حرکت دادن اعداد برای پرده‌برداری از راز آنها!

منتشر‌شده در: مجله quanta به تاریخ ۲۲ فوریه ۲۰۲۱
لینک منبع: Mathematicians Set Numbers in Motion to Unlock Their Secrets

جوزف سیلورمن زمانی را به یاد می‌آورد که شروع به اتصال نقاطی کرد که در نهایت منجر به شاخه جدیدی از ریاضیات می‌شد: ۲۵ آوریل ۱۹۹۲، در کنفرانسی در کالج یونیون در شنکتدی نیویورک.

این اتفاق به طور تصادفی زمانی رخ داد که او در حال صحبت کردن با ریاضیدان آراسته، جان میلنور بود. موضوع میلنور حوزه‌ای به نام دینامیک پیچیده بود که سیلورمن چیزی از آن نمی‌دانست. اما همانطور که میلنور برخی از ایده‌های اساسی را معرفی کرد، سیلورمن شباهت قابل‌توجهی به حوزه نظریه اعداد در جایی که او متخصص بود، پیدا کرد.

او به یاد می‌آورد که با خودش فکر می‌کرد: « اگر شما فقط دو کلمه را تغییر دهید، یک مشکل مشابه وجود دارد.» سیلورمن، ریاضی‌دان در دانشگاه براون، با الهام‌گیری، از اتاق بیرون رفت. او روز بعد در طول صبحانه از میلنور سوالات بعدی پرسید و سپس شروع به پی‌گیری این قیاس کرد. هدف او ایجاد دیکشنری بود که بین سیستم‌های دینامیکی و نظریه اعداد ترجمه شود.

در نگاه اول، این دو مانند شاخه‌های غیرمرتبط ریاضی به نظر می‌رسند. اما سیلورمن متوجه شد که آن‌ها به شیوه‌ای خاص مکمل یکدیگر هستند. در حالی که نظریه اعداد به دنبال الگوهایی در توالی اعداد است، سیستم‌های دینامیکی در واقع توالی‌هایی از اعداد را تولید می‌کنند-مانند توالی‌هایی که موقعیت یک سیاره را در فضا در فواصل زمانی منظم تعریف می‌کنند. وقتی ریاضی‌دانان به دنبال الگوهای نظری عدد پنهان در این توالی‌ها هستند، این دو با هم ترکیب می‌شوند.

در دهه‌های پس از حضور سیلورمن در سخنرانی میلنور، ریاضی‌دانان به طور چشمگیری ارتباطات بین دو شاخه ریاضی را گسترش داده و پایه‌های یک زمینه کاملا جدید را ساخته‌اند: پویایی ریاضی. دسترسی به این زمینه همچنان رو به رشد است. در مقاله‌ای که سال گذشته در سال‌نامه‌های ریاضیات منتشر شد، سه نفر از ریاضی‌دانان این قیاس را به یکی از بلندپروازانه‌ترین و غیر‌منتظره‌ترین مکان‌ها گسترش دادند. برای انجام این کار، آن‌ها بخشی از یک مشکل چند دهه‌ای را در نظریه اعداد حل کردند که قبلا به نظر نمی‌رسید هیچ ارتباط روشنی با سیستم‌های دینامیکی داشته باشد.

اثبات جدید تعداد دفعاتی که یک نوع منحنی می‌تواند نقاط خاص را در یک فضای اطراف تقسیم کند را کمی می‌کند. پیش از این، نظریه‌پردازان این پرسش را مطرح کرده بودند که آیا بر روی تعداد تقاطع‌ها یک پوشش وجود دارد یا خیر. نویسندگان اثبات از دینامیک ریاضی استفاده کردند تا ثابت کنند که حد بالایی برای مجموعه خاصی از منحنی‌ها وجود دارد.

ما می‌خواستیم نظریه اعداد را درک کنیم. لورا دیمارکو، یک ریاضی‌دان در دانشگاه هاروارد و یکی از نویسندگان این مقاله به همراه هالی کریگر از دانشگاه کمبریج و هگزی یی از دانشگاه ژجیانگ گفت: « ما اهمیتی نمی‌دادیم که آیا یک سیستم دینامیکی وجود دارد یا خیر، اما از آنجا که یک سیستم دینامیکی وجود داشت، ما قادر به استفاده از آن به عنوان یک ابزار بودیم.»

ممکن است به مطالعه مقاله چرا باید یادگیری تقویتی را به جعبه‌ابزار علوم داده خود اضافه کنید؟ علاقمند باشید.

حرکت بر روی یک منحنی

در می ۲۰۱۰، گروهی از ریاضی‌دانان در یک موسسه تحقیقاتی کوچک در باربادوس گرد هم آمدند و در آنجا روزهای آفتابی را صرف بحث در مورد ریاضیات کردند در‌حالی‌که تنها چند متر با ساحل فاصله داشتند. حتی امکانات سخنرانی - بدون دیوار و نیمکت‌های چوبی ساده - آن‌ها را تا حد امکان به طبیعت نزدیک کرده بود.

سیلورمن گفت: « یک روز عصر وقتی باران می‌بارید، به دلیل باران روی سقف فلزی حتی نمی‌توانستید صدای مردم را بشنوید.» کنفرانس یک لحظه اساسی در توسعه دینامیک ریاضی بود. این نظریه، متخصصانی از نظریه اعداد، مانند سیلورمن، و سیستم‌های دینامیکی، مانند دی مارکو و کریگر را گرد هم آورد. هدف آن‌ها گسترش انواع مشکلاتی بود که می‌توان با ترکیب این دو دیدگاه به آن‌ها پرداخت.

نقطه شروع آن‌ها یکی از موضوعات اصلی در نظریه اعداد بود: منحنی‌های بیضوی. درست مانند دایره‌ها و خط s، منحنی‌های بیضوی هم شکل و هم عدد هستند. آن‌ها جفت اعداد x و y هستند که به عنوان راه‌حلی برای یک معادله جبری مانندy ۲= x ۳-۲ x عمل می‌کنند. نمودار این راه‌حل‌ها یک شکل هندسی ایجاد می‌کند که به طور مبهم شبیه یک خط عمودی است که یک حباب را بیرون می‌کشد.

ریاضی‌دانان از مدت‌ها پیش علاقمند به کمی کردن و طبقه‌بندی ویژگی‌های مختلف این منحنی‌ها بوده‌اند. برجسته‌ترین نتیجه تا به امروز، اثبات معروف ۱۹۹۴ اندرو ویلز از آخرین قضیه فرمات است، سوالی در مورد اینکه کدام معادلات راه‌حل‌هایی دارند که همه اعداد هستند. این اثبات به شدت بر مطالعه منحنی‌های بیضوی متکی بود. به طور کلی، ریاضی‌دانان بر روی منحنی‌های بیضوی تمرکز می‌کنند زیرا نقطه مطلوب تحقیق را اشغال می‌کنند: آن‌ها به اندازه کافی ساده نیستند که جزئی باشند و آنقدر سخت نیستند که مطالعه آن‌ها غیرممکن باشد.

مت بیکر، ریاضی‌دان موسسه فن‌آوری جورجیا گفت: « منحنی‌های بیضوی هنوز به اندازه کافی مرموز هستند که همیشه در حال تولید ریاضیات جدید باشند.» ریاضی‌دانان به طور خاص به نقاطی در منحنی‌های بیضوی علاقه‌مند هستند که مانند یک پایه اصلی برای یک راه خاص برای حرکت در اطراف منحنی‌ها عمل می‌کنند. در یک منحنی بیضوی، شما می‌توانید با استفاده از جمع استاندارد، نقاط را به یکدیگر اضافه کنید، اما این روش چندان مفید نیست: این مجموع به نظر نمی‌رسد که نقطه دیگری بر روی منحنی باشد.

اما منحنی‌های بیضوی با یک ساختار داخلی خاص بسته‌بندی می‌شوند که نوع متفاوتی از محاسبات را ایجاد می‌کند. این ساختار یک گروه نامیده می‌شود، و نتیجه جمع کردن نقاط با یکدیگر با استفاده از قوانین ریاضی جامع آن کاملا متفاوت است. اگر دو نقطه را بر روی یک منحنی بیضوی با توجه به ساختار گروه اضافه کنید، مجموع همیشه یک نقطه سوم بر روی منحنی است. و اگر شما این فرآیند را با اضافه کردن یک نقطه به خود ادامه دهید، نتیجه یک توالی نامحدود از نقاط است که همه در امتداد منحنی بیضوی قرار دارند.

نقاط شروع مختلف به توالی‌های متفاوتی منجر خواهند شد. نقاط «پایه خانگی» نقاط آغازین با ویژگی بسیار منحصر به فرد هستند. اگر شما به طور مکرر یکی از این نقاط را به خودش اضافه کنید، آن یک توالی نامحدود از نقاط جدید ایجاد نمی‌کند. در عوض، یک حلقه ایجاد می‌کند که به نقطه‌ای که با آن شروع کرده‌اید برمی‌گردد.

این مقادیر شروع خاص که حلقه‌ها را ایجاد می‌کنند نقاط پیچش نامیده می‌شوند. آن‌ها مرکز توجه نظریه‌پردازان اعداد هستند. آن‌ها همچنین تطابق قابل‌توجهی با نوع خاصی از نقطه در سیستم‌های دینامیکی دارند - و این تطابق بود که واقعا دینامیک ریاضی را در حرکت قرار داد.

کریگر گفت: « این واقعا اساس این است که چرا این حوزه به یک زمینه (رشته) تبدیل شده است.»

شاید مطالعه مقاله اعلام بهترین مقالات کنفرانس AAAI در سال ۲۰۲۱ برای شما جالب باشد.

الگوهای تکرار

سیستم‌های دینامیک اغلب برای توصیف پدیده‌های دنیای واقعی به کار می‌روند که با توجه به یک قانون تکراری، مانند کمانه کردن یک توپ بیلیارد مطابق با قوانین نیوتن، در زمان به جلو حرکت می‌کنند. شما با یک مقدار شروع می‌کنید، آن را به یک تابع وصل می‌کنید، و یک خروجی می‌گیرید که ورودی جدید شما می‌شود.

برخی از جالب‌ترین سیستم‌های دینامیکی توسط توابعی مانند f (x) = x ۲-۱ هدایت می‌شوند، که با تصاویر مقطعی پیچیده معروف به مجموعه‌های جولیا در ارتباط هستند. اگر شما از اعداد مختلط (اعداد با یک بخش حقیقی و یک بخش موهومی) استفاده کنید و تابع را بارها و بارها به کار ببرید و هر خروجی را به عنوان ورودی بعدی به تابع بازخورد دهید - شما یک دنباله از نقاط را در صفحه مختلط تولید می‌کنید.

این فقط یک مثال از چیزی است که یک چند جمله‌ای درجه‌دوم نامیده می‌شود، که در آن متغیر به توان دوم افزایش می‌یابد. چند جمله‌ای‌های کوادراتیک پایه و اساس تحقیق در سیستم‌های دینامیکی هستند، درست همانطور که منحنی‌های بیضوی تمرکز بسیاری از پرس‌و‌جوهای اساسی در نظریه اعداد هستند.

بیکر گفت: « چند جمله‌ای‌های کوادراتیک [ در سیستم‌های دینامیکی ] نقش مشابهی به عنوان منحنی‌های بیضوی در نظریه اعداد ایفا می‌کنند.» « آن‌ها زمینه‌ای هستند که ما همیشه به نظر می‌رسد به آن باز می‌گردیم تا واقعا چیزی را اثبات کنیم.»

سیستم‌های دینامیک توالی‌های اعداد را هنگامی که تکامل می‌یابند تولید می‌کنند. برای مثال تابع درجه‌دوم f (x) = x ۲-۱ را در نظر بگیرید. اگر با مقدار x = ۲ شروع کنید، توالی نامحدود ۲، ۳، ۸، ۶۳ و غیره را تولید می‌کنید. اما همه مقادیر اولیه یک سری را ایجاد نمی‌کنند که برای همیشه بزرگ‌تر شوند. اگر با x = ۰ شروع کنید، همان تابع یک نوع توالی بسیار متفاوت تولید می‌کند: ۰، ۱ -، ۰، ۱ -، ۰ و غیره.

به جای یک رشته نامحدود از اعداد مجزا، شما در یک حلقه بسته کوچک به پایان می‌رسید. در دنیای سیستم‌های دینامیکی، نقاط آغازی که توالی‌های آن‌ها در نهایت تکرار می‌شوند، نقاط مدار محدود نامیده می‌شوند. آن‌ها آنالوگ مستقیم نقاط پیچش بر روی منحنی‌های بیضوی هستند. در هر دو مورد، شما با یک مقدار شروع می‌کنید، قوانین سیستم یا منحنی را اعمال می‌کنید، و در نهایت به یک چرخه می‌رسید.

این قیاسی است که سه ریاضی‌دان در اثبات جدید خود از آن بهره می‌برند. دی مارکو گفت: « این مشاهده ساده -که نقاط پیچش بر روی منحنی بیضوی همانند نقاط مدار محدود برای یک سیستم دینامیکی خاص هستند- چیزی است که ما در مقاله خود بارها و بارها استفاده می‌کنیم.»

تنظیم سقف

کریگر و یی هر دو در سال ۲۰۱۳ تحت نظارت دی مارکو از دانشگاه ایلینویز شیکاگو دکتری دریافت کردند. این سه نفر مجددا در آگوست ۲۰۱۷ در موسسه ریاضیات آمریکا در سن خوزه کالیفرنیا گرد هم آمدند که میزبان برنامه‌های تحقیقاتی فشرده و کوتاه‌مدت بود.

او گفت: ما پنج روز در یک اتاق ماندیم. ما باید از طریق چند سوال کار می‌کردیم.

در طول این دوره، آن‌ها شروع به تصور راهی برای گسترش قیاس حیاتی بین نقاط پیچش منحنی‌های بیضوی و نقاط مدار محدود سیستم‌های دینامیکی کردند. آن‌ها می‌دانستند که می‌توانند یک مساله ظاهرا نامربوط را به مساله‌ای تبدیل کنند که در آن قیاس به طور مستقیم قابل‌اجرا باشد. این مشکل از چیزی به نام حدس مانین-مامفورد ناشی می‌شود.

حدس مانین-مامفورد در مورد منحنی‌هایی است که پیچیده‌تر از منحنی‌های بیضوی هستند، مانند y ۲ = x ۶ + x ۴ + x ۲-۱. هر یک از این منحنی‌ها با یک شی هندسی بزرگ‌تر به نام ژاکوبین همراه است که ویژگی‌های خاصی از منحنی را تقلید می‌کند و اغلب برای ریاضی‌دانان مطالعه آن آسان‌تر از خود منحنی است.

برخلاف منحنی‌های بیضوی، این منحنی‌های پیچیده‌تر ساختار گروهی ندارند که امکان اضافه کردن نقاط بر روی یک منحنی را برای به دست آوردن نقاط دیگر بر روی منحنی فراهم کند. اما ژاکوبن‌های همراه این کار را می‌کنند. ژاکوبین‌ها همچنین نقاط پیچش دارند، درست مانند منحنی‌های بیضوی، که تحت جمع داخلی تکرار شده به خود برمی‌گردند.

حدس مانین-مامفورد مربوط به این است که چند بار یکی از این منحنی‌های پیچیده، که در داخل ژاکوبین خود قرار دارد، نقاط پیچش ژاکوبین را قطع می‌کند. پیش‌بینی می‌کند که این تقاطع‌ها تنها به طور متناهی چندین بار رخ می‌دهند. این حدس، رابطه متقابل بین طبیعت جبری یک منحنی (به گونه‌ای که نقاط پیچش راه‌حل‌های خاصی برای معادلات تعریف‌کننده منحنی هستند) و زندگی آن به عنوان یک شی هندسی را منعکس می‌کند (منعکس‌کننده این است که چگونه این منحنی در داخل ژاکوبین خود قرار گرفته است، مانند یک شکل در داخل دیگری). نقاط ژیچش در هر منطقه از ژاکوبین شلوغ هستند. اگر بر روی هر قسمت کوچکی از آن زوم کنید، آن‌ها را پیدا خواهید کرد. اما حدس مانین-مامفورد پیش‌بینی می‌کند که به طرز شگفت‌انگیزی، منحنی جا افتاده هنوز هم تعداد محدودی از آن‌ها را از دست می‌دهد.

در سال ۱۹۸۳، میشل راینو این حدس را درست اثبات کرد. از آن زمان، ریاضی‌دانان سعی کرده‌اند نتیجه او را ارتقا دهند. به جای این که فقط بدانند تعداد تقاطع‌ها محدود است، دوست دارند بدانند که تعداد تقاطع‌ها کم‌تر از یک مقدار خاص است.

حالا که شما می‌دانید که آن‌ها تنها نقاط مشترک بسیار زیادی دارند، پس هر ریاضی‌دانی که ملاقات می‌کنید می‌گوید، خب، چند عدد؟ اما تلاش برای شمارش نقاط تقاطع به دلیل فقدان چارچوب روشنی که در آن به اعداد پیچیده‌ای که این نقاط را تعریف می‌کنند فکر کنیم، متوقف شد. پویایی حساب و کتاب به ارائه یکی از آن‌ها ختم شد.

انتقال مساله

در مقاله سال ۲۰۲۰ آن‌ها، دی مارکو، کریگر و یه ثابت کردند که یک حد بالایی روی شماره تقاطع برای یک خانواده از منحنی‌ها وجود دارد. یک مقاله جدیدتر توسط یک ریاضی‌دان دیگر به نام لارس کوهنه از دانشگاه کپنهاگ، مدرکی را ارائه می‌دهد که حد بالایی را برای تمام منحنی‌ها ایجاد می‌کند. این مقاله در اواخر ژانویه پست شد و به طور کامل بررسی نشده است.

نتیجه قبلی راینو به سادگی ثابت کرد که تعداد تقاطع‌ها محدود است - اما فضا را برای آن عدد متناهی به اندازه‌ای که ممکن است بخواهید، باقی گذاشت (به این معنا که همیشه می‌توانید یک عدد متناهی بزرگ‌تر بسازید). اثبات جدید این سه نفر چیزی را ایجاد می‌کند که یک حد یکنواخت نامیده می‌شود، یک محدودیت در این که این تعداد محدود از تقاطع‌ها چقدر می‌توانند بزرگ باشند. دی مارکو، کریگر و یی آن ژوشش را دقیقا شناسایی نکردند، اما آن‌ها ثابت کردند که آن وجود دارد، و همچنین یک سری مراحل طولانی که کار آینده می‌تواند برای محاسبه تعداد انجام دهد را شناسایی کردند.

اثبات آن‌ها متکی بر ویژگی منحصر به فرد ژاکوبین مرتبط با این خانواده خاص از منحنی‌ها است: آن‌ها را می‌توان به دو منحنی بیضوی تقسیم کرد.

منحنی‌های بیضوی که ژاکوبن‌ها را تشکیل می‌دهند، راه‌حل‌های خود را از اعداد مختلط می‌گیرند، که به گراف‌های آن‌ها ظاهری گرد‌تر از گراف‌های منحنی‌های بیضوی می‌دهد که راه‌حل‌های آن‌ها از اعداد واقعی می‌آیند. به جای یک خط کج و معوج، آن‌ها شبیه سطح یک دونات به نظر می‌رسند. خانواده خاصی از منحنی‌ها که دی مارکو، کریگر و یه مطالعه کردند، ژاکوبن‌هایی دارند که شبیه دونات دو سر هستند. آن‌ها به خوبی به دو دونات منظم تقسیم می‌شوند که هر کدام نمودار یکی از دو منحنی بیضوی تشکیل‌دهنده است.

کار جدید بر روی نقاط پیچش آن منحنی‌های بیضوی تمرکز می‌کند. سه ریاضی‌دان می‌دانستند که تعدادی که آن‌ها به آن علاقه‌مند بودند -تعداد نقاط تقاطع بین منحنی‌های پیچیده و نقاط پیچش ژاکوبن‌های آن‌ها- می‌تواند از نظر تعداد دفعاتی که نقاط پیچش از یکی از آن منحنی‌های بیضوی با نقاط پیچش از طرف دیگر همپوشانی دارند، شکست بخورد. بنابراین، برای محدود کردن حدس مانین مامفورد، تمام کاری که نویسندگان باید می‌کردند این بود که تعداد تقاطع‌های بین آن نقاط پیچش را بشمارند.

می‌دانستند که این کار را نمی‌توان به طور مستقیم انجام داد. دو منحنی بیضوی و نقاط پیچش آن‌ها را نمی‌توان بلافاصله مقایسه کرد زیرا آن‌ها لزوما هم‌پوشانی ندارند. نقاط پیچش بر روی سطوح منحنی‌های بیضوی پاشیده می‌شوند، اما دو منحنی ممکن است شکل‌های بسیار متفاوتی داشته باشند. مانند مقایسه نقاط روی سطح یک کره با نقاط روی سطح یک مکعب است - نقاط می‌توانند موقعیت‌های نسبی مشابهی بدون هم‌پوشانی داشته باشند.

کریگر گفت: « شما واقعا نمی‌توانید نقاط روی این منحنی‌های بیضوی را مقایسه کنید، چون آن‌ها در مکان‌های مختلف هستند؛ آن‌ها بر روی اشیا هندسی مختلف زندگی می‌کنند.»

اما در‌حالی‌که نقاط پیچش لزوما با هم هم‌پوشانی ندارند، ممکن است به جفت آن‌ها به عنوان موقعیت نسبی یکسان در هر دونات نگاه کنیم. و جفت نقاط پیچش که موقعیت نسبی مشابهی را در دونات مربوطه خود اشغال می‌کنند را می‌توان به عنوان تقاطع در نظر گرفت. به منظور تعیین دقیق محل وقوع این تقاطع‌ها، نویسندگان باید نقاط پیچش را از روی منحنی‌های مربوطه خود بلند کرده و آن‌ها را روی یکدیگر منتقل می‌کردند - تقریبا همان‌طور که شما یک نمودار ستاره‌ای را برای آسمان شب تنظیم می‌کردید.

ریاضی‌دانان در مورد این نمودارهای ستاره‌ای می‌دانستند، اما چشم‌انداز خوبی نداشتند که به آن‌ها اجازه دهد نقاط هم‌پوشان را بشمارند. دی مارکو، کریگر و یو آن را با استفاده از دینامیک ریاضی مدیریت کردند. آن‌ها دو منحنی بیضوی را به دو سیستم دینامیکی مختلف ترجمه کردند. دو سیستم دینامیکی نقاط تولید شده در فضای واقعی یکسان، صفحه پیچیده.

دی مارکو گفت: « فکر کردن به یک فضا با دو سیستم دینامیکی مجزا در مقابل دو فضای مجزا با یک سیستم دینامیکی آسان‌تر است.»

نقاط مدار محدود دو سیستم دینامیکی با نقاط پیچش منحنی‌های بیضوی مربوطه مطابقت دارد. اکنون، برای محدود کردن حدس مانین-مامفورد، ریاضی‌دانان فقط باید تعداد دفعاتی را که این نقاط محدود مداری با هم هم‌پوشانی دارند را بشمارند. آن‌ها از تکنیک‌های سیستم‌های دینامیکی برای حل مساله استفاده کردند.

شاید مطالعه مقاله ۶ مثال‌ سوال و جواب برای بهبود مهارت‌های SQL شما برای شما مفید باشد.

شمردن اورلپ (هم‌پوشانی)

به منظور شمارش تعداد هم‌پوشانی‌ها، دمارکو، کریگر و یی به ابزاری تبدیل شدند که میزان رشد یک نقطه اولیه را با اضافه شدن مکرر آن به خود اندازه‌گیری می‌کند. نقاط پیچش بر روی منحنی‌های بیضوی هیچ رشد یا تغییر بلند مدت ندارند، زیرا آن‌ها به خود دایره می‌زنند. ریاضیدانان این رشد یا فقدان آن را با استفاده از یک «تابع ارتفاع» اندازه‌گیری می‌کنند. این مقدار وقتی به نقاط پیچش منحنی‌های بیضوی اعمال می‌شود برابر با صفر است. به طور مشابه، زمانی که به نقاط مدار محدود سیستم‌های دینامیکی اعمال می‌شود برابر با صفر است. توابع ارتفاع یک ابزار ضروری در دینامیک ریاضی هستند زیرا می‌توانند در هر دو طرف تقسیم بین دو شاخه مورد استفاده قرار گیرند.

نویسندگان مطالعه کردند که چگونه اغلب نقاط ارتفاع صفر برای سیستم‌های دینامیکی نشان‌دهنده منحنی‌های بیضوی هم‌زمان می‌شوند. آن‌ها نشان دادند که این نقاط به اندازه کافی در اطراف صفحه پیچیده پراکنده هستند به طوری که بعید است با هم منطبق شوند - در واقع، بسیار بعید است که نتوانند این کار را بیش از چند بار انجام دهند.

محاسبه این عدد دشوار است، و احتمالا بسیار بزرگ‌تر از تعداد واقعی نقاط همزمان است، اما نویسندگان ثابت کردند که این سقف سخت وجود دارد. آن‌ها سپس مساله را به زبان نظریه اعداد ترجمه کردند تا حداکثر تعداد نقاط پیچش مشترک را بر روی دو منحنی بیضوی تعیین کنند - کلید سوال اصلی آن‌ها و نمایش تحریک‌آمیز قدرت دینامیک ریاضی.

پاتریک این گرام از دانشگاه یورک در تورنتو گفت: « آن‌ها قادر به پاسخگویی به یک سوال خاص هستند که در حال حاضر فقط در چارچوب نظریه اعداد وجود دارد و هیچ‌کس فکر نمی‌کند هیچ ارتباطی با سیستم‌های دینامیکی داشته باشد.» « این موضوع توجه زیادی را به خود جلب کرد.»

مدت کوتاهی پس از این که دمارکو، کریگر و یه برای اولین بار مدرک خود را از یک باند یکنواخت برای حدس مانین-مامفورد ارسال کردند، یک مقاله مرتبط دیگر منتشر کردند. کار پی‌گیری در مورد یک سوال در سیستم‌های دینامیکی است، به جای نظریه اعداد، اما از روش‌های مشابه استفاده می‌کند. از این نظر، این دو مقاله محصول اصلی قیاس سیلورمن هستند که تقریبا ۳۰ سال پیش متوجه آن شده بود.

دی مارکو گفت: « از برخی جهات، این همان بحثی است که برای دو خانواده مختلف از نمونه‌ها به کار رفته است.»

این دو مقاله بسیاری از ایده‌هایی را که ریاضی‌دانان در دینامیک ریاضی در طول سه دهه گذشته توسعه داده‌اند و در عین حال تکنیک‌های کاملا جدیدی را نیز به آن اضافه کرده‌اند، ترکیب کرده‌اند. اما سیلورمن با اشاره به نفوذ گسترده‌تری برای نظم جدید، روزنامه‌ها را بیش از حد قطعی پیشنهاد می‌کند.

سیلورمن گفت: « قضایای خاص موارد خاصی از آنچه که فرضیات بزرگ باید باشند هستند.» « اما حتی آن قضایای فردی هم واقعا، واقعا و واقعا زیبا هستند.»

این متن با استفاده از ربات ترجمه مقالات ریاضیات ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.

مقالات لینک‌شده در این متن می‌توانند به صورت رایگان با استفاده از مقاله‌خوان ترجمیار به فارسی مطالعه شوند.