خمیربازی

نویسنده: آرین تاجمیرریاحی

سوال ۱: تا به حال سعی کرده‌اید یک کیک با شکل دل‌خواه را با یک برش ساده (برشی که خط صاف باشد) از نظر مساحت نصف کنید؟ حدس این که چنین برشی وجود دارد سخت نیست؛ کافی‌ست چاقو را یک طرف کیک بگذارید و به آهستگی به طرف دیگر حرکت دهید. از آن‌جایی که در ابتدای کل کیک یک طرف چاقو و در انتها طرف دیگر چاقوست، پس زمانی چاقو کیک را دقیقاً نصف کرده است.

حال بیایید حالت پیچیده‌تری را در نظر بگیریم. فرض کنید دو کیک داریم (که ممکن‌ است روی هم افتاده باشند) و می‌خواهیم با یک برش ساده هر دو را نصف کنیم. آیا این‌کار همواره ممکن است؟

سوال ۲: فرض کنید نقشه‌ی ایران را کف اتاق خود پهن کرده‌اید؛ آیا نقطه‌ای از ایران وجود دارد که تصویرش در نقشه دقیقاً روی خودش افتاده باشد؟ آیا می‌توان نقشه را چنان پهن کرد که چنین نقطه‌ای وجود نداشته باشد؟

شکل ۳) یک مثال از پهن کردن نقشه؛ نقطه‌ی مشخص شده در نقشه روی خودش افتاده است.

در این نوشته به معرفی و توضیح قضیه‌ای می‌پردازیم که با کمک آن می‌توان به این سوالات و بسیاری سوال دیگر پاسخ داد. پیش‌نهاد می‌شود قبل از خواندن ادامه‌ی این نوشته کمی به دو سوال بالا فکر کنید!

تعریف: یک کره یا دایره توخالی را در نظر بگیرید. به دو نقطه از این کره یا دایره که دوطرف یک قطرند، نقاط «متقاطر» می‌گوییم.

یک قضیه‌ی زیبا: فرض کنید یک کره‌ی توخالی از جنس خمیر داریم و می‌خواهیم آن را روی صفحه له کنیم. در این روند می‌توان هر نقطه از کره را به دل‌خواه کشید یا فشرده کرد اما نباید آن را پاره کرد. این قضیه بیان می‌کند که همیشه دو نقطه‌ی متقاطر وجود دارند که روی هم بیافتند.

این قضیه که در سال ۱۹۳۳ توسط «کارل بورساک» ریاضی‌دان لهستانی ثابت شد، کاربردهای فراوانی دارد.

پاسخ سوال ۱: بله، چنین برشی همواره وجود دارد! برای اثبات وجود آن، یک کره‌ی توخالی خمیری را به روشی خاص روی صفحه له کرده و از «قضیه‌ی زیبا» استفاده می‌کنیم.

نقطه‌‌های صفحه را با مشخص کردن مختصات x و y آن‌ها مشخص کنید. برای توصیف دقیق له کر‌دن یک کره، مشخص می‌کنیم هر نقطه از آن به چه نقطه‌ای از صفحه می‌چسبد. یک کره‌ی توخالی خمیری به مرکز O در نظر بگیرید و صفحه‌ی شامل کیک‌ها را صفحه‌ای افقی و بالاتر از این کره فرض کنید. نقطه‌ی A از کره را در نظر بگیرید. صفحه‌ی P که از O رد می‌شود و به OA عمود است را در نظر بگیرید (چرا همیشه دقیقاً یک صفحه با این مشخصات وجود دارد؟) فرض کنید این دو صفحه موازی نیستند. تقاطع این صفحه با صفحه‌ی شامل کیک‌ها، خطی مانند l خواهد بود. این خط از هر کیک مساحتی را جدا می‌کند که می‌تواند برابر صفر یا کل شکل نیز باشد (برای هر کیک با توجه به جهت بردار OA مساحت تکه‌ای را در نظر بگیرید که با A در یک سمت صفحه‌ی P هستند). پس تا این‌جا برای هر نقطه از کره یک برش معرفی کرده‌ایم. حال نقطه‌ی A را به نقطه‌ای از صفحه که مختصات x آن، برابر با مساحتی‌ست که از کیک اول و مختصات y آن، برابر با مساحتی‌ست که از کیک دوم جدا شده است، انتقال دهید. این شیوه‌ی له کردن، کره را پاره نمی‌کند (چرا؟ راه‌نمایی: با تغییرات اندک A مختصات‌های بدست آمده نیز تغییرات اندکی خواهند کرد. به علاوه، می‌توان این شیوه‌ی له کردن‌ بدون پارگی را برای حالتی که دو صفحه موازی‌اند، تعمیم داد). «قضیه‌ی زیبا» بیان می‌کند که دو نقطه‌ی متقاطر مثل A و B هستند که دقیقاً به یک نقطه فرستاده شده‌اند. دقت کنید که خط l به‌دست‌آمده برای هر دو این نقاط یکی بوده است (چرا؟) یعنی کیک‌ها در این دو برش یک‌جور تقسیم شده‌اند و فقط جهتی که برای در نظر گرفتن مساحت تکه‌ها انتخاب شده، فرق داشته است (انتخاب کردن نیمه‌ی راست، مشابه انتخاب نکردن نیمه‌ی چپ است!) در نتیجه، این خط هر دو کیک را به تکه‌های با مساحت برابری تقسیم می‌کند (چرا؟) و گزاره‌ی مورد نظر به اثبات می‌رسد.

پاسخ سوال ۲: خیر، ممکن نیست و همواره چنین نقطه‌ای وجود دارد!

برای سادگی فرض کنید ایران به شکل یک دایره است. برای اثبات از برهان خلف استفاده می‌کنیم؛ فرض کنید توانسته‌ایم نقشه را چنان پهن کنیم که تصویر هیچ نقطه‌ای روی خودش نیفتد. حال یک روش خاص از له کردن یک کره‌ی خمیری روی صفحه را معرفی می‌کنیم که در آن هیچ دو نقطه‌ی متقاطری روی هم نیفتاده‌اند و با «قضیه‌ی زیبا» به تناقض می‌رسیم.

برای این‌کار فرض کنید ایران دایره‌ای به مرکز O باشد. کره‌ای به مرکز O و همان شعاع در نظر بگیرید. می‌خواهیم این کره را روی قسمتی از دایره له کنیم. برای این‌کار مشخص می‌کنیم هر نقطه از کره بدون پاره شدن به چه نقطه‌ای می‌رود. ابتدا فقط نیم‌کره‌ی بالایی را در نظر بگیرید. هر نقطه از این نیم‌کره‌ مانند A را ابتدا بر سطح دایره عمود کنید تا نقطه‌ی H بدست آید. H نقطه‌ای از دایره (ایران) است. حال نقطه‌ی متناظر با H در دایره‌ی کوچک (نقشه‌ی ایران) را B بنامید. سپس یک نیم‌خط از B به H رسم کنید و آن را امتداد دهید تا محیط دایره را در 'A قطع کند. در له کردن، نقطه‌ی A را به 'A می‌بریم. به طور شهودی می‌توان دید که اگر نقطه‌ی A مقدار کمی جابه‌جا شود، نقطه‌ی 'A نیز مقدار کمی جابه‌جا می‌شود و پارگی اتفاق نمی‌افتد. دقت کنید که با این روش له کردن نیم‌کره‌ی بالایی، محیط دایره‌ی اصلی (محیط ایران) هیچ تکانی نخورده است (چرا؟).

حال نقطه‌ی دل‌خواه C را روی نیم‌کره‌ی پائینی در نظر بگیرید. ابتدا C را به نقطه‌ی متقاطر آن یعنی D ببرید (نگاه کنید به فلش شماره‌ی ۱ در شکل ۷). نقطه‌ی D روی نیم‌کره‌ی بالائی‌ست (چرا؟) پس می‌توان مشابه حالت قبل، آن را به نقطه ای مانند 'D روی محیط دایره‌ی اصلی برد (فلش شماره‌ی ۲ در شکل ۷). نقطه‌ی متقاطر 'D روی دایره را 'C بنامید و در له کردن نیم‌کره‌ی پائینی، C را به 'C بفرستید (فلش شماره‌ی ۳ در شکل ۷).

دقت کنید که در له کردن هر دو نیم‌کره، مرز دایره (ایران) ثابت مانده است پس می‌توان دو نیم‌کره‌ی له شده را از روی این مرز به هم چسباند. با این روش له کردن، نقاط متقاطر سطح کره به نقاط متقاطر از دایره می‌روند (چرا؟) پس هیچ دو نقطه‌ی متقاطری روی هم نیافتاده که این با «قضیه‌ی زیبا» در تناقض است.

برای فکر کردن بیش‌تر!

۱. آیا همواره روی کره‌ی زمین دو نقطه‌ی متقاطر وجود دارند که دارای دما و فشار برابر باشند؟

۲. آیا همواره می‌توان روی خط استوا دو نقطه‌ی متقاطر یافت که دارای دمای برابر باشند؟ دو نقطه‌ی متقاطر با دما و فشار برابر چطور؟

۳. آیا می‌توانید مشخص کنید که از فرض خلف، یعنی وجود نداشتن نقطه‌ای که روی خودش افتاده باشد، در کدام گام پاسخ سوال ۲ استفاده کرده‌ایم؟

۴. آیا می‌توانید برای سوال ۲ پاسخی بدون فرض دایره بودن ایران ارائه دهید؟ (راهنمایی: یک دایره دور ایران و دایره‌ای متناظر با آن دور نقشه‌ی ایران بکشید و سعی کنید از حکمی که روی دایره اثبات شده، استفاده کنید.)