ریاضی‌دانان مشکل طبقه‌بندی قدیمی دهه‌ها را حل می‌کنند

منتشر شده در quantamagazine به تاریخ ۵ آگوست ۲۰۲۱
لینک منبع Mathematicians Solve Decades-Old Classification Problem

اگر شما در حال انجام سرشماری از تمام گیاهان در حال رشد در یک منطقه خاص هستید، به جای شمارش تک‌تک گیاهان، ممکن است تصمیم بگیرید که آن‌ها را با گونه‌ها سازمان دهی کنید. جیانلوکا پائولینی، ریاضیدان دانشگاه تورین گفت که انجام این کار در امتداد مناطق خاصی از ساحل توسکان خیلی سخت نخواهد بود، چون شما عمدتا یک کاج دریایی گیاهی (کاج صورتی) پیدا خواهید کرد. در مقابل، اگر شما در جنگل‌های بارانی آمازون بودید، با چالش بزرگتری در تلاش برای پیدا کردن نام و تعداد تمام گونه‌هایی که در آنجا ریشه دوانده‌اند، مواجه می‌شدید. انجام این کار به طور کامل، به احتمال زیاد، غیر ممکن خواهد بود.

ریاضی‌دانان، در تلاش برای درک چشم‌انداز وسیع اشیا ریاضی، می‌توانند با چالش‌های مشابهی مواجه شوند. این امر به خصوص برای افراد حرفه‌ای در زمینه نظریه مجموعه توصیفی، که سعی در رتبه‌بندی مشکلات دارند، درست است-گاهی اوقات نتیجه می‌گیرند که انجام یک کار طبقه‌بندی مشخص نسبتا آسان است، و گاهی اوقات (مانند آمازون) کشف می‌کنند که بسیار سخت است. این رشته تنها یکی از شاخه‌های نظریه مجموعه است، مطالعه مجموعه‌ای از اشیاء - آن‌ها می‌توانند اعداد، نمودارها، نقاط در فضا، بردارها و هر چیز دیگری باشند - که مجموعه نامیده می‌شوند. اعداد واقعی، اعداد گویا، اعداد مختلط و غیره همه مجموعه‌هایی هستند که به خودی خود درست هستند و هیچ کمبودی از اشیا را برای ریاضی‌دانان برای مطالعه باقی نمی‌گذارند.

برای دهه‌ها، یک مساله طبقه‌بندی-شامل یک مجموعه خاص از اشیا بی‌نهایت بزرگ به نام گروه‌های آبلی بدون پیچش (یا TFABs)-محققان را دچار مشکل کرد. این مشکل اولین بار در سال ۱۹۸۹ توسط ریاضی‌دانان هاروی فریدمن و لی استنلی در مقاله‌ای مطرح شد که، طبق نظر پائولینی، « یک راه جدید برای مقایسه مشکلات طبقه‌بندی برای ساختارهای شمارشگر معرفی کرد، که نشان می‌دهد برخی چیزها پیچیده‌تر از بقیه هستند.»

اکنون، در مقاله‌ای که در اوایل سال جاری به صورت آنلاین منتشر شد، پائولینی و مشاور فوق‌دکترا سابق او، ماهارون شلح از دانشگاه عبری اورشلیم، سرانجام این مساله را در مورد TFABs حل و فصل کرده‌اند.

الکساندر کچریس از موسسه فن‌آوری کالیفرنیا گفت: « این قطعا یک مقاله مهم است که مشکل قدیمی بیش از ۳۰ سال پیش را حل می‌کند.»

کریس لاسکوسکی از دانشگاه مری لند، که تقریبا در ده‌ها مقاله با شلح هم‌کاری کرده‌است (هرچند نه این یکی) ، افزود: « استراتژی آن‌ها نشان‌دهنده میزان باورنکردنی هوشمندی در تبدیل یک مشکل پیچیده به چیزی ساده‌تر است.» بسیاری تلاش کرده بودند و موفق نشده بودند. خوب است که این مساله حل و فصل شود.

شمارش بی‌نهایت‌‌ها

از آنجا که مشکل مطرح‌شده توسط فریدمن و استنلی شامل دسته‌ای از ساختارهای شمارش پذیر بی‌نهایت است، به درک چگونگی کار ریاضی‌دانان با چنین مقادیر ظاهرا غیردقیق کمک می‌کند. برای شروع‌کنندگان، برای مجموعه‌ای از سازه‌ها «قابل شمارش» بودن به چه معناست؟ اعداد طبیعی (۰، ۱، ۲، ۳ …) بی‌نهایت هستند اما هنوز هم شمارش پذیر در نظر گرفته می‌شوند، به همان دلیل که گاهی اوقات اعداد شمارش نامیده می‌شوند. اگر این اعداد را به ترتیب فراخوانی کنید، آن‌ها خودشان را تقریبا حساب خواهند کرد. (البته، شما مدتی در آن کار خواهید کرد.) تعداد عناصر در مجموعه اعداد طبیعی، یا «کاردینالیته» آن، به صورت الف-صفر نشان داده می‌شود. ریاضی‌دانان هر مجموعه‌ای را که اندازه آن برابر با مجموعه نامتناهی اعداد طبیعی است را نیز به عنوان شمارشگر در نظر می‌گیرند.

در مقابل، اعداد حقیقی-که شامل اعداد طبیعی و همچنین اعداد منطقی و غیر منطقی هستند-نیز نامحدود هستند، اما به عنوان اعداد غیرقابل شمارش طبقه‌بندی می‌شوند. دلیل اصلی این است که تعداد خیلی زیادی از آن‌ها وجود دارد: ما از اواخر دهه ۱۸۰۰ می‌دانستیم که اعداد حقیق بین ۰ و ۱ جمع شده‌اند بیشتر از تمام اعداد طبیعی که کنار هم قرار گرفته‌اند، هستند. این یکی دیگر از راه‌های بیان این است که همه مصادر برابر خلق نمی‌شوند؛ برخی بزرگ‌تر از دیگران هستند. مجموعه اعداد حقیقی یک عدد کاردینالیتی بزرگ‌تر از اعداد طبیعی دارند زیرا تعداد آن‌ها بیشتر است. هر مجموعه قابل شمارش از اعداد یا محدود است و یا اگر نامحدود باشد، دارای یک کاردینالیتی از صفر-الف است.

پس ریاضی‌دانان با این ایده‌ها چه کار می‌توانند بکنند؟ مقاله فریدمن-استنلی، و همچنین کار جدید توسط پائولینی و شلح، بر یک رابطه هم ارزی-به نام همریختی-بین ساختارها تمرکز کردند. به عنوان مثال، بیایید دو گروه نامحدود اما قابل شمارش از اعداد را در نظر بگیریم:

… -۳، -۲، -۱، ۰، ۱، ۲، ۳ …

… ۶، ۴ -، ۲ -، ۰، ۲، ۴، ۶ …

گروه اول شامل اعداد صحیح است؛ گروه دوم فقط اعداد صحیح زوج را شامل می‌شود. این دو گروه با یکدیگر یکریخت هستند چون در میان چیزهای دیگر، آن‌ها دارای تعداد عناصر یکسانی هستند که به عبارت دیگر مصادر آن‌ها یک‌سان هستند. و هر عنصر یک گروه با-یا، همانطور که ریاضی دانان می‌گویند، «بازنمایی می‌شود به»-یک عنصر واحد در مجموعه دیگر متناظر است. علاوه بر این، تابع مورد استفاده برای نگاشت از یک گروه به گروه دیگر نیز باید عملیات و ویژگی‌های گروه (مانند قانون وابستگی جمع) را حفظ کند.

گروه‌های ایزومورفیک مانند اینها یک‌سان نیستند، چون عناصر یکسانی ندارند، اما ساختار موازی دارند: هر عنصر در یک گروه به طور مستقیم به یک عنصر در گروه دیگر مرتبط است. یک تابع می‌تواند ساختار اول را به ساختار دوم تبدیل کند، مانند مثال بالا، به سادگی با ضرب هر یک از عناصر اول به ۲. ساختارهای ایزومورفیک دارای چیزی هستند که پائولینی آن را «شکل یک‌سان» می‌نامد، اگر نه محتوای دقیق یک‌سان.

لاسکوسکی گفت: « گفتن اینکه دو ساختار هم‌ریخت هستند به این معنی است که آن‌ها اساسا یک‌سان هستند.» « شما می‌توانید قرمز یا آبی داشته باشید، اما در اعماق زمین آن‌ها یک چیز هستند.»

این مفهوم هم ریختی در قلب این مشکل چند دهه‌ای نهفته‌است.

چقدر پیچیده است؟

فریدمن و استنلی در مقاله سال ۱۹۸۹ خود به طور عمده می‌خواستند یک چیز را بدانند: با توجه به خانواده‌ای از ساختارهای شمارش پذیر-آیا آن‌ها گروه‌های بی‌نهایت از اعداد هستند (مانند اعداد صحیح ذکر شده در بالا) یا نمودار (مجموعه‌ای نامحدود از رئوس که ممکن است توسط لبه‌ها به هم متصل شوند)-چقدر دشوار است که متوجه شویم آیا اشیا درون آن خانواده با یکدیگر هم‌ریخت هستند؟

یک مورد که توسط فریدمن و استنلی مطرح شد، مربوط به خانواده‌ای از گراف‌ها بود که هر کدام دارای تعداد رئوس بی‌نهایت-هرچند قابل شمارش-بودند. برای اینکه دو گراف شمارشگر هم‌ریخت نامگذاری شوند، باید یک تناظر ۱ به ۱ بین رئوس در یک گراف و رئوس در گراف دیگر وجود داشته باشد. و اگر دو راس توسط یک یال در یک گراف متصل شوند، رئوس متناظر در گراف دیگر نیز باید توسط یک یال متصل شوند.

فریدمن و استنلی نشان دادند که پاسخ به این سوال که آیا دو گراف متناظر هستند یا خیر، تا حد امکان پیچیده است. این امر خانواده تمام گراف‌های قابل شمارش را به عنوان « بورل کامل» واجد شرایط می‌سازد. این دو اصطلاح را در مقاله سال ۱۹۸۹ خود به دلیل وابستگی شان به یک تابع به اصطلاح بورل که توسط ریاضیدان امیل بورل ابداع شده بود، ابداع کردند.

سپس فریدمن و استنلی از خود می‌پرسیدند: کدام طبقه دیگر از اشیا قابل شمارش (بورل) کامل هستند؟ لاسکوفسکی گفت که این سوال ساده « یکی از موضوعات اصلی نظریه مجموعه توصیفی است.»

در سال‌های پس از آن، فریدمن، استنلی و دیگران چندین کلاس از اشیا ریاضی را شناسایی کرده‌اند که معیارهای کامل بودن بورل را برآورده می‌کنند، از جمله درختان-یک نوع ساده شده از گراف-و دستورها خطی، مجموعه‌ای از اعداد (طبیعی یا واقعی) که به معنای واقعی کلمه مرتب شده‌اند، درست مانند اعداد روی یک خط عدد.

اما در میان موارد مختلف بسیاری که در مقاله ۱۹۸۹ در نظر گرفته شد، تنها یک مورد-مربوط به گروه‌های آبلی بدون پیچش ذکر شده-در برابر طبقه‌بندی به وسیله هم ریختی مقاومت کرد. برای توصیف این اصطلاح دلهره‌آور مرحله به مرحله، گروه‌های TFAB اساساً گروه‌های اعدادی هستند. هر TFAB شامل یک زیرمجموعه شمارشگر از اعداد حقیقی است که از قوانین گروه خاصی پیروی می‌کنند، مانند این که تحت جمع و تفریق بسته شوند (به طوری که برای هر عددی p و q در این گروه، p + q و p-q نیز در گروه ظاهر می‌شوند). همچنین از قانون جابجایی پیروی می‌کند (به این معنی که p + q = q + p) که مشخصه گروه‌های آبلی است. در نهایت، عبارت بدون پیچش نشان می‌دهد که اگر g یک عنصر غیر صفر در گروه باشد، آنگاه g + g هرگز نمی‌تواند برابر با صفر باشد، و همچنین نمی‌تواند g + g + g، و یا g + g + g + g + g و غیره.

شلح گفت: سی سال است که ریاضی‌دانان از خود می‌پرسند:« اگر ما دو گروه آبلی [ قابل شمارش ] بدون پیچش داشته باشیم، و بپرسیم که آیا آن‌ها هم‌ریخت هستند، آیا این یک مشکل آسان است، یک مشکل متوسط یا سخت‌ترین مشکل؟

به گفته کچریس، از میان تمام مشکلاتی که در مقاله فریدمن-استنلی مطرح شد، حل این مشکل بیش از همه طول کشید. « بنابراین منطقی است که آن را چالش برانگیزترین چیز بنامیم.» قبل از اینکه به نتیجه برسد، به یک رویکرد جدید نیاز است.

شلح و پائولینی بالاخره راهی برای عبور از مرز در اوایل امسال پیدا کردند.

تحولات در سراسر ساختارها

آن‌ها این کار را با استفاده از ترفند یک ریاضیدان کلاسیک انجام دادند: کاهش یک مشکل سخت‌گیر به یک مشکل تا حدودی قابل مدیریت‌تر. اگر آن‌ها می‌توانستند نشان دهند که TFABs به پیچیدگی خانواده دیگری از ساختارها بودند که قبلا به عنوان «بورل» شناخته می‌شدند-مثلا خانواده گراف‌های شمارشگر-ثابت می‌شد که TFABs نیز وجود دارد. اگر می‌خواهید بفهمید که آیا یک فرد در دنیا بلندترین فرد است، چه راه هوشمندانه‌ای برای انجام این کار وجود دارد؟ « به جای اینکه با همه افراد روی زمین چک کنید، به جای آن به سراغ کسی می‌روید که بلندترین است و می‌بینید که چه کسی بلندتر است.»

شلح توضیح داد که پس از تصمیم به استفاده از گراف‌های شمارشگر به عنوان معیار، آن‌ها با مرحله بحرانی بعدی مواجه شدند: برای ایجاد یک تابع (به طور خاص یک نوع تابع بورل) که بتواند « یک گراف بگیرد و آن را به یک گروه آبلی بدون پیچش تبدیل کند.» تابع آن‌ها باید یک گراف را به عنوان ورودی بپذیرد و یک TFAB را به عنوان خروجی در فرآیند انتقال اطلاعات از گراف به گروه تولید کند. به طور خاص، تابع f باید رابطه زیر را برآوورده کند: دو گراف شمارشگر، G و H، با یکدیگر هم‌ریخت هستند اگر و تنها اگر f (G) و f (H) ، TFABs شمارپذیر باشند که با یکدیگر هم‌ریخت هستند.

این کار آسان نبود، زیرا هیچ «فن‌آوری» در دسترس نبود که این دو بتوانند از آن برای پیوند دادن چنین موضوعات ریاضی متمایزی استفاده کنند؛ آن‌ها باید آن را فقط برای این مشکل اختراع می‌کردند.

لاسکوسکی گفت: « کل بازی برای ساخت این تابع انجام شد.» مانند مقایسه سیب و پرتقال است. نمودارها و گروه‌ها واژگان یکسانی ندارند. بنابراین آنچه شما در چنین شرایطی انجام می‌دهید ایجاد مکاتبات است. "

و دوباره، آن‌ها واقعا گروه‌های بی شماری از سیب را با گروه‌های بی شماری از پرتقال مقایسه می‌کنند. خوشبختانه، شلح گفت، آن‌ها راهی برای ساده کردن چیزها پیدا کردند. «به جای پرداختن به همه گراف‌ها، شما می‌توانید از یک گراف جهانی استفاده کنید»-یک گراف به قدری کلان که زیرگراف‌های آن، گراف‌های کوچک‌تر موجود در آن، شامل تمام گراف‌های قابل شمارش ممکن است.

لاسکوسکی گفت که این یک تاکتیک جالب توجه بود. « به جای تلاش برای حل مستقیم این مشکل، که شامل تعداد زیادی نمودار و گروه می‌شود، من فقط این یک گراف شمارشگر مادر را انتخاب می‌کنم، و هر گراف شمارشگر زیر چتر آن ظاهر می‌شود.»

به این ترتیب، پائولینی و شلح قادر به ساخت تابع لازم بودند در نتیجه نشان دادند که گراف‌ها و TFABs در یک موقعیت برابر قرار دارند. پائولینی گفت: « ما راهی برای ارتباط گروه‌های آبلی بدون پیچش با گراف‌هایی پیدا کردیم تا هم ریختی حفظ شود.»

و از آنجا که ریاضی‌دانان از قبل می‌دانستند که خانواده گراف‌های شمارشگر کامل بورل است-یعنی، با توجه به هم ریختی به طور حداکثری پیچیده است-این به این معنی بود که خانواده TFABs شمارشگر نیز باید بورل کامل باشد. بالاخره جواب خود را گرفتند.

جنگل‌های جدید برای کاوش

آیا این نتیجه می‌تواند به چیزی کلی‌تر منجر شود؟ کچریس گفت: « این مساله باید دیده شود، اما کاملا ممکن است.»

در واقع پائولینی و شلح در حال حاضر به دنبال گسترش نتیجه خود هستند. شلح گفت که آن‌ها پس از حل پرونده TFABs قابل شمارش، اکنون در حال بررسی مجموعه بزرگتری از TFABs غیرقابل شمارش هستند که «ممکن است پاسخ متفاوتی داشته باشند».

دلیلی وجود دارد که فکر کنیم آن‌ها ممکن است بفهمند. لاسکوسکی گفت: «شلح یک نظریه دارد، که وقتی آن‌ها را به اعداد بالاتر سوق می‌دهید، سوالات خاصی آسان‌تر می‌شوند»-سطوح بالاتر بی‌نهایت-چون وقتی اعداد واقعا بزرگ می‌شوند، فاصله بین اعداد مهم مانند اعداد اول و مربع اعداد صحیح افزایش می‌یابد. در نتیجه، شلح به لاسکوفسکی گفت: «هوا روشن‌تر می‌شود» و به طور بالقوه دیدن چیزها را برای ریاضی‌دانان آسان‌تر می‌کند.

در عین حال، مقاله آن‌ها در مورد TFABs در حال حاضر دارای برخی مفاهیم عملی فوری است. شلح گفت: « ما اکنون می‌دانیم که شما در کاری که می‌توانید انجام دهید محدود هستید.» برای مثال، شما هرگز ویژگی‌های متمایز (که نامتغیر نامیده می‌شوند) این خانواده از گروه‌ها را پیدا نخواهید کرد که به طور خودکار به شما خواهند گفت که آیا دو TFABs همریخت هستند یا خیر. این نتیجه مستقیم این واقعیت است که مجموعه قابل شمارش TFABs، Borel کامل است.

پائولینی گفت: « ما ثابت کردیم که هیچ راه ساده‌ای برای تعیین [ تکواژها ] وجود ندارد.» او گفت: هیچ زمین میانی وجود ندارد. تا آنجا که ممکن است دشوار است.

این یک دانش مفید است، با توجه به این که جستجو برای یافتن نامتغیر، دغدغه اصلی در میان ریاضی‌دانان است. شلح گفت: « مثل این است که بگوییم مردم نباید زمان زیادی را صرف اختراع یک ماشین حرکت ابدی کنند، با توجه به اینکه ما اکنون می‌دانیم چنین ماشینی نمی‌تواند ساخته شود.»

با نگاهی به آینده، این امکان وجود دارد که ریاضی‌دانان طبقات دیگری از ساختارهای بی‌نهایت، قابل شمارش، مانند نمودارها و TFABs را کشف کنند، که به طور حداکثری پیچیده هستند زمانی که بحث تعیین تکواژها مطرح می‌شود. به همین ترتیب، پائولینی گفت، « قابل‌تصور است که بتوانیم جنگل‌های دیگری بر روی زمین بیابیم که به پیچیدگی آمازون هستند.» اما البته در این قیاس، هیچ یک از آن‌ها هرگز نمی‌تواند پیچیده‌تر از این باشد.

فقط دانستن این واقعیت و دانستن اینکه TFABها تا آنجا که ممکن است پیچیده هستند، می‌تواند تصویر را ساده یا غیرپیچیده سازد - برای طبقه‌شناسان و نظریه‌پردازان مجموعه توصیفی.

این متن با استفاده از ربات ترجمه مقالات فیزیک ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.