متغیرهای تصادفی و انواع آن

متغیر تصادفی، تابعی حقیقی است که بر روی فضای نمونه­ آزمایش تعریف می­‌شود و به هر عضو آن یک عدد اختصاص می­‌دهد. برای مثال، در پرتاب 3 سکه­ سالم اگر Y نشان‌دهنده تعداد شیرهای ظاهر شده باشد، آنگاه Y یک متغیر تصادفی است که مقادیر 0 و 1 و 2 و 3 را می‌­پذیرد.

انواع متغیرهای تصادفی

الف-متغیرهای تصادفی گسسته

متغیرهای تصادفی هستند که بتوانند تعداد قابل شمارشی از مقادیر حقیقی را اختیار کنند. در واقع برد یا مقادیر ممکن این متغیرهای تصادفی گسسته یا منفصل می­‌باشند. به عنوان مثال­‌هایی از این نوع متغیرهای تصادفی می­‌توان به تعداد پرتاب‌­های یک سکه تا ظاهر شدن یک شیر، تعداد زلزله‌­های رخ‌داده‌شده در سال، تعداد قطعات معیوب تولیدشده در یک کارخانه و ... اشاره کرد.

ب-متغیرهای تصادفی پیوسته

متغیرهای تصادفی هستند که مقادیر ممکن یا برد برای آن­‌ها غیرقابل شمارش (پیوسته) می­‌باشد. به عنوان مثال­‌هایی از متغیرهای تصادفی پیوسته می­‌توان به طول عمر لامپ­‌های تولید یک کارخانه، میزان باران در هر روز از یک منطقه­‌ی خاص و ... اشاره کرد.

ج-متغیرهای تصادفی آمیخته

نوع دیگری از متغیرهای تصادفی هستند که از تلفیق متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته ایجاد می‌­شوند و قسمتی از برد این نوع متغیرهای تصادفی گسسته و قسمتی دیگر پیوسته است.

تابع جرم احتمال

برای نشان دادن احتمال هر یک از مقادیر یک متغیر تصادفی گسسته، از تابعی تحت عنوان «تابع جرم احتمال» یا «تابع احتمال» استفاده می­شود. یعنی:

طبق خواص احتمال مجموع احتمال برای تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی برابر ۱ است.

تابع چگالی احتمال

برای متغیرهای تصادفی پیوسته تابع جرم احتمال تعریف نمی‌­شود، زیرا برای این نوع متغیر تصادفی مقدار تابع احتمال در هر نقطه به صفر میل می‌­نماید. برای متغیر تصادفی پیوسته، اگر یک تابع غیر منفی f، که برای همه‌­ی مقادیر حقیقی تعریف شده است، با خاصیت زیر برای هر زیرمجموعه B از اعداد حقیقی وجود داشته باشد.

آنگاه تابع f تابع چگالی احتمال یا به طور خلاصه تابع چگالی متغیر تصادفی است و طبق خواص احتمال داریم:

تابع توزیع تجمعی

برای یک متغیر تصادفی (گسسته یا پیوسته) X ، تابع F که به صورت

تعریف می‌­شود را تابع توزیع تجمعی یا به طور ساده‌­تر تابع توزیع X می‌­نامند. بنابراین تابع توزیع، احتمال کوچک‌تر یا مساوی بودن متغیر تصادفی X از مقدار x را برای همه مقادیر x مشخص می‌­نماید.

بعضی از خواص تابع توزیع تجمعی عبارتند از:

با استفاده از تعریف تابع توزیع تجمعی Fبرای همه a<b داریم:

بسیاری از پدیده­‌های تصادفی در طبیعت، هر چند تصادفی به نظر می‌­­رسند ولی دارای الگوی خاصی هستند. مثلاً در پرتاب سکه­ی سالم احتمال مشاهده‌­ی شیر با مشاهده‌­ی خط یکسان و برابر 0.5 است. توابع توزیع بر اساس قوانین احتمال سعی دارند که خصوصیات و ویژگی­‌های پدیده­‌های تصادفی را نشان داده و به ما اطلاعاتی در مورد آن­ها بدهند. تعدادی از متغیرهای گسسته و پیوسته وجود دارند که کاربرد آن­ها در احتمال به کرات ظاهر می­شود و دارای توابع توزیع شناخته شده­‌ای هستند. توابع توزیع برنولی، دوجمله‌­ای، هندسی، فوق هندسی، پاسکال (دوجمله­ای منفی)، وایبل گسسته، پواسن، چندجمله­‌ای و توزیع یکنواخت گسسته مثال­هایی از توابع توزیع متغیرهای گسسته و توزیع­‌های یکنواخت، نمایی، گاما، نرمال، لاگ نرمال، گوسین معکوس، کوشی، لاپلاس، وایبل و پارتو مثال­‌هایی از حالت پیوسته­‌اند که در مطالب آینده ایردا، مرجع تخصصی آمار ایران به معرفی هریک از این توزیع­‌ها پرداخته می‌­شود.