توپولوژی مکانیکی گره‌ها و پیچ‌ها

چکیده: گره‌ها نقش اساسی در دینامیک سیستم‌های زیستی و فیزیکی، از DNA گرفته تا پلاسماهای متلاطم، و همچنین در بالا رفتن، بافندگی، قایقرانی و جراحی ایفا می‌کنند. با وجود اینکه برای قرن‌ها مورد مطالعه قرار گرفته بود، اما ارتباط ظریف بین توپولوژی و مکانیک در گره‌های الاستیک هنوز به خوبی درک نشده است. در اینجا، ما آزمایش‌ها اپتومکانیکی را با تئوری و شبیه‌سازی ترکیب کردیم تا الیاف درهم گره خورده را تحلیل کنیم که رنگ خود را براساس تغییر شکل‌های مکانیکی تغییر می‌دهند. با استفاده از یک قیاس با سیستم‌های اسپین فرومغناطیس برد بلند، قوانین شمارش توپولوژیکی ساده‌ای را برای پیش‌بینی پایداری مکانیکی گره‌ها و زوایا، در توافق با شبیه‌سازی‌ها و آزمایش‌های مورد استفاده در گره‌های کوهنوردی و قایق‌رانی، شناسایی کردیم. نتایج ما مشخص‌کننده اهمیت چرخش و پیچش در فرآیندهای بازشدن گره است؛ که برای کنترل سیستم‌ها با اتصالات پیچیده کمک می‌کند. ​

شرح

گره از قدیمی‌ترین و ماندگارترین فن‌آوری‌های انسانی است که برای معماران ‏و دریانوردان قدیم و مهندسان و جراحان مدرن ‏ارزشمند بوده است. ​

تصور بر این است که پیش از چرخ، ساختارهای گره دار عمر فوق‌العاده و کاربرد گسترده خود را مدیون استحکام مکانیکی ذاتی هستند که از فعل و انفعال ظریف توپولوژی، الاستیسیته، و اصطکاک ناشی می‌شود. در طول قرن‌ها، ملوانان، بافندگان، کوهنوردان و جراحان دانش زیادی در مورد مزایا و معایب انواع مختلف گره‌ها کسب کرده‌اند (‏۱ و ۲)‏. تجربه به ما آموخته که گره‌های خاصی پایدارتر از گره‌های دیگر هستند، اما هنوز هم نمی‌توانیم رفتار مکانیکی گره‌ها و زوایای مشاهدات اصلی توپولوژیکی مانند تعداد و ترتیب نسبی تقاطع را پیش‌بینی کنیم. اگرچه تحقیقات نظری و تجربی اخیر دیدگاه‌های مهمی را در مورد رقابت میان انتقال نیرو و اصطکاک در کلاس‌های خاصی از گره‌ها (‏۵، ۶)‏، تسمه‌ها (‏۷)‏ و پارچه (‏۸) ‏نشان داده‌است، در حال حاضر هیچ نظریه ریاضی جامعی وجود ندارد که خواص توپولوژیکی و مکانیکی سازه‌های الاستیک گره دار را به هم پیوند دهد. ​

گره‌های فیزیکی و توپولوژی آن‌ها برای اولین بار با معرفی مدل اتم ورتکس کلوین در دهه ۱۸۶۰ (‏۱۰) ‏نقش اصلی را در علم ایفا کردند. از آن زمان، اهمیت اساسی ساختارهای پیچیده به شدت در طیف متنوعی از رشته‌ها و زمینه‌ها تثبیت شده‌است (‏۹)‏. برای مثال، در فیزیک، تعامل بین خطوط نقص گره دار برای درک و کنترل دینامیک و ترکیب در سیالات کلاسیک و پیچیده (‏۱۱)‏، از جمله بلورهای مایع (‏۱۵)‏، پلاسما(‏۱۶)‏، و مایعات کوانتومی (‏۱۷) ‏ضروری است. در حالی که هزینه‌های انرژی مرتبط با تبدیلات توپولوژیکی معمولا در مایعات و گازها کم است (‏۱۷)‏، آن‌ها تمایل دارند که در جامدات درهمبسته بسیار بزرگ شوند (‏۵ و ۶)‏. این حقیقت پیامدهای عمیقی برای پایداری و عملکرد ساختارهای طبیعی و مهندسی، از گره‌های میکروسکوپی در DNA (‏۱۸، ۱۹)‏، پروتئین‌ها (‏۲۰)‏، و پلیمرها (‏۲۳) تا لباس‌های بافتنی (‏۸) ‏و گره‌های ماکروسکوپی (‏۲۴)‏دارد. دستیابی به یک درک یکپارچه از این سیستم‌های مختلف، نه تنها نیازمند در نظر گرفتن ویژگی‌های توپولوژیکی آن‌ها، بلکه همچنین ویژگی‌های الاستیک آن‌ها است. از آنجا که مفاهیم کلیدی از توپولوژی و تیوری الاستیسیته در طیف وسیعی از مقیاس‌ها قابل کاربرد باقی می‌مانند، اصول توپولوژیکی (‏۵، ۶، ۹)‏ که ثبات مکانیکی گره‌ها را تعیین می‌کنند، از دیدگاه‌های طیف گسترده‌ای از ساختارهای درهم گره خورده فیزیکی، استخراج می‌شوند. بنابراین، هدف اصلی ما شناسایی قوانین شمارش توپولوژیکی عمومی است که ما را قادر می‌سازد تا تخمین بزنیم کدام یک از اعضای یک خانواده از گره‌های الاستیک در برابر باز کردن گره قوی‌تر هستند. برای این منظور، ما عناصر را از تئوری گره ریاضی و فیزیکی (‏۹، ۲۵) ‏با آزمایش‌های مکانیکی اپتوممکانیکی و مدل‌سازی پیوسته کمّی ترکیب کردیم (‏شکل ۱)‏. ​

ما علاقه‌مند بودیم که دو خط را به هم متصل کنیم به طوری که آن‌ها یک طناب بلندتر پایدار را تشکیل دهند، کاری که به عنوان گره در میان ملوانان شناخته می‌شود (‏۲)‏. از لحاظ ریاضی، این پیکربندی یک دو گره گرا را توصیف می‌کند، که به عنوان اتصال دو منحنی باز دو جهتی تعبیه‌شده در فضا (‏۴) ‏تعریف می‌شود. اگر چه یک فرمول‌بندی ریاضی زیبا برای توصیف خانواده‌های ساده از دو زاویه وجود دارد (‏۲۶)‏، اما حتی در مورد اساسی‌ترین گره‌های خمیده مورد استفاده در عمل، اطلاعات کمی در تیوری وجود دارد. ما یک نمودار فاز توپولوژیکی را ایجاد کردیم که پایداری نسبی یک انتخاب از خم‌ها را توضیح می‌دهد که معمولا در جوامع قای‌قرانی و کوهنوردی استفاده می‌شوند. برای تایید مدل توپولوژیکی اساسی، پیش‌بینی‌های آن را با شبیه‌سازی‌های یک نظریه پیوستار تایید شده از نظر مکانیکی و با اندازه‌گیری‌های کمی با استفاده از آزمایش‌ها فرار زندانی آزمایشگاهی مقایسه کردیم. ​

آزمایش‌ها اپتومکانیکی ما اخیرا از فیبرهای فتونیک در حال تغییر رنگ (‏۲۷)‏ استفاده کرده‌اند که امکان تصویربرداری از کرنش در گره‌ها را فراهم می‌کند (‏شکل ۱، A و B)‏. این فیبرها رنگ ساختاری را از روکش فلزی چند لایه تشکیل‌شده از لایه‌های متناوب الاستومرهای شفاف با ضریب شکست مشخص پیچیده شده در اطراف یک هسته الاستیک به دست می‌آورند. رنگ آن‌ها با ضخامت لایه‌ها در روکش زنی متناوب تغییر می‌کند که در اثر کشش یا خمش تغییر می‌کند. همانطور که در مواد ماکروسکوپی در دمای اتاق معمول است، طول پایداری فیبرها در آزمایش‌ها ما چندین مرتبه بزرگ‌تر از قطر گره‌های سفت شده هستند (‏۲۸)‏، با دانش تجربی (‏۲) ‏نشان می‌دهد که خواص گرهی ضروری تنها به طور ضعیف به مدول الاستیک وابسته هستند. از لحاظ تیوری، ما الیاف درهم گره خورده را با استفاده از یک مدل کیرشهف دامپ‌شده (‏۵، ۲۸، ۲۹)‏که از طریق مقایسه با عکس‌هایی که تغییرات رنگ القا شده توسط کرنش در فیبرهای فتونیک پاسخگو به کرنش را نشان می‌دهد، تایید شده‌است (‏شکل ۱، A تا C)‏، توصیف می‌کنیم. با شبیه‌سازی فرآیند سفت شدن یک گره، متناظر با یک فیبر گره دار کشیده‌شده در هر دو انتها (‏شکل ۱، A و B، و فیلم S۱)‏، نقاط قوت نسبی و محلی کشش و خمش را نشان می‌دهد (‏شکل ۱، D و E)‏، که به صورت جداگانه در آزمایش‌های ما قابل‌تشخیص نیستند. علاوه بر این، مدل کیرشهف نشان می‌دهد که چرا ملاحظات توپولوژیکی (‏۴)‏به تنهایی برای توضیح رفتارهای مکانیکی گره‌های جهان واقعی کافی نیستند (‏۲)‏: شل کردن یا سفت کردن یک تبدیل گره هر یک از افکنش های مسطح آن با توجه به توالی سه حرکت حفظ توپولوژی اولیه روی R1, R2 و R3 است (‏شکل ۱ F)‏. با وجود معادل توپولوژیکی، حرکت R۱ به لحاظ انرژی متمایز است چون شامل تغییرات اساسی در کشش است، در حالی که حرکات R۲ و R۳ به طور انرژی مطلوب حالت‌های نرم هستند (‏شکل ۱ F)‏، که نشان می‌دهد گره‌های فیزیکی ترجیحا توسط R1 و R2 شکل می‌گیرند. بنابراین، برای پیوند خواص فیزیکی فیبرهای پیچیده به توپولوژی آن‌ها، باید مفاهیم نظریه کلاسیک گره ریاضی (‏۴)‏ را با تیوری الاستیسیته (‏۵، ۶، ۹، ۳۰)‏ادغام کرد.​ ​

این متن ترجمه‌ای ‌خودکار از چکیده و بخشی از شرح مقاله Topological mechanics of knots and tangles چاپ‌شده در مجله Science به تاریخ ۳ ژانویه ۲۰۲۰ است.

برای ادامه مطالعه ترجمه این مقاله به صورت آنلاین و رایگان به این لینک مراجعه فرمایید.​ در صورت تمایل می‌توانید با سفارش ترجمه مقاله را نیز در بخش نظرات ثبت نمایید تا به رایگان ترجمه شود.