چند عدد وجود دارد؟ مدرک بی‌نهایت ریاضیات را به یک جواب نزدیک‌تر می‌کند.

شکل ۱. بی‌نهایت بی‌نهایت وجود دارد. کدام یک مربوط به اعداد حقیقی است؟
شکل ۱. بی‌نهایت بی‌نهایت وجود دارد. کدام یک مربوط به اعداد حقیقی است؟
منتشر شده در quantamagazine به تاریخ ۱۵ جولای ۲۰۲۱
لینک منبع How Many Numbers Exist? Infinity Proof Moves Math Closer to an Answer.

در اکتبر ۲۰۱۸، دیوید آپروو در تعطیلات در ایتالیا بود و هنگامی که دوستش آن‌ها را به سمت صبحانه‌شان می‌برد، از پنجره ماشین به بیرون نگاه می‌کرد که این به ذهن او رسید: گام گم‌شده‌ چیزی که در حال حاضر نشان‌دهنده یک اثبات جدید در مورد اندازه بی‌نهایت است. او گفت: «این تجربه فلاش بود.»

آسپرو، یک ریاضیدان در دانشگاه آنگلیای شرقی در انگلستان، با همکار خود تماس گرفت. او مدت زیادی بود که مدرک را دنبال می‌کرد، رالف شیندلر از دانشگاه مونستر در آلمان، و بینش خود را برای او شرح داد. شیندلر گفت: « این برای من کاملا غیرقابل درک بود.» اما در نهایت این دو تبدیل به منطق محکم شدند.

اثبات آن‌ها، که در ماه می در سالنامه ریاضیات ظاهر شد، دو اصل کلی رقیب را که به عنوان مبانی رقیب برای ریاضیات نامحدود فرض شده‌اند، با هم متحد می‌سازد. آسپرو و شیندلر نشان دادند که یکی از این اصول بر دیگری دلالت دارد، و این احتمال را بالا برد که هر دو اصل-و همه آن‌ها که در مورد بی‌نهایت نزدیک هستند-درست هستند.

مناخیم مجیدور، یکی از منطق‌دانان برجسته ریاضی در دانشگاه عبری اورشلیم، می‌گوید: « این نتیجه فوق‌العاده‌ای است.» « صادقانه بگویم، من خودم سعی می‌کردم آن را به دست آورم.»

از همه مهم‌تر، نتیجه، مورد را در برابر فرضیه پیوستار تقویت می‌کند، یک حدس بسیار تاثیرگذار در سال ۱۸۷۸ در مورد لایه‌های لایتناهی. هر دو بدیهیات که در اثبات جدید جمع شده‌اند نشان می‌دهد كه فرضیه پیوستار نادرست است و اندازه اضافی بینهایت بین این دو قرار دارد كه 143 سال پیش فرض شده است كه اولین و دومین تعداد بی‌نهایت بزرگ هستند.

لیلاس فرح، یک ریاضیدان در دانشگاه یورک تورنتو، گفت: « ما اکنون یک جایگزین منسجم برای فرضیه پیوستار داریم.»

نتیجه یک پیروزی برای کمپ ریاضی‌دانان است که در درونشان احساس می‌کنند که فرضیه پیوستار اشتباه است. جولیت کندی، یک منطق‌دان و فیلسوف ریاضی در دانشگاه هلسینکی گفت: « این نتیجه به شدت تصویر را روشن می‌سازد.»

اما کمپ دیگر دیدگاه متفاوتی از ریاضیات نامحدود را ترجیح می‌دهد که در آن فرضیه پیوستار برقرار است، و نبرد بین این دو طرف بسیار دور از پیروزی است.

کندی گفت: « زمان شگفت انگیزی است.» « این یکی از هیجان‌انگیزترین و مطلقا دراماتیک‌ترین چیزهایی است که در تاریخ ریاضیات، جایی که ما در حال حاضر در آن هستیم، رخ داده‌است.»

بی‌نهایتی از بی‌نهایت‌ها

بله، بی‌نهایت اندازه‌های زیادی دارد. در سال ۱۸۷۳، ریاضیدان آلمانی، جورج کانتور، هنگامی که کشف کرد اعداد «حقیقی» که محور اعداد را پر می‌کنند -بیش‌تر با ارقام بی‌پایان مانند ۳.۱۴۱۵۹ …-تعداد بیشتری دارند از اعداد «طبیعی» مانند ۱، ۲ و ۳، حتی اگر بی‌نهایت بسیاری از هر دو وجود داشته باشد.

مجموعه‌های نامحدود اعداد با شهود ما در مورد اندازه آشفته می‌شوند، بنابراین به عنوان یک دست گرمی، اعداد طبیعی { ۱، ۲، ۳، … } را با اعداد فرد { ۱، ۳، ۵، … } مقایسه کنید. ممکن است فکر کنید که مجموعه اول بزرگ‌تر است، چون تنها نیمی از عناصر آن در مجموعه دوم ظاهر می‌شوند. با این حال، کانتور متوجه شد که عناصر این دو مجموعه را می توان در یک تناظر یک به یک جای داد. شما می‌توانید اولین عناصر هر مجموعه (۱ و ۱) را جفت کنید، سپس عناصر دوم آن‌ها (۲ و ۳) را جفت کنید، سپس عناصر سوم آن‌ها (۳ و ۵) را جفت کنید، و برای همیشه تمام عناصر هر دو مجموعه را پوشش دهید. از این نظر، دو مجموعه نامتناهی اندازه یکسانی دارند، یا همان چیزی که کانتور آن را «کاردینالیتی» می‌نامد. او اندازه آنٰ‌ها را با شماره اصلی ℵ0 ("آلف صفر") تعیین کرد.

اما کانتور متوجه شد که اعداد طبیعی را نمی توان به صورت یک به یک با پیوستار اعداد حقیقی در آورد. به عنوان مثال، سعی کنید ۱ را با ۱/۰۰۰۰۰ … و ۲ را با ۱/۰۰۰۰۱ … جفت کنید، و تعداد بسیار زیادی از اعداد واقعی را از دست خواهید داد (مانند ۱/۰۰۰۰۰۰۱ …). شما نمی‌توانید همه آن‌ها را بشمارید؛ کاردینالی‌شان بزرگ‌تر از اعداد طبیعی است.

اندازه‌های بی‌نهایت در آنجا متوقف نمی‌شوند. کانتور متوجه شد که هر مجموعه قدرت نامحدود-مجموعه تمام زیرمجموعه‌های عناصر آن-نسبت به این مجموعه قدرت، قدرت بیشتری دارد. هر مجموعه توانی خود دارای یک مجموعه توانی است، به طوری که اعداد اصلی یک برج بی‌نهایت بلند از اعداد نامتناهی را تشکیل می‌دهند.

کانتور که در پای این عمارت ممنوع ایستاده بود، بر دو طبقه اول تمرکز کرد. او توانست ثابت کند که مجموعه تشکیل‌شده از تمام روش‌های مختلف سفارش اعداد طبیعی (از کوچک‌ترین تا بزرگ‌ترین، برای مثال، یا با همه اعداد فرد اول) ، دارای یک سطح بالاتر از اعداد طبیعی است. علاوه بر این، هر یک از این «انواع سفارش» یک عدد واقعی را رمزگذاری می‌کند.

فرضیه پیوستار او ادعا می‌کند که این دقیقا اندازه پیوستار است-که دقیقا ۱ عدد حقیقی وجود دارد. به عبارت دیگر، کاردینالیته این پیوستار بلافاصله از ۰، کاردینالیته اعداد طبیعی، بدون هیچ اندازه‌ای از بی‌نهایت بین آن‌ها پیروی می‌کند.

شکل ۲. جورج کانتور، ریاضیدان آلمانی، در دهه پس از این پرتره ۱۸۷۰، نظریه مجموعه را توسعه داده و سلسله‌مراتب بی‌نهایت مجموعه‌های نامتناهی را کشف کرد.
شکل ۲. جورج کانتور، ریاضیدان آلمانی، در دهه پس از این پرتره ۱۸۷۰، نظریه مجموعه را توسعه داده و سلسله‌مراتب بی‌نهایت مجموعه‌های نامتناهی را کشف کرد.

اما با ناراحتی شدید کانتور، او نتوانست آن را اثبات کند.

در سال ۱۹۰۰، ریاضیدان دیوید هیلبرت فرضیه پیوستار را برای اولین بار در لیست مشهور خود از ۲۳ مساله ریاضی قرار داد تا در قرن بیستم حل شود. هیلبرت شیفته ریاضیات نوپای بی‌نهایت، یعنی «بهشت کانتور»، شده بود، و فرضیه تسلسل به نظر می‌رسید که به پایین‌ترین حد خود رسیده باشد.

در مقابل، افشاگری‌های تکان‌دهنده در قرن گذشته، پرسش کانتور را به یک معمای عمیق معرفت‌شناختی تبدیل کرد.

این مشکل در سال ۱۹۳۱ بوجود آمد، زمانی که متخصص منطق متولد اتریش، کورت گودل کشف کرد که هر مجموعه از اصول بدیهی که شما ممکن است به عنوان پایه و اساس ریاضی فرض کنید، به ناچار ناقص خواهد بود. همیشه سوالاتی وجود خواهد داشت که لیست قوانین پایه شما نمی‌تواند آن‌ها را حل و فصل کند، حقایق ریاضی واقعی که آن‌ها نمی‌توانند آن‌ها را اثبات کنند.

همانطور که گودل فورا گمان می‌برد، فرضیه پیوستار چنین موردی است: مشکلی که از اصول استاندارد ریاضیات مستقل است.

این اصول، روی هم رفته، ZFC نامیده می‌شوند (برای اصل «زرملو-فرانکل با اصل انتخاب») ، و آن‌ها تقریبا همه ریاضیات مدرن را پشتیبانی می‌کنند. اصول بدیهی ویژگی‌های اساسی مجموعه‌های اشیا یا مجموعه‌ها را توصیف می‌کنند. از آنجا که عملا همه چیز ریاضی می‌تواند از مجموعه‌ها ساخته شود (مجموعه خالی { } به عنوان مثال؛ { } نشان‌دهنده ۱؛ { }، { } نشان‌دهنده ۲ و غیره) ، قوانین مجموعه‌ها برای ساخت شواهد در طول ریاضی کافی هستند.

در سال ۱۹۴۰، گودل نشان داد که شما نمی‌توانید از اصول ZFC برای رد فرضیه پیوستار استفاده کنید. سپس در سال ۱۹۶۳، ریاضیدان آمریکایی پائول کوهن عکس این موضوع را نشان داد-شما هم نمی‌توانید از آن‌ها برای اثبات آن استفاده کنید. اثبات کوهن، به همراه گودل، به این معنی است که فرضیه پیوستار مستقل از بدیهیات ZFC است؛ آن‌ها می‌توانند آن را به هر دو صورت داشته باشند.

 شکل ۳. کانتور نخستین بار در تاریخ ۱۱ ژوئیه ۱۸۷۷ این فرضیه پیوسته را مطرح کرد. این مقاله در سال بعد منتشر شد.
شکل ۳. کانتور نخستین بار در تاریخ ۱۱ ژوئیه ۱۸۷۷ این فرضیه پیوسته را مطرح کرد. این مقاله در سال بعد منتشر شد.

علاوه بر فرضیه پیوستار، بیشتر سوالات دیگر در مورد مجموعه‌های نامحدود نیز مستقل از ZFC هستند. این استقلال گاهی به این معنا تفسیر می‌شود که این سوالات هیچ پاسخی ندارند، اما اکثر نظریه پردازان آن را به عنوان یک تصور غلط عمیق می‌بینند.

آن‌ها بر این باورند که این زنجیره دارای اندازه دقیقی است؛ ما فقط به ابزارهای جدید منطق نیاز داریم تا بفهمیم آن چیست. این ابزارها به شکل اصول جدید خواهند آمد. مجیدور گفت: بدیهیات این مشکلات را حل نمی‌کنند، بنابراین ما باید آن‌ها را به یک سیستم اصل غنی‌تر گسترش دهیم. ZFC به عنوان ابزاری برای حقیقت ریاضی است که وجود ندارد-نه خود حقیقت.

از زمان کوهن، نظریه پردازان مجموعه تلاش کرده‌اند تا با اضافه کردن حداقل یک اصل جدید به ZFC پایه‌های ریاضیات بی‌پایان را تقویت کنند. این اصل اساسی باید ساختار مجموعه‌های نامتناهی را روشن سازد، قضایای طبیعی و زیبا را خلق کند، از تناقضات مهلک اجتناب کند، و البته، مساله کانتور را حل و فصل کند.

گودل، به نوبه خود، بر این باور بود که فرضیه پیوستار نادرست است-اینکه بیش از آنچه کانتور حدس زده‌است، اصلاحات وجود دارد. او گمان کرد که 2 ℵ از آن‌ها وجود دارد. همانطور که در سال ۱۹۴۷ نوشت، او پیش‌بینی کرد که « نقش مساله پیوستار در نظریه مجموعه، این خواهد بود که در نهایت منجر به کشف اصول جدیدی خواهد شد که امکان رد حدس کانتور را فراهم خواهد ساخت.»

منبع نور

دو اصل کلی رقیب ظهور کردند که همین کار را می‌کنند. برای دهه‌ها، آن‌ها از نظر منطقی ناسازگار بودند. شیندلر گفت: « همیشه این تنش وجود داشت.»

برای درک آن‌ها، باید به کارهای پاول کوهن در سال 1963 برگردیم، جایی که او تکنیکی را به نام اجبار ایجاد کرد. کوهن با شروع یک مدل از جهان ریاضی که شامل ℵ1 واقعیت است، از اجبار برای بزرگ کردن پیوستار استفاده کرد تا شامل واقعیات جدید فراتر از مدل شود. کوهن و هم‌رزمانش به زودی دریافتند که بسته به مشخصات روش، اجبار به شما اجازه می‌دهد تا هر تعداد واقعی را که دوست دارید اضافه کنید - مثلاً ℵ2 یا ℵ35. گذشته از راس‌های جدید، ریاضی‌دانان روش کوهن را برای به تصویر کشیدن تمام روش‌های دیگر اشیاء ممکن تعمیم دادند، برخی از آن‌ها به طور منطقی با یکدیگر ناسازگار بودند. این امر باعث ایجاد چندین وجهی از جهان ریاضی احتمالی شد.

هیو وودین، نظریه‌پرداز مجموعه در دانشگاه هاروارد گفت: « روش او در دنیای مجموعه‌های ما ابهام ایجاد می‌کند.» او گفت: این ابر جهان‌های مجازی را ایجاد می‌کند، و من چگونه می‌دانم که در کدام یک از آن‌ها هستم؟

چه چیزی مجازی و چه چیزی واقعی بود؟ کدام یک از این دو هدف متضاد، که رویاهایی متفاوت و اجباری در سر می‌پرورانند، باید مجاز باشند؟ مشخص نبود که یک شی، تنها به این دلیل که می توان آن را با روش کوهن تصور کرد، واقعا وجود دارد یا نه.

برای پرداختن به این مشکل، ریاضی‌دانان «اصول بدیهی اجباری» مختلفی را مطرح کردند-قوانینی که وجود واقعی اشیا خاص ارائه‌شده توسط روش کوهن را تثبیت کردند. مجدور توضیح داد: « اگر شما بتوانید یک شی را تصور کنید که وجود داشته باشد، پس وجود دارد؛ این اصل راهنمای شهودی است که منجر به اعمال اصول بدیهی می‌شود.» در سال 1988، مگیدور، متیو فورمن و سحرون شله با ارائه حداكثر مارتین این رسم را به نتیجه منطقی خود رساندند، که می‌گوید هر چیزی که بتوانید با استفاده از روش اجباری تصور کنید یک نهاد ریاضی واقعی خواهد بود، به شرطی که رویه شرایط سازگاری خاصی را برآورده کند.

با تمام گستردگی حداکثر مارتین، برای اجازه دادن به طور همزمان به همه محصولات اجبار (در حالی که شرایط ثابت را برآورده می‌کنند)، اندازه پیوستار فقط به یک ℵ2 محافظه‌کار می‌رسد - یک عدد اصلی بیشتر از حداقل مقدار ممکن.

علاوه بر حل مساله پیوسته، ثابت شده‌است که حداکثر مارتین یک ابزار قدرتمند برای بررسی خواص مجموعه‌های نامحدود است. طرفداران می‌گویند که این امر بسیاری از اظهارات فراگیر و قضایای کلی را پرورش می‌دهد. در مقابل، با فرض اینکه این پیوستار، کاردینالی ℵ ۱ دارد، تمایل دارد که موارد استثنایی بیشتر را به دست بیاورد و موانع را به اثبات برساند - "بهشت نمونه‌های مخالف"، به گفته "Magidor".

حداکثر (مارتین) به عنوان بخشی از ZFC بسیار محبوب شد. اما پس از آن در دهه ۱۹۹۰، وودین اصل قانع‌کننده دیگری را پیشنهاد کرد که فرضیه پیوسته را نیز می‌کشد و پیوستار را در حالت پیوسته ℵ2 اما با یک مسیر کاملا متفاوت می‌کشد. او به من گفت، وودین اصل (*) را نام برد، که «ستاره» تلفظ می‌شد، چون «مانند یک منبع روشن-یک منبع ساختار، یک منبع نور» بود.

(*) مربوط به یک جهان مدل مجموعه است که ۹ اصل ZF را به علاوه اصل تعیین را به دست می‌دهد، به جای اصل انتخاب. قطعیت و انتخاب به طور منطقی با یکدیگر در تضاد هستند، به همین دلیل است که (*) و حداکثر مارتین آشتی‌ناپذیر به نظر می‌رسند. اما وودین یک روش اجباری برای گسترش جهان ریاضی مدل خود به جهان بزرگ‌تر که سازگار با ZFC است، ابداع کرد، و در این جهان است که اصل (*) درست است.

چیزی که باعث می‌شود (*) بسیار روشن‌کننده باشد این است که به ریاضی‌دانان اجازه می‌دهد هنگام اشاره به ویژگی‌های مجموعه‌های درون دامنه، عبارت «برای همه X، Y وجود دارد، به طوری که Z» را بیان کنند. چنین اظهاراتی حالت‌های قدرتمندی از استدلال ریاضی هستند. یکی از این جمله‌ها این است: "برای همه مجموعه‌های ℵ1 واقعی‌، واقعیت‌هایی وجود دارد که در آن مجموعه‌ها نیستند." این نفی فرضیه پیوستار است. بنابراین، با توجه به (*) ، حدس کانتور اشتباه است. شیندلر گفت: این واقعیت که (*) به ریاضی‌دانان اجازه می‌دهد تا این موضوع را نتیجه بگیرند و بسیاری از ویژگی‌های دیگر مجموعه‌های رواقعی را تایید کنند، آن را به یک «فرضیه جذاب» تبدیل کرده‌است.

با دو اصل بسیار پربار و شناور در اطراف، طرفداران اجبار با مازاد نگران کننده‌ای روبرو شدند. شیندلر گفت: هم اصل اجباری [ حداکثر مارتین ] و هم اصل (*) زیبا هستند و احساس درستی و طبیعی بودن دارند، پس کدام یک را انتخاب می‌کنید؟

اگر اصول بدیهی با یکدیگر تناقض داشته باشند، اتخاذ یکی به معنای قربانی کردن عواقب خوب دیگری خواهد بود، و فراخوان قضاوت ممکن است خودسرانه احساس شود. شیندلر گفت: « شما باید دلایلی پیدا می‌کردید که چرا یکی از آن‌ها درست است و دیگری نادرست است-یا شاید هر دوی آن‌ها باید دروغ باشند.»

در عوض، کار جدید او با آپرو نشان می‌دهد که حداکثر++ مارتین (یک تغییر فنی از حداکثر مارتین) دلالت بر (*) دارد. شیندلر گفت: « اگر شما این نظریه‌ها را یک‌سان کنید، همانطور که ما این کار را کردیم، من می‌گویم که شما می‌توانید آن را به عنوان یک مورد به نفع خود در نظر بگیرید: شاید مردم چیزی درست به دست آورده‌اند.»

پیوند گم‌شده

آسپرو و شیندلر ۲۰ سال پیش محققان جوانی بودند که در موسسه‌ای در وین گرد هم آمده بودند. مدرک آن‌ها چند سال بعد، هنگامی که شیندلر یک نسخه خطی را که طبق معمول با دست نوشته شده بود، توسط نظریه‌پرداز گروه، رونالد جنسن، خواند، آشکار شد. در این روش، جنسن تکنیکی به نام L-اجباری را ابداع کرد. شیندلر تحت‌تاثیر آن قرار گرفت و از یکی از دانشجویان خواست که تلاش کند آن را بیشتر توسعه دهد. پنج سال بعد، در سال ۲۰۱۱، او L-اجباری را به اسپرو توصیف کرد که در مونستر از او دیدن می‌کرد. آپروو بلافاصله نشان داد که آن‌ها ممکن است قادر به استفاده از تکنیک برای استخراج (*) از حداکثر++ مارتین باشند.

آنها اعلام کردند که سال بعد، یعنی 2012 ، مدرکی دارند. وودین بلافاصله متوجه اشتباه شد و آن‌ها با شرمندگی کاغذشان را پس گرفتند. آن‌ها در سال‌های بعد مکررا از این مدرک بازبینی کردند، اما ثابت کردند که فاقد یک ایده کلیدی هستند - آسپرو گفت "حلقه گمشده"، در زنجیره منطقی که از حداکثر ++ مارتین به (*) می‌رسد.

شکل ۴. نظریه پردازان مجموعه، رالف شیندلر (چپ) و دیوید اسپرو، نویسندگان یک اثبات جدید برای یکی کردن اصول ریاضی نامحدود رقیب، که در سال ۲۰۰۱ به تصویر کشیده شده‌اند.
شکل ۴. نظریه پردازان مجموعه، رالف شیندلر (چپ) و دیوید اسپرو، نویسندگان یک اثبات جدید برای یکی کردن اصول ریاضی نامحدود رقیب، که در سال ۲۰۰۱ به تصویر کشیده شده‌اند.

طرح حمله آن‌ها برای استخراج اصل دوم از اصل اول، توسعه یک روش اجباری مشابه با L-اجباری بود که با آن یک نوع شی به نام شاهد تولید شود. این شاهد تمام اظهارات به شکل (*) را تایید می‌کند. تا زمانی که روش اجباری از شرط لازم سازگاری پیروی کند، حداکثر + + مارتین ثابت خواهد کرد که شاهد، از آنجا که می‌تواند مجبور به وجود آن شود، وجود دارد. و در نتیجه (*) به دنبال آن می‌آید.

اسپرو گفت: « ما می‌دانستیم چطور چنین اجماعی را بسازیم.» اما آن‌ها نمی‌دانستند چطور تضمین کنند که روند اجباری آن‌ها نیازهای کلیدی حداکثر مارتین را برآورده خواهد کرد. «تجربه فلاش» اسپرو در ماشین در سال ۲۰۱۸ نهایتا این راه را نشان داد: آن‌ها می‌توانستند اجبار را به یک توالی بازگشتی از اجراها تجزیه کنند، که هر یک شرایط لازم را برآورده می‌کرد. او گفت: «من به یاد دارم که بسیار مطمئن بودم که این جز در واقع کار اثبات را انجام خواهد داد»، هرچند بار دیگر از بینش آسپرو و ​​شیندلر به بینش بیشتری نیاز داشت تا همه چیز حل شود.

ستاره‌های دیگر

هم‌گرایی ماکزیمم + + و (*) مارتین یک پایه و اساس محکم برای یک برج نامتناهی ایجاد می‌کند که در آن کاردینالیته پیوستار برابر با ℵ2 است. سوال این است که آیا این درست است؟

به گفته كوهلنر، دانستن اينكه قوی‌ترين اصل اجبار دلالت بر (*) دارد می‌تواند به عنوان دليل موافق يا مخالف آن محسوب شود. او گفت: « واقعا بستگی به این دارد که نظر شما چیست.»

نتیجه هم‌گرایی، بررسی را بر معقول بودن (*) متمرکز می‌کند، زیرا (*) به ریاضی‌دانان اجازه می‌هد عبارات قدرتمند "برای همه X ، Y وجود دارد" را ایجاد کنند که عواقبی برای خصوصیات اعداد واقعی دارند.

علی‌رغم سودمندی بسیار زیاد (*) در اجازه دادن به این جملات‌، ظاهراً بدون تناقض‌، کولنر از جمله کسانی است که به این اصل بدگمان هستند. یکی از پیامدهای آن-معکوس کردن ساختار یک دسته بزرگ خاص از مجموعه‌ها با یک مجموعه کوچک‌تر-او را عجیب می‌کند.

قابل‌ذکر است، فردی که ممکن است بیش‌ترین اشتیاق را در مورد (*) درستی داشته باشد نیز با آن مخالف است. وودین در یکی از گفتگوهای زوم امسال تابستان ما گفت: « من خائن محسوب می‌شوم.»

بیست و پنج سال پیش، هنگامی که او ژست (*) گرفت، وودین عقیده داشت که فرضیه پیوستار اشتباه است، و در نتیجه آن (*) یک منبع نور بود. اما حدود یک دهه پیش، او نظرش را عوض کرد. او در حال حاضر فکر می‌کند که این پیوستار دارای یک مرز مشترک است و آن (*) و اجبار «محکوم به فنا» هستند.

وودین اثبات اسپرو و شیندلر را «یک نتیجه فوق‌العاده» نامید که «شایسته بودن حضور در تاریخ است»-سالنامه‌های ریاضیات به طور گسترده‌ای به عنوان مجله برتر ریاضی در نظر گرفته می‌شوند-و او تصدیق کرد که این نوع نتیجه هم‌گرایی « معمولا به عنوان شواهدی از نوعی حقیقت در نظر گرفته می‌شود.» اما او این را قبول نمی‌کند. موضوعی است که کولنر به آن اشاره کرده و یک مشکل بزرگتر دیگری نیز وجود دارد که وی در یک تجربه فلاش خود در سال 2019، اندکی پس از خواندن نسخه چاپی مقاله اسپرو و شیندلر، آن را شناسایی کرد. وودین گفت: « این یک تغییر غیرمنتظره در داستان است.»

هنگامی که او (*) را مطرح کرد، وودین نیز انواع قوی‌تری به نام (*) + و (*) + + را مطرح کرد، که برای مجموعه قدرت کامل (مجموعه تمام زیرمجموعه‌های) واقعی‌ها اعمال می‌شود. می‌دانیم که در مدل‌های مختلف جهان ریاضی اگر به طور کلی نباشد، (*) + با حداکثر مارتین در تضاد است. در یک اثبات جدید، که او در ماه می شروع به اشتراک گذاری آن با ریاضی‌دانان کرد، وودین نشان داد که (*) + و (*) ++ برابر هستند، که به این معنی است که (*) + با حداکثر مارتین در مدل‌های مختلف نیز در تضاد است.

(*) + و (*) + + درخشش بسیار زیادی نسبت به (*) داشتند، به یک دلیل: آن‌ها به ریاضی‌دانان اجازه می‌دهند که اظهاراتی از شکل «مجموعه‌ای از واقعی‌ها وجود دارد …» بیان کنند. و در نتیجه برای توصیف و تجزیه و تحلیل خصوصیات هر یک از هر دو مجموعه رئال. (*) چنین «نظریه وجودی» مجموعه‌ای از واقعی‌ها را فراهم نمی‌کند. و از آنجا که به نظر می‌رسد حداکثر مارتین با (*) + و (*) + + در تضاد است، به نظر می‌رسد که اظهارات وجودی در مورد مجموعه‌های رئال‌ها ممکن است در چارچوب حداکثر مارتین ممکن نباشد. از نظر وودین، ​​این یک معامله‌گر است: "آنچه این می‌گوید‌، محکوم به فنا است."

بقیه بازیکنان اصلی هنوز هم دارند اثبات وودین را هضم می‌کنند. اما عده‌ای تاکید کردند که استدلال‌های او حدس و گمان هستند. حتی وودین هم تصدیق می‌کند که یک کشف شگفت‌انگیز می‌تواند تصویر (و نظر او) را تغییر دهد، همانطور که قبلا هم اتفاق افتاد.

بسیاری از افراد در جامعه منتظر نتایج تلاش وودین برای اثبات حدس «L نهایی» هستند: یعنی، وجود یک تعمیم همه‌جانبه از جهان مدل گودل از مجموعه‌ها. اگر L نهایی وجود داشته باشد - وودین دلیل خوبی برای فکر کردن دارد، و اکنون 400 صفحه در تلاش است تا اثبات کند - او این را بدیهی می‌داند که "اصل رویایی" برای اضافه کردن به ZFC باید بدیهی نهایی L یا همان بیان اینکه L نهایی جهان مجموعه‌هاست. و در مورد L نهایی، حق با کانتور است: این پیوستار دارای کاردینالیتی ℵ1 است. اگر مدرک کار کند، اصل L نهایی، اگر انتخاب واضحی از گسترش برای ZFC نباشد، حداقل یک رقیب ترسناک برای حداکثر مارتین خواهد بود.

از زمانی که گودل و کوهن استقلال فرضیه پیوسته را از ZFC ایجاد کردند، ریاضیات نامحدود یک داستان ماجراجویی-خود-را-انتخاب-کنید بوده است که در آن نظریه پردازان مجموعه می‌توانند تعداد رئال‌ها را به هر سطحی سوق دهند-یعنی ℵ35، یا ℵ1000، می‌گویند-و عواقب را بررسی کنند. اما با توجه به نتیجه آپروو و شیندلر که به شدت به نتیجه ℵ2 اشاره دارد، و وودین که در مورد فرضیه ℵ1 تصمیم‌گیری می‌کند، یک دوگانگی آشکار ایجاد شده‌است، و یک برنده آشکار به نظر می‌رسد که به تازگی امکان‌پذیر باشد. اکثر نظریه‌پردازان مجموعه چیز دیگری به جز خروج از چندرسانه‌ای ریاضی و ادغام در پشت یک تصویر واحد از بهشت ​​کانتور را ندارند، تصویری که آنقدر زیبا باشد که بتوان آن را واقعی دانست.

کندی، از طرفی، فکر می‌کند که ما ممکن است به زودی به آن «جهان قدیمی» بازگردیم. او گفت: « هیلبرت، وقتی سخنرانی خود را ایراد کرد، گفت که کرامت انسانی به این بستگی دارد که ما قادر به تصمیم‌گیری در مورد مسائل ریاضی به صورت بله یا خیر تصمیم بگیریم.» این امر به منزله نجات بشریت بود، و اینکه آیا ریاضیات همان چیزی است که ما همیشه فکر می‌کردیم: حقیقت را اثبات کنیم. نه فقط این حقیقت، آن حقیقت. نه فقط احتمالات. نه. پیوستار این اندازه ، دوره است. "

این متن با استفاده از ربات مترجم مقالات کوانتوم ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.
مقالات لینک‌شده در این متن می‌توانند به صورت رایگان با استفاده از مقاله‌خوان ترجمیار به فارسی مطالعه شوند.