توزیع های پیوسته در آمار

در این مطلب، به معرفی توزیع‌های مهم و پرکاربرد برخی از متغیرهای پیوسته میپردازیم.

توزیع یکنواخت پیوسته:

ساده ترین توزیع پیوسته، توزیع یکنواخت است. اگر تمام نقاط در بازه (a,b) دارای امکان وقوع یکسان باشند، در این صورت متغیر تصادفی X را که برد آن مقادیر موجود در بازه (a,b) است، متغیر تصادفی یکنواخت می نامند که با نماد X^U(a,b) نشان داده میشود. تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی یکنواخت برابر است با:

و تابع توزیع آن به صورت زیر می باشد:

مثال: شخصی هر روز صبح رأس ساعت ۸:۰۰ به ایستگاه اتوبوس می‌آید. اگر اتوبوس در لحظه‌ای تصادفی بین ساعت ۸:۰۰ تا ۸:۳۰ صبح به ایستگاه برسد، متوسط مدت زمان انتظار این شخص چقدر است؟

پاسخ : اگر اتوبوس X دقیقه بعد از ساعت ۸:۰۰ به ایستگاه برسد، در این صورت X متغیر تصادفی یکنواخت روی بازه‌ی (0,30)

است. در نتیجه متوسط زمان انتظار این شخص به صورت زیر بدست می‌آید:

توزیع نمایی(منفی)

اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد

گوییم X دارای توزیع نمایی با پارامتر لاندا است. در یک آزمایش تصادفی پواسن، اگر متغیر تصادفی را زمان رسیدن به اولین رخداد (موفقیت یا شکست) در نظر بگیریم یک متغیر تصادفی پیوسته ایجاد شده که دارای توزیع نمایی است. به عنوان مثال، زمان سپری شده تا سوختن اولین قطعه‌ی الکترونیکی در یک کارخانه دارای توزیع نمایی است.

توزیع گاما

اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد

گوییم X دارای توزیع گاما با پارامترهای K و تتا است.

توزیع نرمال

به دلیل اهمیت بالای این توزیع، در مقالات بعدی ایردا، مرجع تخصصی آمار ایران، به توضیح این توزیع می‌پردازیم.

توزیع لاگ نرمال

اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد

هرگاه X دارای توزیع لاگ نرمال باشد انگاه ( Y = ln(X دارای توزیع نرمال است.

توزیع وایبل

توزیع وایبل به دلیل تنوع کاربرد به طور گستردهای در علوم مهندسی مورد استفاده قرار میگیرد. کاربرد خاص این توزیع در بررسی طول عمر سیستم‌هایی است که از مدل «ضعیف‌ترین اتصال» پیروی می‌کنند. به عبارت دیگر توزیع وایبل برای سیستم‌هایی که از اجزای متعددی تشکیل شده‌اند و سیستم زمانی خراب می‌شود که هریک از اجزا آن خراب شود، تقریب مناسبی ارائه می‌دهد.

اگر متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر باشد