نقض می‌کند. آری اینجا جایی است که تا چشم کار می‌کند بحث است و جدل است و دعوا. یکی می‌گوید: «از آنجا که زندگی واقعی و اصیل انسان در واقع پس از مرگش شروع می‌شود، و راه رسیدن به لذت در آن زندگی ریاضت کشیدن در این دنیاست، پس اگر می‌خواهی در نهایت به لذت برسی و از رنج‌ها دور شوی، در این هفتاد سال زندگی رنج‌هایی را به جان بخر و از لذت‌هایی چشم بپوش». دیگری می‌گوید: «زندگیِ پس از مرگی در کار نیست و هرچه که هست در همین هفتاد سال است. راه رسیدن به لذت و دوری از رنج هم در این هفتاد سال این است که با چهار مفهوم تنهایی، پوچی، مرگ و آزادی به خوبی آشنا شوی و آن‌ها را با تمام وجود بپذیری». دیگری چیز دیگری می‌گوید و خلاصه هر جا نظر کنی لبی را می‌بینی که تکان می‌خورد و در این باره نظر متفاوتی می‌دهد. من هم فعلا قصد ندارم به این بپردازم که راه رسیدن به لذت و دوری از رنج کدام است، گرچه گمان می‌کنم راه من با راه تو یکسان نباشد. فقط این را بگویم که یکی از راه‌های فهمیدن اینکه راه رسیدن به لذت و دوری از رنج کدام است، شناخت واقعیت است؛ اجازه بده مثالی بزنم.فرض کن لیوان آبی پیش روی تو است و واقعیت این است که آب درون لیوان داغ است. اگر تو از واقعیتی که در اینجا هست شناخت داشته باشی و بدانی که آب درون لیوان داغ است، از نوشیدن آن خودداری می‌کنی چون می‌دانی که نوشیدن آب داغ لب و زبان تو را می‌سوزاند و باعث رنج تو می‌شود. پس تصمیمی می‌گیری که تو را به هدفت نزدیک می‌کند؛ یعنی تو را از رنجی دور می‌کند. حال اگر به هر دلیلی ندانی که آب درون لیوان داغ است و اتفاقا بپنداری که خنک و گوارا است، ممکن است آن را بنوشی و رنجی را متحمل شوی. پس در اینجا تصمیمی گرفته‌ای که دقیقا برخلاف خواسته تو است؛ تو می‌خواستی از رنج دور شوی اما خودت با اراده خودت کاری کردی که به رنج بیفتی. تو «فکر می‌کردی» که با نوشیدن آن آب لذت می‌بری، اما «در واقع» با نوشیدن آن رنج کشیدی. همه‌اش به خاطر این بود که از واقعیت شناخت کافی نداشتی. داستان زندگی هم همین است. اگر واقعیت‌های زندگی را بشناسی، تصمیم‌هایی می‌گیری که «فکر می‌کنی» تو را به لذت نزدیک و از رنج دور می‌کنند و «واقعا» تو را به لذت نزدیک و از رنج دور می‌کنند؛ یعنی «فکر» تو مطابق «واقع» است. اما اگر واقعیت را نشناسی، ممکن است تصمیم‌هایی بگیری که «فکر می‌کنی» تو را به لذت نزدیک و از رنج دور می‌کنند، اما «واقعا» تو را از لذت دور یا به رنج نزدیک می‌کنند؛ یعنی «فکر» تو مطابق «واقع» نیست. اینجاست که «علم» و «روش‌های علمی» مهم می‌شود. اینجاست که «فلسفه» به کمکمان می‌شتابد. اینجاست که «منطق» لازم می‌شود تا ما را از اشتباه در نتیجه‌گیری محفوظ بدارد. اینجاست که نیاز داریم تمام تلاش خود را به کار بگیریم تا واقعیت‌های هستی را به خوبی بشناسیم.حال که این بحث‌ها را انجام دادیم و با دقت و موشکافی خواسته‌هایمان و هدف نهایی از زندگیمان را فهمیدیم و به عبارتی دانستیم که در نهایت می‌خواهیم به چه چیزی برسیم، ممکن است هنوز درباره این نظریه که آن را نظریه لذت و رنج می‌نامم ابهاماتی داشته باشی؛ اینکه اصلا لذت چیست؟! به چه چیزی لذت می‌گویند؟! و رنج چیست؟! به چه چیزی رنج می‌گویند؟! لذت و رنج از کجا ناشی می‌شود؟! و ... آری هر کسی که این بحث را می‌شنود، منطقی است که چنین سوال‌هایی را بپرسد.به راستی لذت چیست؟! چرا لذت می‌بریم؟ از چه چیزی لذت می‌بریم؟ چرا من از چیزی لذت می‌برم و دوستم از چیزی دیگر؟ چرا گاهی چیزی که موجب لذت بردن من می‌شود دیگری را آزار می‌دهد و برعکس؟ به سوال‌هایی که قالب «الف چیست» را داشته باشند، سوال‌های ماهُوی می‌گوییم؛ زیرا دارند از ماهیت(چیستی) الف سوال می‌پرسند. مثلا: انسان چیست، خدا چیست، ماده چیست، انرژی چیست، اتم چیست و ... همه سوالاتی ماهوی هستند. سوال‌های ماهوی از سخت‌ترین سوال‌های علمی-منطقی-فلسفی به شمار می‌روند. واقعا جواب دادن به آن‌ها کار سختی است، زیرا نیاز به شناخت و آگاهی زیاد دارد، که معمولا ما انسان‌ها نداریم، اگر هم داشته باشیم، داشته‌مان بسیار اندک است. سوال «لذت چیست؟» هم یک سوال ماهوی است که جواب دادن به آن کار بسیار سختی است. به عبارتی، سخت است که بخواهیم تعریف دقیق لذت را بیان کنیم. باید اعتراف کنم که من از ارائه‌ی تعریفی دقیق برای لذت عاجزم. اما تو بیندیش، شاید توانستی. من هم خواهم اندیشید. البته اینکه نمی‌توانیم لذت را دقیقا تعریف کنیم، به این معنا نیست که نمی‌دانیم لذت چیست! یا به این معنا نیست که نمی‌توانیم لذت را از بقیه چیزها تمیز دهیم. بسیاری چیزها هستند که توانایی تعریف دقیق آن‌ها را نداریم، اما درک درستی از آن‌ها داریم و می‌دانیم چه هستند. همین طور می‌توانیم آن‌ها را به خوبی از سایر چیزها تفکیک کنیم؛ مثلا مفهوم انسان. شاید اگر به تو بگویند که تعریف دقیقی از انسان ارائه بده، نتوانی. اما اگر دو تا چیز به تو نشان دهند و بگویند کدام یک انسان است و کدام یک انسان نیست، بتوانی به راحتی انسان را از غیرانسان تفکیک کنی. من فکر می‌کنم که لذت هم همینگونه است. گرچه تعریف دقیقی برای لذت در دست نداریم، اما گمان می‌کنم درک درستی از آن داشته باشیم. مثلا اگر همزمان که شدیداً تشنه هستی مشغول نوشیدن آب پرتقال باشی و از تو بپرسند آیا اکنون لذت می‌بری یا نه، با قطعیت سر تکان می‌دهی و می‌گویی: «آری! دارم لذت می‌برم!». یا وقتی هوا بسیار سرد است و تلاش می‌کنی خودت را در پیاده‌رو‌های خیس و لغزنده به خانه برسانی و لباس گرمی هم به تن نداری و در نتیجه داری از سرما می‌لرزی و خون بدنت در حال انجماد است، اگر از تو بپرسند داری لذت می‌بری یا نه، با قطعیت خواهی گفت: «نه! معلوم است که لذت نمی‌برم!» پس ظاهراً ما به خوبی می‌دانیم لذت چیست و توانایی تشخیص آن را داریم، هر چند نتوانیم آن را به طور دقیق تعریف کنیم. رنج هم همینگونه است. اما درباره سوال «چرا لذت می‌بریم؟» باید بگویم که جواب دادن به این سوال هم کار آسانی نیست. سوال‌هایی که با چرا آغاز می‌شوند معمولا از علت سوال می‌کنند و علت‌یابی یکی از سخت‌مسیر‌ترین جاده‌های دنیای علم و فلسفه است. چرا که برای دانستن علت چیزی، شناخت و آگاهی بسیار لازم است اما همان‌طور که گفتم، ما انسان‌ها آن را نداریم، اگر هم داشته باشیم، داشته‌مان بسیار اندک است. پس اینجا هم اعتراف می‌کنم که نمی‌دانم جواب سوال «چرا لذت می‌بریم؟» چیست. مثلا چرا هنگام تشنگی با نوشیدن یک نوشیدنی خنک و خوشمزه لذت می‌بریم یا هنگامی که از سرما می‌لرزیم آرام گرفتن در کنار آتشی گرم برایمان لذت‌بخش است؟ این‌ها سوال‌های سختی است؛ حداقل برای من.اینکه لذت‌‌ها و رنج‌های من و دوستم در بعضی موارد با یکدیگر متفاوت است، سوال دیگری است که جواب دقیق آن را نمی‌دانم.اما ممکن است از من بپرسی: «چرا می‌خواهی به لذت برسی؟!». به هر حال وقتی تو گفتی می‌خواهم مهندس کامپیوتر شوم، من پرسیدم که چرا می‌خواهی مهندس کامپیوتر شوی. حالا تو حق داری که وقتی من می‌گویم می‌خواهم به لذت برسم، بپرسی که چرا می‌خواهی به لذت برسی. سوالت بجاست. اما برعکس سوال‌های قبلی که جوابی برای آن‌ها نداشتم، می‌توانم جواب این سوال را بدهم! چون داری در مورد من و طرز فکر من می‌پرسی، نه درباره تعریف دقیق چیزی یا یافتن علت برای چیزی که بیرون از من است! من لذت را می‌خواهم. و به نظرم اینکه چرا لذت را می‌خواهم، سوالی بی‌معنی است! من لذت را می‌خواهم و این نهایت خواسته من است. من لذت را برای خودش می‌خواهم، نه برای رسیدن به چیزی دیگر. به عبارتی لذت مطلوب(مورد طلب، خواسته) من است، اما مطلوبی است بالذات نه مطلوبی بالغیر. تفاوت مطلوب بالذات و مطلوب بالغیر در این است که مطلوب بالذات را می‌خواهی، اما نه برای رسیدن به چیز دیگر، بلکه برای خودش، و مطلوب بالغیر را می‌خواهی، اما نه برای خودش، بلکه برای رسیدن به چیزی دیگر. مثلا تو پول را می‌خواهی، اما نه برای خود پول. چون پول تکه کاغذ کثیفی بیش نیست و آن برایت جذابیتی ندارد. تو پول را می‌خواهی، برای آنکه بتوانی برای خودت لباس بخری. برای آنکه شکمت را سیر کنی. پس پول مطلوب است اما مطلوبی بالغیر. لذت چطور؟! لذت مطلوب بالغیر است یا مطلوب بالذات؟ به عبارتی، لذت را برای خودش می‌خواهی یا برای رسیدن به چیزی دیگر؟ من لذت را برای خودش می‌خواهم. خود لذت مطلوب من است. اتفاقا هر چیز دیگری را می‌خواهم برای آنکه به لذت برسم. به بیان دیگر، هر چیزی برای من مطلوب بالغیر است مگر لذت. پس این سوال که: «لذت را می‌خواهی که به چه چیز برسی؟» سوال بی‌معنایی است؛ چرا که این سوال درباره مطلوب‌های بالغیر پرسیده می‌شود نه درباره مطلوب‌های بالذات. من لذت را نمی‌خواهم که به چیز دیگری برسم. من اگر به لذت برسم، به همه آنچه که می‌خواستم رسیده‌ام و چیز دیگری نمی‌خواهم.خب! ببخشید که نامه‌ام کمی طولانی شد. به هر حال، این بود نظریه لذت و رنج من و تبیین من درباره هدف از زندگی. می‌توانی بارها آن را با دیدی نقادانه بخوانی و به آن ایراد وارد کنی. من بسیار خوشحال می‌شوم اگر بتوانی نقطه ضعفی از این نظریه را آشکار کنی. هرگاه نقصی یافتی، یا هرگونه نظری داشتی، حتما آن را با من در میان گذار. محمد طهماسبی زاده محمد طهماسبی زاده Sun, 22 Aug 2021 18:24:25 +0430