توزیع نرمال و توزیع تی (توزیع t)

در علم آمار و کاربردهای آن مهم‌ترین و پرکاربردترین توزیع‌­های پیوسته، توزیع نرمال و توزیع t-استیودنت هستند که در ارزیابی اهمیت آماری در تعیین تفاوت بین دو نمونه، ساخت فواصل اطمینان، آزمون­‌های فرض و تجزیه و تحلیل رگرسیون و ... کاربرد دارند.

توزیع نرمال

توزیع نرمال (Normal Distribution)، یکی از مهم‌ترین توزیع‌های احتمالی پیوسته در نظریه احتمالات است. علت نام‌گذاری و اهمیت این توزیع، این است که بسیاری از مقادیر حاصل شده، هنگام نوسان‌های طبیعی و فیزیکی پیرامون یک مقدار ثابت از این توزیع پیروی می­‌نمایند.

بسیاری از پدیده‌­های طبیعی مثل قد و وزن افراد، نمرات درسی، میزان محصول در طول سال و ... از توزیع نرمال پیروی می­کنند. متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال است اگر دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد:

مد، میانه و میانگین توزیع نرمال با یکدیگر برابر است. حالت خاص زیر به نرمال استاندارد معروف است:

و معمولا متغیر تصادفی نرمال استاندارد را با Z نشان می‌دهند.

با استفاده از تغییر متغیر بالا، به سادگی می­‌توان مقادیر احتمال متغیر تصادفی نرمال را از روی جدول توزیع متغیر تصادفی نرمال استاندارد به­ دست آورد. توزیع نرمال گاهی به طور غیررسمی منحنی زنگ شکل نیز نامیده می‌شود و بسیاری از توزیع‌های دیگر مانند توزیع کوشی، توزیع t-استیودنت و توزیع لوژستیک به این شکل هستند.

اهمیت توزیع نرمال

اهمیت توزیع نرمال تا حدودی ناشی از قضیه حد مرکزی است (Central limit Theorem) که بیان می‌­کند که در برخی شرایط، مجموع تعدادی متغیر تصادفی مستقل (مشاهدات) با میانگین و واریانس متناهی، خود یک متغیر تصادفی است که با افزایش تعداد نمونه­‌ها توزیع آن­ها به ‌طور تقریبی دارای توزیع نرمال خواهد بود. هرچه تعداد این متغیرهای مستقل افزایش یابد، این تقریب بهتر می‌شود.

توزیع t-استیودنت

توزیع t-استیودنت (Student's t-distribution) که از پرکاربردترین توزیع­‌های پیوسته در علم آمار است در سال ۱۹۰۸ توسط ویلیام سیالی گاست معرفی و با نام مستعار Student شناخته شد.

متغیر تصادفی X دارای توزیع t-استیودنت با درجه آزادی n-1 است اگر دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد:

توزیع t-استیودنت متقارن و به شکل زنگ مانند توزیع نرمال است.

شباهت ها و تفاوت های توزیع نرمال و توزیع t-استیودنت

１. هر دو متقارن هستند.

２. توزیع نرمال استاندارد و توزیع t-استیودنت دارای میانگین و میانه و مد صفر هستند.

３. توزیع t-استیودنت دارای یک پارامتر است که به راحتی با توجه به تعداد نمونه تعیین می­شود در حالی که توزیع نرمال دارای ۲ پارامتر است.

４. دم­‌های توزیع t- استیودنت نسبت به توزیع نرمال کلفت‌­تر است و دارای واریانس بیشتری نسبت به توزیع نرمال استاندارد است.

５. توزیع t- استیودنت نسبت به توزیع نرمال برای نمونه‌­های کوچکتر (کمتر از ۳۰) مناسب­‌تر است و زمانی ­که تعداد نمونه­ بزرگتر می­‌شود به توزیع نرمال نزدیک‌تر می­‌شود.

６. زمانی که انحراف معیار جامعه معلوم باشد از توزیع نرمال و زمانی ­که نامعلوم باشد از توزیع t-استیودنت استفاده می‌­شود.