آیا ریاضی می‌تواند به شما کمک کند از یک خرس گرسنه فرار کنید؟

منتشر شده در quantamagazine به تاریخ ۲۹ ژوئن ۲۰۲۱
لینک منبع: Can Math Help You Escape a Hungry Bear?

زمانی در کشوری بسیار دور، یک ورزشکار قهرمان وجود داشت که می‌توانست به معنای واقعی کلمه دور از رقیب خود شنا کند. او می‌خواست برای مسابقات جهانی شنا تمرین کند، اما به دلیل پاندمی، مجبور بود این کار را به صورت جداگانه انجام دهد. بنابراین فدراسیون شنای کشورش یک دریاچه کاملا مدور در وسط جنگل درست کرد تا او بتواند با خیال راحت تمرین کند. کارگران کف دریاچه را با دایره‌های هم‌مرکز و اندازه‌گیری شعاع مشخص کردند تا او بتواند به راحتی تشخیص دهد که کجاست. در صورتی که نمی‌دانید، شنای دایره‌ای یک تکنیک آبی شگفت‌انگیز است که در آن یک ورزشکار می‌تواند در هر مسیر منحنی تا جایی که می‌تواند در مسیر مستقیم شنا کند. اندازه دریاچه به دقت با سریع‌ترین سرعت شنا ورزش‌کار که یک واحد مسافت در طول یک واحد زمانی بود، کالیبره و درجه‌بندی شد. شعاع دریاچه ۳.۵ واحد طول داشت، بنابراین او برای شنا یک شعاع کامل دقیقاً ۳.۵ واحد زمان لازم داشت. برای کمک به جهت‌گیری بیشتر او، مرکز دریاچه به وضوح با یک شناور مشخص شده بود.

فدراسیون نمی‌دانست که جنگل کاملا امن نیست. یک روز هنگام تمرین در نزدیکی مرکز دریاچه، شناگر متوجه خرسی در ساحل شد که با اشتها به او چشم دوخته بود. او به سرعت به وسط دریاچه رفت تا وضعیت را بررسی کند. خرس بدون شک او را تعقیب می‌کرد و با سرعتی ثابت دریاچه را دور می‌زد و هیچ نشانه‌ای از تسلیم شدن نشان نمی‌داد. اما خرس جرات ورود به دریاچه را نداشت، جایی که شناگر می‌توانست به راحتی از آن فاصله بگیرد. او متوجه شد که اگر چه خرس در طرف کند است اما سرعت دویدن او هنوز ۳.۵ برابر سریع‌تر از شنا کردن او بود. او داشت کمی خسته می‌شد و متوجه شد که نمی‌تواند تا ابد در دریاچه بماند. مطمئن بود که اگر بتواند جلوتر از خرس از دریاچه خارج شود، می‌تواند به سرعت به میان درختان اطراف بپرد و از چنگ حیوان فرار کند.

قبل از این که بیشتر بخوانید یا سعی کنید محاسبات دقیق انجام دهید، لحظه‌ای در مورد سناریوی بالا فکر کنید. این ورزشکار در چه الگویی باید شنا کند تا بهترین فرصت برای فرار را به خود بدهد؟

آیا یک طرح کلی از یک استراتژی به دست آورده‌اید؟ خب، حالا می‌توانید بخوانید.

حیوانی وجود دارد که اغلب خود را در موقعیت تا حدودی مشابهی با شناگر می‌یابد و استراتژی موثری را برای ناامید کردن تعقیب‌کنندگانش تکمیل کرده‌است: سنجاب خاکستری معمولی. یک سنجاب زمانی‌که سگی تعقیبش می‌کند همیشه خود را در نقطه‌ای قرار می‌دهد که درست در نقطه مقابل تعقیب‌کننده خود قرار دارد، در حالی که به طور همزمان از درخت بالا می‌رود و به زودی فرار می‌کند. سنجاب بر سرعت زاویه‌ای بسیار سریع‌تر خود تکیه می‌کند و محیط را کوچک‌تر از سگ دنبال‌کننده هدایت می‌کند که باید دایره بسیار بزرگتری را دور از درخت ایجاد کند. این استراتژی به قدری موثر است که یک فضانورد از آن برای گریز از یک سفینه فضایی دشمن در مخفیگاه و جستجوی آرتور سی. کلارک استفاده می‌کند.

شما می‌توانید ببینید که چگونه چنین استراتژی ممکن است در سناریوی شناگر مفید باشد. حل کامل این مشکل نیاز به محاسبات دقیق دارد، بنابراین بیایید قدم به قدم با چند مجموعه سوال اندازه ذره‌ای پیش برویم. با یافتن پاسخ به این سوالات، شما باید فرض کنید که خرس به طور غریزی از استراتژی سودمندتر برای خود پیروی می‌کند.

پازل ۱

گزینه A. چگونه شناگر می‌تواند استراتژی سنجاب را برای رسیدن به بهترین موقعیت برای فرار به کار ببرد؟

گزینه B. شناگر در انجام این کار چه مسیری را دنبال می‌کند؟

گزینه C. قبل از اینکه دست از کمک بیشتر استراتژی سنجاب بردارد، شناگر چند دور کامل را انجام خواهد داد؟

گزینه D. چقدر طول می‌کشد تا به آن نقطه برسد؟

گزینه E. آیا شناگر بالاخره می‌تواند از چنگ خرس بگریزد؟

این یک مشکل کلاسیک است که قبلا مورد بررسی قرار گرفته‌است. ممکن است برای برخی خوانندگان آشنا باشد، با این حال ما اعداد را تغییر داده‌ایم. اگر تا اینجا پیش رفته‌اید، مجموعه سوالات بعدی را امتحان کنید، که من فکر نمی‌کنم قبلا مطرح شده‌باشند. شما می‌توانید هندسه وضعیت را مدلسازی کرده و از تکنیک‌های تحلیلی یا شبیه‌سازی عددی برای یافتن پاسخ استفاده کنید.

پازل ۲

فرض کنید هدف ما تنها فرار از دست خرس نیست، بلکه فرار با بیش‌ترین سرعت ممکن است (به هر حال دست‌ها و پاهای شناگر ما خسته هستند). کدام یک از استراتژی‌های زیر کارآمدتر است و سریع‌ترین زمان فرار در هر مورد چیست؟

گزینه A. استراتژی سنجاب را دنبال کنید تا زمانی که دیگر به شما کمک نکند، و سپس در جهت شعاعی به سمت آن با سرعت حرکت کنید.

گزینه B. استراتژی سنجاب را دنبال کنید تا زمانی که دیگر به شما کمک نکند، و سپس در جهت دیگری برای آن تلاش کنید.

گزینه C. برای مدتی استراتژی سنجاب را دنبال کنید و سپس در جهتی آن را به سرعت دنبال کنید.

گزینه D. به جای استراتژی سنجاب از برخی استراتژی‌های دیگر پیروی کنید.

پازل ۳

از طرف دیگر فرض کنید که هدف ورزشکار این است که از دریاچه تا جایی که ممکن است جلوتر و با فاصله از خرس فاصله بگیرد. کدام یک از استراتژی‌های زیر در حال حاضر از همه کارآمدتر است و بزرگ‌ترین فاصله‌ای که او می‌تواند بین خود و خرس در طول محیط دریاچه قرار دهد چیست؟

گزینه A. استراتژی سنجاب را دنبال کنید تا زمانی که دیگر به شما کمک نکند، و سپس در جهت شعاعی برای آن تلاش کنید.

گزینه B. استراتژی سنجاب را دنبال کنید تا زمانی که دیگر به شما کمک نکند، و سپس در جهت دیگری برای آن تلاش کنید.

گزینه C. برای مدتی استراتژی سنجاب را دنبال کنید و سپس در جهتی آن را به سرعت دنبال کنید.

گزینه D. به جای استراتژی سنجاب از برخی استراتژی‌های دیگر پیروی کنید.

حالا اینجا چند سوال پاداش برای کسانی که نمی‌توانند به اندازه کافی از این پازل استفاده کنند، وجود دارد.

امتیاز ۱

آیا اگر شعاع دریاچه ۴.۵ واحد باشد و سرعت دویدن خرس ۴.۵ برابر شناگر باشد، بهترین استراتژی برای معماهای ۲ و ۳ تغییر میکند؟ (سرعت شناگر همانند قبل باقی می‌ماند.)

امتیاز ۲

بالاترین نسبت بین سرعت دویدن خرس و سرعت شناگر که هنوز هم به شناگر اجازه فرار می‌دهد، چیست؟ (فرض کنید که شعاع دریاچه در واحد برابر با این نسبت است، و سرعت شناگر بدون تغییر است.)

این برای Insights معمای این ماه است. مشتاق هستم ببینم چه نوع راه حلی برای این سوالات پیدا می‌کنید.

محاسبه مبارک و سعی کنید در یک دایره این طرف و آن طرف نروید!

این متن با استفاده از ربات ترجمه مقاله علمی ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.

مقالات لینک‌شده در این متن می‌توانند به صورت رایگان با استفاده از مقاله‌خوان ترجمیار به فارسی مطالعه شوند.