ریاضی‌دانان کلاس جدیدی از اعداد اول دیجیتال را پیدا می‌کنند.

منتشر‌شده در quantamagazine به تاریخ ۳۰ مارس ۲۰۲۱
لینک منبع Mathematicians Find a New Class of Digitally Delicate Primes

نگاهی به اعداد ۲۹۴،۰۰۱، ۵۰۵،۴۴۷ و ۵۸۴،۱۴۱ بیاندازید. چیز خاصی در مورد آن‌ها توجه شما را جلب کرد؟ ممکن است متوجه شوید که همه آن‌ها عدد اول هستند-که به طور مساوی تنها به خودشان و ۱-قابل‌تقسیم هستند-اما این اعداد اول خاص حتی نامعمول‌تر هستند. اگر شما هر رقم را در هر کدام از این اعداد انتخاب کنید و آن را تغییر دهید، عدد جدید مرکب است و در نتیجه دیگر عدد اول نخواهد بود. به عنوان مثال، ۱ را در ۲۹۴،۰۰۱ به ۷ تغییر دهید، و عدد حاصل با ۷ قابل تقسیم است؛ آن را به ۹ تغییر دهید، و با ۳ قابل تقسیم است.

این اعداد را «اعداد اول دیجیتالی ظریف» می‌نامند و یک اختراع ریاضی نسبتا جدید هستند. در سال ۱۹۷۸، ریاضی‌دان، موری کلمکین، این سوال را مطرح کرد که آیا عددی مانند این وجود دارد یا خیر. سوال او پاسخی سریع از یکی از پرکارترین حل‌کننده‌های مشکل در تمام دوران، پل اردوس، دریافت کرد. او نه تنها ثابت کرد که آن‌ها وجود دارند، بلکه تعداد نامحدودی از آن‌ها نیز وجود دارند - نتیجه‌ای که نه تنها برای پایه ۱۰، بلکه برای هر سیستم عددی نیز صادق است. دیگر ریاضی‌دانان از آن زمان نتیجه اردوس را گسترش داده‌اند، از جمله برنده مدال فیلدز ترنتیوس تائو، که در مقاله سال ۲۰۱۱ ثابت کرد که «نسبت مثبت» اعداد اول به صورت دیجیتالی حساس است (دوباره، برای همه پایه‌ها). این بدان معناست که فاصله متوسط بین اعداد اول متوالی با ظرافت دیجیتالی ثابت باقی می‌ماند زیرا اعداد عدد اول خودشان بسیار بزرگ می‌شوند - به عبارت دیگر، اعداد اول ظریف دیجیتالی در میان اعداد اول به طور فزاینده‌ای کمیاب نخواهد شد.

ممکن است مطالعه مقاله ریاضیات اسرارآمیز اعداد کامل برای شما جذاب باشد.

در حال حاضر، با دو مقاله جدید، مایکل فیلاستتا از دانشگاه کارولینای جنوبی این ایده را بیشتر مطرح کرده است، که با تعداد بسیار بیشتری از عدد اول دیجیتالی همراه است. پل پولاک از دانشگاه جورجیا گفت: «این یک نتیجه قابل‌توجه است.»

با انگیزه از کار اردوس و Tao، Filaseta در این فکر بود که اگر شما یک رشته بی‌نهایت از صفرهای پیشرو را به عنوان بخشی از عدد عدد اول در نظر بگیرید، چه اتفاقی می‌افتد. اعداد ۵۳ و … ۰۰۰۰۰۰۰۰۵۳ ارزش یکسانی دارند؛ آیا تغییر هر یک از آن صفرهای نامحدود به عدد اول دیجیتالی به طور خودکار آن را ترکیب می‌کند؟

فیلاستتا تصمیم گرفت که این اعداد را، با فرض وجود آن‌ها، «بسیار ظریف و دیجیتالی» بنامد و در نوامبر سال ۲۰۲۰ با دانشجوی سابق خود، ارمیا سوسوویک، به بررسی ویژگی‌های آن‌ها بپردازد. جای تعجب نیست که شرایط اضافه باعث می‌شود یافتن این اعداد سخت‌تر شود. پولاک گفت: «۲۹۴،۰۰۱به صورت دیجیتالی حساس است، اما به طور گسترده حساس نیست، زیرا اگر ما … هر ۲۹۴،۰۰۱ را به … ۰۱۰،۲۹۴،۰۰۱ تغییر دهیم، ما ۱۰،۲۹۴،۰۰۱ به دست می‌آوریم»-یکی دیگر از ارقام عدد اول.

در حقیقت، فیلاستتا و ساوث‌ویک نتوانستند یک مثال در پایه ۱۰ از یک عدد اول بسیار ظریف دیجیتالی بیابند، با وجود این که تمام اعداد صحیح را تا ۰۰۰ / ۰۰۰ / ۰۰۰ / ۰۰۰ / ۱ نگاه می‌کردند. اما این مانع از آن نشد که آن‌ها برخی اظهارات قوی در مورد این اعداد فرضی را اثبات کنند.

اول، آن‌ها نشان دادند که چنین اعدادی در پایه ۱۰امکان‌پذیر هستند، و علاوه بر آن، تعداد نامحدودی از آن‌ها وجود دارند. با یک گام فراتر، آن‌ها همچنین ثابت کردند که نسبت مثبتی از اعداد عدد اول به طور گسترده حساس به دیجیتال هستند، درست مانند کاری که Tao برای اعداد اول دیجیتالی انجام داده بود. (در پایان‌نامه دکترای او، ساوث‌ویک به نتایج مشابهی در پایه‌های ۲ تا ۹، ۱۱و ۳۱ دست یافت).

پولاک تحت‌تاثیر این یافته‌ها قرار گرفت. او گفت: «کارهای ممکن بسیار زیادی وجود دارند که شما اجازه دارید با این اعداد انجام دهید و مهم نیست که چه کاری انجام دهید، شما هنوز هم یک پاسخ ترکیبی را تضمین می‌کنید.»

این اثبات بر دو ابزار متکی بود. اولین مورد، که سیستم‌های پوشش یا پوشش سنخیت نامیده می‌شود، توسط اردوس در سال ۱۹۵۰ برای حل یک مشکل متفاوت در نظریه اعداد اختراع شد. ساوث‌ویک گفت: «کاری که یک سیستم پوشش‌دهنده برای شما انجام می‌دهد این است که تعداد زیادی سطل به شما بدهد، همراه با این تضمین که هر عدد صحیح مثبت حداقل در یکی از آن سطل‌ها قرار دارد.» اگر، برای مثال، شما تمام اعداد صحیح مثبت را به ۲تقسیم کنید، به دو باکت (سطل) ختم خواهد شد: یکی شامل اعداد زوج که در آن باقی‌مانده صفر است و دیگری شامل اعداد فرد که باقی‌مانده ۱ است.

البته این وضعیت که شامل اعداد اول بسیار ظریف دیجیتالی است، پیچیده‌تر است. شما به باکت‌های بیشتری نیاز دارید، چیزی به ترتیب ۱۰۲۵، ۰۰۰، و در یکی از آن باکت‌ها هر عدد اول تضمین می‌شود که اگر هر یک از ارقام آن، از جمله صفرهای پیشرو آن، افزایش یابد، ترکیب شود.

اما برای اینکه به طور گسترده به صورت دیجیتالی حساس باشد، یک عدد اول نیز باید مرکب شود اگر هر یک از ارقام آن کاهش یابد. اینجاست که ابزار دوم، که غربال نامیده می‌شود، وارد می‌شود. روش‌های سییو، که به یونان باستان باز می‌گردد، راهی را برای شمارش، تخمین و یا تعیین محدودیت‌هایی بر روی تعداد اعداد صحیح که ویژگی‌های خاصی را برآورده می‌کنند، ارائه می‌دهد. فیلاستتا و ساوث‌ویک از یک استدلال غربال استفاده کردند، مشابه روشی که تائو در سال ۲۰۱۱ اتخاذ کرد، تا نشان دهند که اگر اعداد عدد اول را در باکت ذکر شده بگیرید و یکی از ارقام را کاهش دهید، نسبت مثبتی از آن اعداد اول مرکب خواهد شد. به عبارت دیگر، نسبت مثبتی از این اعداد اول به طور گسترده حساس به دیجیتال هستند.

مطالعه مقاله ساخت ماشین‌حساب برنامه‌ریزی مالی با استفاده از Streamlit پایتون توصیه می‌شود.

پولاک می‌گوید: «قضیه فیلاستتا-سوسوویک، تصویری زیبا و غیرمنتظره از قدرت پوشش دادن سنخیت‌ها است.» سپس، در یک مقاله در ماه ژانویه، فیلاستتا و دانشجوی فعلی او، جاکوب جولرت، ادعای شگفت‌انگیزتر دیگری را مطرح کردند: توالی طولانی و دل‌خواه اعداد اول وجود دارد، که هر کدام از آن‌ها به طور گسترده به صورت دیجیتالی ظریف هستند. برای مثال، یافتن ۱۰ اعداد اول متوالی که به طور گسترده با ظرافت دیجیتالی هستند، ممکن است. اما برای انجام این کار، شما باید تعداد زیادی از اعداد اول را بررسی کنید، فیلاستتا گفت، «احتمالا بیشتر از تعداد اتم‌های موجود در جهان قابل‌مشاهده.» او آن را با برنده شدن در قرعه‌کشی ۱۰ بار در یک ردیف مقایسه کرد: احتمال انجام این کار بسیار کم است، اما هنوز هم غیر صفر است.

فیلاستتا و جولرات قضیه خود را در دو مرحله اثبات کردند. اول، آن‌ها از استدلال‌های سیستم پوششی استفاده کردند تا ثابت کنند که در یک باکت تعداد بی‌نهایت زیادی اعداد اول وجود دارد، که همه آن‌ها به طور گسترده به صورت دیجیتالی ظریف هستند. در مرحله دوم، آن‌ها یک قضیه را به کار بردند که در سال ۲۰۰۰توسط دانیل شو اثبات شد تا نشان دهد که جایی در لیست همه اعداد اول، هر تعداد دل‌خواه از اعداد اول در این سطل وجود دارد. آن اعداد اول متوالی، به دلیل قرار داشتن در آن سطل، لزوما به طور گسترده به صورت دیجیتالی ظریف هستند.

کارل پومرنس کالج‌دارتموث از این مقالات کاملا لذت می‌برد و فیلاستتا را «استادی در استفاده از پوشش هم‌خوانی با بسیاری از مسائل نظری جالب توجه عدد» می‌خواند. ریاضی می‌تواند تمرینی برای آوردن ابزارهای قدرتمند برای تحمل باشد و همچنین می‌تواند یک سرگرمی خالص باشد.

در عین حال، پومرانس اشاره کرد که نمایش یک عدد بر حسب ارقام آن در پایه ۱۰ ممکن است مناسب باشد، «اما به ماهیت آن عدد نمی‌پردازد.» او ادامه داد: روش‌های اساسی‌تری برای نشان دادن اعداد وجود دارد، مانند روشی که مرسن اعداد اول تعریف شده است-تعداد عدد اول به شکل ۲ p-۱ برای عدد اول.

فیلاستتا با این نظر موافق است. با این وجود، مقالات اخیر سوالاتی را مطرح می‌کنند که ممکن است ارزش بررسی داشته باشند. فیلاستتا کنجکاو است که آیا اعداد اول به طور گسترده در هر پایه وجود دارد یا خیر. جولرات به نوبه خود تعجب می‌کند که آیا تعداد بسیار زیادی اعداد اول وجود دارد که وقتی شما یک رقم را بین دو رقم قرار می‌دهید به جای این که فقط یک رقم را جایگزین کنید، به ترکیب تبدیل می‌شود.

یکی دیگر از سوالات وسوسه‌انگیز این است: آیا تمام اعداد اول در نهایت با نزدیک شدن به بی‌نهایت، به صورت دیجیتالی ظریف می‌شوند یا به صورت گسترده به صورت دیجیتالی ظریف می‌شوند؟ به طور معادل، آیا تعداد محدودی از اعداد اول وجود دارد که به صورت دیجیتالی حساس نیستند (یا به طور گسترده به صورت دیجیتالی حساس نیستند) ؟ او احساس می‌کند که پاسخ به این سوال، هر چند که به زبان آمده باشد، باید "نه" باشد. اما او و فیلاستتا این را یک حدس جالب می‌دانند، حدسی که هیچ یک از آن‌ها نمی‌داند چگونه بدون اتکا به حدس و گمان ثابت نشده دیگری ثابت کند.

پومرنس گفت: «داستان تحقیقات ریاضی این است که شما از قبل نمی‌دانید که آیا می‌توانید یک مشکل چالش برانگیز را حل کنید یا اینکه به یک مسئله مهم منجر خواهد شد.» شما نمی‌توانید از قبل تصمیم بگیرید: امروز می‌خواهم کار ارزشمندی انجام دهم. اگرچه این عالی است، البته، وقتی همه چیز به این شکل پیش می‌رود.

این متن با استفاده از ربات مترجم مقاله ریاضیات ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.