ریاضیات اسرارآمیز اعداد کامل

منتشر‌شده در: quantamagazine به تاریخ ۱۵ مارس ۲۰۲۱
لینک منبع The Mysterious Math of Perfection

لبخند مونا لیزا. طاق المپیک ماری‌لو رتون. تبلیغ موسیقی ماریا کری. همه آن‌ها عالی در نظر گرفته می‌شوند. اعداد ۶ و ۲۸ هم همینطور.در هنرنمایی و ورزش، کمال در چشم بیننده است. اما برای اعداد، کمال از نظر ریاضی تعریف می‌شود. اعداد صحیح برابر است با مجموع مقسوم‌علیه‌های صحیح آن‌ها (اعداد صحیح مثبت که یک عدد را به طور مساوی تقسیم می‌کنند، بدون اینکه خود را بشمارند). برای مثال ۶ = ۳ + ۲ + ۱ و ۲۸ = ۱۴ + ۷ + ۴ + ۲ + ۱. در‌حالی‌که این تفاوت‌های ریاضی به احتمال زیاد دیوارهای لوور را به همان اندازه که برای اجرای یک طرح مارپیچ معلق هستند، زیبا می‌کنند، چیزی مقاومت ناپذیر ارائه می‌دهند: یک راز کامل.

اقلیدس اصول اولیه اعداد کامل را بیش از ۲۰۰۰ سال پیش بیان کرد، و او می‌دانست که چهار عدد کامل اول ۶، ۲۸، ۴۹۶ و ۸۱۲۸ هستند. از آن زمان به بعد، تعداد بسیار بیشتری از آن‌ها کشف شده‌اند. اما، با کنجکاوی، همه آن‌ها زوج هستند. هیچ‌کس نتوانسته است یک عدد کامل فرد پیدا کند، و بعد از هزاران سال جستجوی ناموفق، ممکن است این نتیجه‌گیری وسوسه‌کننده باشد که اعداد کامل فرد وجود ندارند. اما ریاضی‌دانان هم نتوانسته‌اند این مساله را ثابت کنند. چگونه می‌توانیم این همه چیز را درباره اعداد کامل بدانیم بدون اینکه بتوانیم به ساده‌ترین سوال در مورد اعداد فرد پاسخ دهیم؟ و ریاضی‌دانان مدرن چگونه تلاش می‌کنند این سوال قدیمی را حل کنند؟

کشف ما از کمال ریاضی با الهامات آغاز می‌شود. می‌دانیم که ۶یک مقسوم‌علیه ۱۲ است، $latex \frac{12}{6}$ = 2 و می‌دانیم که ۲۵ یک مقسوم‌علیه ۱۰۰ است، $latex \frac{100}{25}$ = 4 زیرا همانطور که گفتیم، می‌دانیم که یک عدد زمانی کامل است که برابر با مجموع مقسوم‌علیه مناسب خود باشد - آن مقسوم‌علیه که کم‌تر از خود عدد هستند. ما همچنین می‌توانیم یک عدد را به عنوان یک عدد کامل تعریف کنیم هنگامی که مجموع تمام مقسوم‌علیه‌های آن، مناسب و نامناسب، دو برابر تعداد باشد. این به این دلیل جواب می‌دهد که تنها مقسوم‌علیه نامناسب یک عدد، خود عدد است. می‌بینیم که ۲۸هنوز هم با این تعریف کامل است: مقسوم‌علیه‌های مناسب آن ۱، ۲، ۴، ۷ و ۱۴ هستند، مقسوم‌علیه‌های نامناسب آن ۲۸ است، و مجموع تمام مقسوم‌علیه‌های آن، ۱ + ۲ + ۴ + ۷ + ۱۴ + ۲۸، ۵۶ است، که ۲ * ۲۸ است. قرار دادن مقسوم‌علیه‌های نامناسب در جمع برای برخی از عملیات جبری ما با اعداد کامل انجام خواهیم داد، همانطور که به زودی خواهیم دید منطقی خواهد بود.

ممکن است علاقمند به مطالعه مقاله آیا نیروی جاذبه ریشه در ذرات کوانتومی دارد؟ باشید.

وقتی با اعداد کامل کار می‌کنیم به این نتیجه می‌رسیم که «مجموع مقسوم‌علیه های یک عدد» خیلی زیاد است، بنابراین ریاضی‌دانان با تبدیل این به یک تابع، کارها را آسان‌تر می‌کنند. ما σ (n) ، یا «سیگما n» را به عنوان مجموع مقسوم‌علیه‌های n تعریف می‌کنیم. ما از قبل می‌دانیم که σ (۲۸) = ۵۶. برخی مثال‌های دیگر: σ (۱) = ۱، σ (۶) = ۱ + ۲ + ۳ + ۶ = ۱۲، و σ (۱۰) = ۱+ ۲+ ۵+ ۱۰ = ۱۸. توجه داشته باشید که ۶ عدد کامل است، چون σ (۶) = ۲ * ۶ است، اما ۱و ۱۰ نیستند. همانطور که خواهیم دید، این تابعσ برخی ویژگی‌های خاص دارد که برای مطالعه اعداد کامل عالی هستند.

بنابراین ما تعریف اساسی خود از اعداد کامل و یک ابزار ریاضی جدید برای کمک به پیدا کردن آن‌ها را داریم. کجا را باید جستجو کنیم؟ ما از جایی شروع می‌کنیم که ریاضی‌دانان همیشه هنگام مطالعه اعداد و الگوهای آن‌ها شروع می‌کنند: نخستی‌ها (اعداد اول).

یک عدد اول، طبق تعریف، تنها به خودی خود قابل تقسیم بر خود و ۱ است . این امر محاسبه σ برای یک عدد اول را کاملا آسان می‌کند: σ (۲) = ۱ + ۲ = ۳، σ (۳) = ۱+ ۳= ۴، σ (۵) = ۱ + ۵ = ۶، و σ (۷) = ۱+ ۷= ۸. به طور کلی، برای هر عدد اولp، σ (p) = ۱ + p.

آیا یک عدد اول می‌تواند کامل باشد؟ فقط اگر σ (p) = ۱+ p = ۲p. بخش کوچکی از جبر به ما می‌گوید که این درست خواهد بود اگر p = ۱ باشد، اما از آنجایی که اعداد اول طبق تعریف بزرگ‌تر از ۱ هستند، هیچ عدد اول نمی‌تواند کامل باشد. بنابراین می‌دانیم که اول‌ها نمی‌توانند کامل باشند. بعد باید کجا را نگاه کنیم؟

توان‌های اعداد اول-اعداد ۲۴، ۵۳ یا ۱۱۳۶-قدم بعدی خوبی هستند، زیرا سازمان‌دهی مقسوم‌علیه‌هایشان آسان است. یک توان اول مانند ۱۶ یا ۲۴ را در نظر بگیرید. تنها مقسوم‌علیه‌های ۲۴، توان‌های ۲ تا ۲۴ هستند: ۲۰ = ۱، ۲۱ = ۲، ۲۲ = ۴، ۲۳ = ۸، ۲۴ = ۱۶.

بنابراین σ (۲۴) را می‌توان به این صورت محاسبه کرد:

σ(24) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

و این باعث عمومی شدن قضیه برای هر توان اول Pn می‌شود:

σ(pn) = 1 + p + p2 + p3 + … + pn.

اگر از یک فرمول از کلاس جبری استفاده کنیم، این کار حتی راحت‌تر هم می‌شود. توجه داشته باشید که هر یک از عبارات اضافه‌شده در σ (pn) p برابر عبارت قبلی است. این یک سری به اصطلاح هندسی است، و فرمول خوبی برای مجموع یک سری هندسی وجود دارد:

1 + p + p2 + p3 +…+ pn = $latex \frac{p^{n+1}-1}{p-1}$.

به لطف فرمول مجموعه هندسی، لازم نیست تمام مقسوم‌علیه‌های pn را برای محاسبهσ (pn) لیست کنیم. ما فقط می‌توانیم از این فرمول استفاده کنیم:

σ(pn) = 1 + p + p2 + p3 +…+ pn = $latex \frac{p^{n+1}-1}{p-1}$.

برای مثال، ما قبلا این را دیده‌ایم.

σ(24) = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 = $latex \frac{2^{5}-1}{2-1}$ = $latex \frac{32-1}{1}$ = 31.

و ما می‌توانیم مجموع مقسوم‌علیه‌های توان‌های بزرگ دیگر را با وصل کردن آن‌ها به فرمول محاسبه کنیم:

σ(27) = σ(33) = $latex \frac{3^{4}-1}{3-1}$ = $latex \frac{81-1}{2}$ = 40

و

σ(121) = σ(112) = $latex \frac{11^{3}-1}{11-1}$ = $latex \frac{1331-1}{10}$ = 133.

توجه داشته باشید که هیچ یک از این توان‌های اول شرایط کامل بودن را برآورده نمی‌کنندσ(۲۴) ≠ ۲ × ۲۴ , σ(۳۳) ≠ ۲ × ۳۳ و σ(۱۱۲) ≠ ۲× ۱۱۲ در واقع هیچ توان اولی نمی‌تواند کامل باشد. برای گرفتن یک عدد کامل ما بهσ (pn) = ۲pn نیاز داریم، که به این معنی است:

1 + p + p2 + p3 + … + pn-1 + pn = 2pn.

ما می‌توانیم از هر دو طرف معادله، Pn را کم کنیم تا به ما بدهد:

1 + p + p2 + p3 + … + pn-1 = pn.

حال از فرمول سری هندسی در سمت چپ این معادله استفاده می‌کنیم:

1 + p + p2 + p3 + … + pn-1 = $latex \frac{p^{n}-1}{p-1}$

در نتیجه:

$latex \frac{p^{n}-1}{p-1}$ = pn.

ما به این نیاز داریم که این برای«pn» درست باشد تا کامل باشد اما توجه داشته باشید که Pn-۱ کوچک‌تر از Pn است و تقسیمPn-۱ به P-۱ آن را حتی کوچک‌تر می‌کند، بنابراین

$latex \frac{p^{n}-1}{p-1}$ < pn.

و در نتیجه هیچ توان اولیه pn نمی‌تواند کامل باشد.

بنابراین هیچ عدد اول کاملی وجود ندارد، و هیچ توان برتر کاملی وجود ندارد. چه عددی می‌تواند کامل باشد؟ خوب، ما می‌دانیم که ۲۸کامل است، و این محصول دو توان اول متمایز است: ۲۸ = ۲۲ × ۷.

هر عددی که یک توان اول یا یک توان اول نباشد را می‌توان به عنوان محصول توان‌های اول متمایز مانند این نوشت. و این فاکتورها، همراه با ویژگی خاص تابع σ، می‌توانند به ما در تعیین این که آیا یک عدد کامل است یا نه، کمک کنند.

ما از قبل می‌دانیم که σ (۲۸) = ۱ + ۲ + ۴ + ۷ + ۱۴ + ۲۸، اما بیایید نگاه دقیق تری به این جمع بیندازیم. توجه داشته باشید که هر یک از سه عدد آخر چند برابر ۷ است:

ما می‌توانیم ۷ فاکتوریل را مشخص کنیم تا برخی از ساختارهای پنهان را آشکار کند:

σ(28) = (1 + 2 + 4) + 7 × (1 + 2 + 4).

و با کمی توضیح زیرکانه‌تری درباره مالکیت توزیعی، می‌توانیم بنویسیم:

σ(28) = (1 + 2 + 4)(1 + 7).

این چیزی را به ما نمی‌گوید که قبلا نمی‌دانستیم: σ (۲۸) = (۱+ ۲+ ۴) (۱+ ۷) = ۷* ۸= ۵۶، که تایید می‌کند که ۲۸ عالی است. اما نکته مهمی در این ضرب وجود دارد:

$latex \begin{aligned}σ(28) &= (1 + 2 + 4) (1 + 7)\\&= (1 + 2^1 + 2^2)(1 + 7^1).\end{aligned}$

این عبارات در پرانتز آشنا به نظر می‌رسند: ۱ + ۲۱ + ۲۲ = σ(۲۲) و ۱ + ۷۱ = σ(۷) این بدان معنی است که ما می‌توانیم در واقع بنویسیم:

σ(28) = σ(22)σ(7).

برای محاسبه σ(۲۸) = σ(۲۲ × ۷) در واقع می‌توانیم σ(۲۲) و σ(۷) را محاسبه و آن‌ها را ضرب کنیم. این یک شگفتی است، و به طور کلی درست است: هر زمانی که شما یک عدد را به اعداد اول مانند این اضافه می‌کنید، می‌توانید از این میان‌بر برای محاسبه σ استفاده کنید. به عنوان مثال، از آنجایی که ۱۰۰ = ۲۲ * ۵۲ است، می‌توانیم σ (۱۰۰) مانند این را محاسبه کنیم:

σ(100) = σ(22)σ(52) = (1 + 2 + 4)(1 + 5 + 25) = 7 × 31 = 217,

این کار کمی آسان‌تر از لیست کردن همه نه نفر از صد نفر و جمع کردن آن‌ها است.

شاید مطالعه مقاله دانشمندان یک مولد اعداد تصادفی با استفاده از لیزر فوق‌سریع ساختند. برای شما جذاب باشد.

چرا این کار جواب می‌دهد؟ خب، مقسوم‌علیه‌ها یک عدد از عوامل اصلی آن هستند. ۲۸ را دوباره در نظر بگیرید، که نتیجه ۲۲ و ۷ است، و در مورد جدول ضرب زیر فکر کنید:

در امتداد بالا توان‌‌های ۲ هستند که به طور مساوی ۲۸ را تقسیم می‌کنند و در سمت پایین توان‌های ۷ هستند که به طور مساوی ۲۸ را تقسیم می‌کنند. توجه کنید که وقتی این جدول ضرب را پر می‌کنیم، چه اتفاقی می‌افتد.

ما همه مقسوم‌علیه‌های ۲۸ را می‌گیریم. علت آن این است که هر مقسم ۲۸ ترکیبی از مقسم ۲۲ و ۷ است، توان‌های اول که در فاکتور ۲۸ ظاهر می‌شوند. حال جدول ضرب را با عبارت مقایسه کنید (۱ + ۲ + ۴)(۱ + ۷).

زمانی‌که ما این را با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب می‌کنیم، این نیز تمام مقسوم‌علیه‌های ۲۸ را تولید می‌کند و سپس آن‌ها را اضافه می‌کند:

(1 + 2 + 4)(1 + 7) = 1 × 1 + 2 × 1 + 4 × 1 + 7 × 1 + 7 × 2 + 7 × 4.

به عبارت دیگر (۱ + ۲ + ۴)(۱ + ۷) دقیقا برابر است با σ(۲۸). اما σ(۲۲)σ(۷) = σ(۲۸) بنابراین σ(۲۲)σ(۷) = σ(۲۸). این مثال یک واقعیت بسیار مفید در موردσ را نشان می‌دهد: در زبان نظریه اعداد، این تابع «میان ضربی» است. این بدان معنی است که σ (ab) = σ (a) σ (b) هر زمان که اعداد a و b نسبتا اول هستند، به این معنی که هیچ عاملی مشترک ندارند.

این ویژگی خاص σ است که برای کمک به مطالعه اعداد کامل عالی است. اقلیدس از این واقعیت ۲۰۰۰ سال پیش برای ایجاد یک فرمول برای یافتن اعداد کامل استفاده کرد، با کمک نوع خاصی از اولین‌ها و یک استدلال هوشمندانه در مورد محصولات و مقسوم‌علیه‌ها. با انجام این کار، او اولین قدم را به سمت تعیین این که هر عدد حتی کامل باید چه شکلی باشد، برداشت. ببینیم چطور این کار را کرده است.

اول، توجه داشته باشید که برای هر توان ۲ تایی که داریم

σ(2k) = $latex \frac{2^{k+1}-1}{2-1}$ = 2k+1 – 1.

این نتیجه فرمول سری هندسی است که قبلا بحث کردیم. حال آزمایش فکری زیر را در نظر بگیرید: چه می‌شود اگر ۲ k + ۱-۱ اول باشد؟ خب، از آنجا که σ (p) = ۱ + p برای هر عدد اول، می‌دانیم که σ(2k+1 – 1) = 1 + 2k+1 – 1 = 2k+1 و توجه کنید که دقیقا 2k+1 دو برابر ۲ k است، به دلیل قانون توان‌های که می‌گوید2 × 2k = 2k+1بنابراین ما دو رابطه جالب زیر را بین اعداد 2k و 2k+1 – 1 داریم:

σ(2k) = 2k+1 – 1

و

σ(2k+1 – 1) = 2k+1 = 2 × 2k.

اقلیدس متوجه یک راه هوشمندانه برای استفاده از این روابط شد: او دو عدد را کنار هم گذاشت تا عددM = 2k × (2k+1 – 1) را بسازد، و تا زمانی که (2k+1 – 1) اول است، این عدد کامل است! برای دیدن این موضوع، ماσ (M) را محاسبه کرده و نشان می‌دهیم که برابر با ۲M است.

اول، توجه داشته باشید که 2k+1 – 1 یک عدد کم‌تر از یک عدد زوج است بنابراین باید فرد باشد. این بدان معنی است که 2k+1 – 1 توسط ۲ قابل تقسیم نیست. اما ۲k تنها توسط توان‌های ۲k قابل تقسیم است. بنابراین ۲k و 2k+1 – 1

هیچ عامل مشترکی ندارند و بنابراین نسبتا اول هستند. این به ما اجازه می‌دهد تا از ویژگی ضرب پذیر σ استفاده کنیم:

ما از قبل می‌دانیم کهσ(2k) = 2k+1 – 1 و σ (σ(2k+1 – 1) = 2k+1 = 2 × 2k بنابراین می‌توانیم σ (M) را پیدا کنیم:

$latex \begin{aligned}\sigma(M)&=\sigma\left(2^{k} \times\left(2^{k+1}-1\right)\right)\\&=\sigma\left(2^{k}\right) \sigma\left(2^{k+1}-1\right)\\&=\left(2^{k+1}-1\right)\left(2 \times 2^{k}\right)\\&=\left(2 \times 2^{k}\right)\left(2^{k+1}-1\right)\\&=2\left(2^{k} \times\left(2^{k+1}-1\right)\right)\\&=2(M).\end{aligned}$

بنابراین، همانطور که گفته شد، M = 2k × (2k+1 – 1) کامل است.

به خاطر داشته باشید که این مسئله به این فرض بستگی دارد که عدد ۲k + ۱-۱ اول است. این اعداد اول‌های مرسن نامیده می‌شوند، و شما ممکن است از آن‌ها به دلیل جستجوی بزرگ مرسن اینترنت (GIMPS)، یک تلاش محاسباتی آنلاین مشترک برای پیدا کردن نخستی‌های مرسن بزرگ شنیده باشید. هر زمان که در مورد کشف بزرگ‌ترین عدد اول جدید می‌شنوید، این احتمالا نتیجه GIMPS است. و به لطف اثبات اقلیدس، هر زمان که یک اول جدید Mersenne کشف می‌شود، یک عدد کامل جدید نیز کشف می‌شود.

برای مثال، ۲۵ – ۱ = ۳۱ یک اول مرسن است، و بنابراین ۲۴(۲۵-۱) = ۱۶ × ۳۱ = ۴۹۶ یک عدد کامل است. همچنین، ۲۲ – ۱ = ۳ یک اول Mersenne است، بنابراین ۲۱(۲۲ – ۱) = ۲ × ۳ = ۶ عالی است. و ۲۳ – ۱ = ۷ یک اولمرسن است، بنابراین ۲۲(۲۳ – ۱) = ۴ × ۷ = ۲۸ عالی است.

ممکن است متوجه شده باشید که تمام این اعداد کامل زوج هستند. این منطقی به نظر می‌رسد، زیرا تا زمانی که k > 0 باشد، عدد 2k × (2k+1 – 1) زوج خواهد بود. (و اگر k = ۰ باشد، آنگاه 2k+1 – 1 برابر ۱ است، که اول نیست.)

مطالعه مقاله الگوریتم جدید، محدودیت سرعت را برای حل معادلات خطی درهم می‌شکند توصیه می‌شود.

همچنین ممکن است متوجه شده باشید که به نظر می‌رسد تمام اعداد کاملی که تاکنون در مورد آن‌ها صحبت کردیم، شامل اول مرسن هستند. تصادفی نیست: ۲۰۰۰سال بعد از این که اقلیدس نشان داد که این فرمول اعداد کامل تولید می‌کند، لئونهارد اویلر اثبات کرد که این تنها راه دستیابی به اعداد کامل است. اما این سوال که اعداد کامل فرد ممکن است چه شکلی باشند (اگر وجود داشته باشند) باز مانده‌است.

و امروز باز می‌ماند. اگر چه آن‌ها نمی‌توانند یکی از آن‌ها را پیدا کنند، اما ریاضی‌دانان اطلاعات زیادی در مورد این که یک عدد کامل فرضی ممکن است چه شکلی باشد دارند. آن را نمی‌توان به ۱۰۵ تقسیم کرد. باید حداقل نه عامل اول متمایز داشته باشد، دومین عامل بزرگ باید بزرگ‌تر از ۱۰۰۰۰ باشد. و زمانی که به ۱۲ یا بقیه ۹ تقسیم شود باید باقیمانده ۱ داشته باشد وقتی که به ۳۶ تقسیم شود.

شاید ثابت کردن نتایجی درباره اعداد که حتی ممکن است وجود نداشته باشند، عجیب به نظر برسد. اما هر قانون جدید جستجو را کمی بیشتر محدود می‌کند. و اگر خوش‌شانس باشند، ممکن است ریاضی‌دانان فقط ثابت کنند که اعداد کامل فرد باید دو معیار ناسازگار را ارضا کنند، که یک‌بار و برای همیشه ثابت خواهد کرد که هیچ عدد کامل فرد وجود ندارد.

در جستجوی معیارهای ناسازگار، ریاضی‌دانان حتی شروع به نگاه کردن به اعدادی کرده‌اند که کاملا کامل نیستند. یک «تعداد صحیح» عددی است که اگر وانمود کنید یکی از عوامل غیر اصلی آن در واقع اول است، کامل به نظر می‌رسد. به عنوان مثال، ۶۰، محصول ۳، ۴ و ۵ را می‌توان «شبه کامل» در نظر گرفت: اگر وانمود کنید که ۴در تجزیه آن اول است، پس میان‌برهایی که برای σ ایجاد کردیم به ما می‌دهد:

(1 + 3) (1 + 4) (1 + 5) = 4 * 5 * 6 = 120.

اگر σ (۶۰) برابر ۱۲۰ باشد، آنگاه ۶۰ کامل خواهد بود. البته، σ (۶۰) در واقع برابر با ۱۲۰نیست، اما به نظر می‌رسد اگر وانمود کنیم که ۴ اول است. این چیزی است که آن را به یک شبه اول تبدیل می‌کند.

این مشابه‌ها مانند تعمیم‌های اعداد کامل هستند، و بنابراین هر چیزی که در مورد یک مشابه درست باشد باید در مورد یک عدد کامل نیز درست باشد. درک مشابه‌های فرد به خصوص مفید خواهد بود، زیرا هر قانونی که برای مشابه‌‌های فرد کشف می‌شود می‌تواند به قوانین موجود برای اعداد کامل فرد اضافه شود، شانس پیدا کردن معیارهای متناقض و محکم کردن فضای کلی جستجو را افزایش دهد.

رنه دکارت، ریاضی‌دان مشهور دیگری که به راز اعداد کامل کشیده شد، اولین نمونه فرد اعداد کامل را کشف کرد، و ریاضی‌دانان را به مبارزه طلبید تا دیگران را پیدا کنند. در به چالش کشیدن، ریاضی‌دانان مفهوم یک الگو را گسترش داده‌اند و یک دسته جدید از اعداد را برای مطالعه کشف کرده‌اند. در بیشتر موارد، تحقیقات در مورد این مخزن‌های اعداد کامل به سادگی برای لذت بردن از اکتشاف ریاضی انجام می‌شود. اما شاید چیزی که در مورد سلاح‌های جادویی یاد می‌گیریم به ما کمک کند ثابت کنیم که اعداد کامل فرد واقعی نمی‌توانند وجود داشته باشند، یا شاید ما را به یک عدد برساند.

ممکن است عجیب به نظر برسد که هزاران سال را صرف شکار اعداد با ویژگی‌های فرد بودن اثبات قضایای اشیا که حتی ممکن است وجود نداشته باشند، و اختراع دنیای جدید و حتی عجیب اعداد برای کشف کردن، کنیم. اما برای یک ریاضی‌دان، کاملا منطقی به نظر می‌رسد.

این متن با استفاده از ربات مترجم مقاله ریاضیات ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.

مقالات لینک‌شده در این متن می‌توانند به صورت رایگان با استفاده از مقاله‌خوان ترجمیار به فارسی مطالعه شوند.