معما

نویسنده: حنا جمالی

چند سال پیش تو یه نمایشگاه دانش‌آموزی غرفه‌ای رو دیدیم که اگر تو یه بازی موفق می‌شدیم، برنده 1 میلیون تومن می‌شدیم. بازی اینطوری بود: یه جدول 8*8 داشتیم که دو گوشه‌ی مقابلش حذف شده بود و باید با 31 تا مستطیل دوتایی به‌هم‌چسبیده این جدول رو پر می‌کردیم. یه چیزی شبیه شکل زیر:

قبل از اینکه جواب رو بخونید بذارید بهتون بگم که اون بچه‌ها ریسکی رو قبول نکردن. مطمئن بودن که کسی نمی‌تونه اینکار رو بکنه! حالا سعی کنید خودتون بگید چرا.

صفحه 8*8 ما رو یاد صفحه‌ی شطرنج می‌اندازه. پس این صفحه رو شطرنجی رنگ می‌کنیم. دقت کنید که دو تا خونه‌ای که حذف شدن هم‌رنگن! و هر مستطیل 2*1ای که توی جدول قرار می‌دیم دو خونه مجاور که یکی سفیده و یکی سیاه رو می‌پوشونه. دو گوشه‌ای که از این جدول حذف شدن هم‌رنگن. یعنی ابتداي بازی ما 32 خونه سفید و 30 خونه سیاه، یا 30 خونه سفید و 32 خونه سیاه داریم. به ازای هر مستطيلی كه قرار داده می‌شه اختلاف خونه‌های سفيد و سياه باقی‌مونده ثابت می‌مونن. پس با این اوصاف چون در نهايت می‌خوايم كه اين اختلاف صفر باشه، هیچ‌وقت نمی‌تونیم جدول رو پر کنیم.

حالا بیاید رو یه سوال دیگه هم فکر کنیم تا بعد بریم سراغ یه ایده پرکاربرد تو حل معماها.

روی تخته اعداد 1 تا 25 نوشته شدن. هربار سه تا از اعداد رو تخته مثل a و b و c رو پاک می‌کنیم و به جاش عدد a به توان 3 به‌علاوه b به توان 3 به‌علاوه c به توان 3 رو می‌نویسیم. ثابت کنید موقعی که فقط یه عدد روی تخته مونده اون عدد نمی‌تونه 2013 به توان 3 باشه (راهنمايي: باقی‌مانده‌ی n و n به توان 3 بر عدد 3 با هم برابرن).

شباهت سوال اعداد با سوال جدول چیه؟ شاید فکر کنید هیچی، ولی در واقع تو حل جفتشون از یه روش استفاده می‌کنیم.

یکی از روش‌های حل سوال اعداد اینه که بیایم باقی‌مانده‌ی مجموع اعداد روی تخته بر 3 رو در نظر بگیریم. ابتدای کار مقدار 25*13 (مجموع اعداد روی تخته) رو داریم، که باقی‌مانده‌ش بر 3 برابر 1 هست. از طرفی باقی‌مانده‌ی هر عددی به توان 3 بر 3 با باقی‌مانده خود اون عدد بر 3 برابره. پس با هر عملیاتی که انجام می‌شه باقی‌مانده‌ی مجموع اعدادی که روی تخته هست بر 3 تغییری نمی‌کنه، و چون باقی‌مانده‌ی 2013 به توان 3 بر 3 برابر 0 هست هیچ‌وقت نمی‌تونیم اون رو داشته باشیم.

هر چیزی که که ثابت می‌مونه یک ناورداست. ایده‌ی حل جفت این سوال‌ها ناوردایی بود. يعني ما يک ويژگی رو در نظر می‌گيريم كه با هر عملياتمون تغييری نكنه و بعد بررسي می‌كنيم كه آيا در حالت ابتدايی و حالتی كه مي‌خوايم بهش برسيم يكسان هست يا نه. اين ويژگی تو سوال اول اختلاف تعداد خونه‌‌های سفيد و سياهِ پوشانده نشده بود كه تو حالت ابتدايی 2 بود و ما می‌خواستيم به حالتی برسيم كه این تعداد صفر باشه. تو سوال دوم هم ناوردای ما باقی‌مانده‌ی مجموع اعداد روی تخته بر 3 بود. ناوردا هرچيزی می‌تونه باشه. از اختلاف و مجموع و ضرب اعداد مسئله گرفته تا برآيند بردار‌ها و صحيح يا گويا بودن مختصات...

حالا سعی کنید ناوردای سوال زیر رو پیدا کنید و حلش کنید. منتظر جواب‌هاتون در @Rastaiha_info هستیم.

یه صفحه‌ی دایره‌ای شکل داریم که 12 تا عدد مثل اعداد ساعت دورش نوشتیم. از ساعت 1 تا 11 اعداد صفرن و عدد نوشته شده روی ساعت 12 برابر یکه. در هر مرحله می‌تونیم یک سری از اعداد روی دایره رو انتخاب کنیم و و از هرکدوم یکی کم و یا به هرکدوم یکی اضافه کنیم به طوری که:

• دو تا عددِ رو به روی هم باشن (مثلا اعداد نوشته شده تو ساعت 6 و 12).
• سه تا عدد روی سه راس یک مثلث متساوی‌الاضلاع باشن (مثلا عددای ساعتای 1 و 5 و 9 ).
• چهار تا عدد روی رئوس یه مربع باشن (2 و 5 و 8 و 11)
• شش تا عدد که روی رئوس یه شش ضلعی منتظم باشن (اعداد نوشته روی ساعت‌های زوج).

آیا می‌تونیم به حالتی برسیم که همه‌ی 12 تا عدد با هم برابر باشن؟