چگونه انتگرال‌ها را حل کنیم: کلاس فشرده حساب دیفرانسیل و انتگرال

منتشرشده در وبسایت Albert<br/>لینک مقاله اصلی: How to Solve Integrals: AP® Calculus Crash Course

انتگرال‌گیری ممکن است چالش برانگیزترین مفهوم در کتاب‌های درسی حسابداری باشد، اما مسلما مهم‌ترین مساله نیز هست! با توجه به این گفته، هیچ شرمی از عصبی بودن برای امتحان‌‌های انتگرال وجود ندارد. به منظور کمک به فرونشاندن ترس‌هایتان، شما را با مهم‌ترین مفاهیم حل چالش برانگیز انتگرال‌ها آشنا می‌کنم. با مطالعه این مقاله تمام ابزارهایی که نیاز دارید را برای شما ارائه کرده و امیدواریم که ترس‌های شما را از بین ببرد.

اعداد صحیح را می توان به دو دسته مجزا تقسیم کرد: معین و نامعین. انتگرال معین دارای کران‌ها و جواب‌های عددی است در حالی که انتگرال نامعین کران نداشته و جواب جبری می‌دهد. در ابتدا به انتگرال‌ها نامعین پرداخته خواهد شد، زیرا روش حل آن‌ها نیز به عنوان بخشی از محاسبه راه‌حل‌های معین انتگرال استفاده می‌شود.

انتگرال‌های نامعین را می توان با استفاده از دو روش متفاوت، روش قانون ضد زنجیره و روش جایگزینی حل کرد. حل یک انتگرال نامعین همانند حل کردن برای ضد مشتق، یا از بین بردن مشتق و حل برای تابع اصلی است.

ما در حال حاضر به سمت بخش جذاب آن پیش می‌رویم: دیدن چند مثال. روش قاعده ضد زنجیره اساسا معکوس روش قاعده زنجیره است که در بخش مشتق کتاب درسی شما پیاده‌سازی شده‌است. به جای کم کردن یکی از توان، یک توان اضافه می‌کنید و به جای ضرب کردن مقدار با توان جدید، آن را تقسیم می‌کنید. بیایید مثالی را ببینیم:

مثال ۱: انتگرال بگیرید

بنابراین ما انتگرال را با در نظر گرفتن عبارت dx تنظیم کردیم:

سپس، هر عبارت را با اضافه کردن یکی به توان و تقسیم پاسخ بر مقدار نمای جدید انتگرال می‌گیریم:

جمله c نشان‌دهنده مقدار ثابتی است که نتیجه انتگرال‌گیری است و هرگز نباید فراموش شود.

تا حالا خیلی خوب بود، نه؟ بدتر می‌شود. حال بیایید نگاهی به روش جایگزینی بیندازیم که به عنوان جایگزینی u نیز شناخته می‌شود. چه اتفاقی می‌افتد اگر تابعی به شما ارائه شود که نمی‌تواند با قانون ضد زنجیره انتگرال‌گیری شود؟ این اتفاق زمانی رخ می‌دهد که چندین تابع با هم به روش‌هایی تکثیر شوند که قابل‌گسترش نباشند، مانند تابع در مثال ۲ زیر. در این حالت، ما باید جایگزینی یکی از کمیت‌ها را انجام دهیم تا مسئله را حل کنیم. این جایی است که dx خیلی کم‌تر شبیه یک قطعه تزیینی در انتهای انتگرال می‌شود و بسیار مفیدتر خواهد بود. بیایید با یک مثال توضیح دهیم:

مثال ۲: انتگرال بگیرید

اول، مثل همیشه، انتگرال را تنظیم کنید:

همانطور که می‌بینید، قانون زنجیره‌ای بدون بسط تابع که مقدار قابل‌توجهی جبر و محاسبات نیاز دارد، نمی‌تواند به راحتی اعمال شود. اجازه دهید ببینیم قانون جانشینی موثر خواهد بود یا نه. این امر نیازمند انتخاب یک مقدار هوشمند برای جایگزینی است. من اول تابع توان بالاتر را انتخاب می‌کنم، اما در برخی موارد انتخاب چندان روشن نیست.

از آنجایی که ما تابع را از برحسب x بودن به بر حسب u بودن تغییر می‌دهیم، باید برای du حل کنیم و آن را به تابع انتگرال تبدیل کنیم. اصلا نترسید! این ساده‌تر از آن است که به نظر می‌رسد.

اگر u=x^2+3x+5 باشد، آنگاه، du=2x+3dx مشتق u نسبت به x است.

سپس این جایگزینی‌ها را در انتگرال بالا قرار می‌دهیم:

عبارت (۲x + ۳) حذف می‌شود، و عبارت زیر برای ما باقی می‌ماند:

ما می‌توانیم این مساله را با استفاده از قانون زنجیره ساده حل کنیم:

سپس تابع برحسب u خود را با تابع برحسب x جایگزین می‌کنیم.

حالا می‌توانیم به وضوح دو روش اصلی برای حل انتگرال‌های نامعین را ببینیم. خیلی بد نبود، نه؟

اجازه دهید یک نکته جانبی سریع برای بحث در مورد نحوه برخورد ما با تابع‌های مثلثاتی در انتگرال‌ها در نظر بگیریم. من مطمئنم که شما در کلاس‌های قبلی ریاضی خود به توابع تریگمثلثاتی و هویت آن‌ها توجه کرده‌اید. آن‌ها توابع بسیار مهمی هستند، اما انتگرال‌ها آن‌ها نسبتا ساده است. تنها روش برای حل این انتگرال‌ها حفظ کردن راه‌حل است. آن‌ها مدت‌ها پیش توسط ریاضی‌دانان مشهور به اثبات رسیدند، و نیازی نیست نگران این باشیم که از کجا آمده‌اند.

حالا که ذهن ما با روش‌های حل انتگرال‌های نامعین گرم شده است، می‌توانیم به انتگرال‌های معین برویم. این بحث شامل برخی از تئوری‌ها خواهد بود، اما در ذهن داشته باشید که درک برخی از نظریه‌های پشت حساب دیفرانسیل و انتگرال به درک شما کمک خواهد کرد.

بدون شک انتگرال‌های معین آخرین مفهوم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است زیرا اغلب اعداد حقیقی و سخت را به دست می‌دهد. از نقطه‌نظر مهندسی، این ایده‌آل است. عمل انتگرال گیری برای بسیاری از مسائل واقعی مانند پیدا کردن پروفایل های سرعت سیالات در حال حرکت در لوله‌ها به کار می‌رود. بهترین راه برای کنار آمدن با انتگرال‌های معین این است که از دیدگاه گرافیکی به آن‌ها نگاه کنیم.

انتگرال معین نشان‌دهنده انتگرال یک تابع از یک نقطه روی محور یک نمودار، a، تا نقطه دیگر b است. ما این را به شکل زیر می‌نویسیم.

این انتگرال مساحت زیر منحنی روی نمودار را نشان می‌دهد. درک این مفهوم پیچیده است. مساحت زیر منحنی می‌تواند نشان‌دهنده هر چیزی باشد و معمولا بستگی به زمینه مسئله دارد. در این دوره مفهوم برای ما مهم نیست و ما فقط بر ریاضی تمرکز می‌کنیم؛ با این حال، ممکن است پرسش‌های مفهومی وجود داشته باشند که می‌پرسند انتگرال نشان‌دهنده چیست و پاسخ چیست؟ بله، مساحت زیر منحنی. بیایید نگاهی به مثالی بیندازیم تا این مساله را روشن کنیم!

مثال ۳: انتگرال برای انتگرال گیری تابع fleft(xright)= x^2 از x = -۲ تا x = ۲ تنظیم کرده و نمودار آن را رسم کنید.

ابتدا، انتگرال را در مفهوم استاندارد می‌نویسیم:

سپس این تابع را ترسیم کرده و بخش مورد نظر خود از ۲- تا ۲ را مشخص می‌کنیم.

همانطور که می‌بینید تنها منطقه‌ای که بین تابع و محور x قرار دارد مشخص می‌شود. وقتی یک انتگرال معین را محاسبه می‌کنید، مقدار این منطقه را به دست می‌آورید! خیلی تمیز است، نه؟ پس چگونه انتگرال‌های معین را روی کاغذ بدون نمودار حل می‌کنیم؟ بیایید ببینیم!

هنگامی که انتگرال‌های معین را محاسبه می‌کنیم، از قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده می‌کنیم. قضیه اساسی بیان می‌کند که اگر یک تابع f، از x = a تا x = b پیوسته باشد، و تابع F ضد مشتق f باشد، پس

اما پیوستگی به چه معناست؟ به منظور پیوسته بودن تابع، نباید شکست، پرش یا مجانبی عمودی در تابع وجود داشته باشد. پس چگونه می‌توانیم این مسائل را حل کنیم؟ بیایید یک مثال بزنیم.

مثال ۴: این انتگرال معین را حل کنید:

اول، مساله را طوری حل می‌کنیم که انگار یک مساله انتگرال نامعین است. روش قانون زنجیره به راحتی در این وضعیت اعمال نمی‌شود بنابراین ما از روش جایگزینی استفاده می‌کنیم. ما u = ۲ x + ۱ را در نظر می‌گیریم و در نتیجه du = ۲ dx. بیایید این مقادیر را جایگزین کنیم. حالا انتگرال تبدیل به شکل زیر می‌شود

با حل انتگرال به گونه‌ای که گویی یک انتگرال نامعین است، ما راه‌حل را به دست می‌آوریم.

سپس در تابع اصلی جایگزین می‌شویم و پاسخ ما به شکل زیر می‌شود

بخش بعدی راه‌حل صرفا براساس قضیه بنیادی است. مقدار ثابتی که در تمام راه‌حل‌های نامعین انتگرال وجود دارد، نمایشی از عدم قطعیت پاسخ است. وقتی ما کرانه‌ها یا شرایط اولیه را بیان نمی‌کنیم، نمی‌توانیم آن را برای مقدار ثابت حل کنیم. وقتی ما در حال حل انتگرال‌های معین هستیم، کرانه‌ای داریم و یک راه‌حل ملموس می‌تواند بدون ثابت تعریف‌نشده بدست آید. در واقع، پاسخ هیچ بخش جبری نخواهد داشت! بنابراین به منظور ترکیب قضیه بنیادی، عبارت ثابت را رها می‌کنیم و به معادله قضیه وارد می‌شویم:

در این مورد،

و ما موارد زیر را محاسبه می‌کنیم

بنابراین،

همانطور که می‌بینید، پاسخ کاملا عددی است! این کار مفید نیست؟

چند ویژگی انتگرال‌های معین وجود دارد که برای پوشش دادن در هر بررسی حساب دیفرانسیل و انتگرال مهم هستند. اول، اگر یک تابع حقیقی باشد و با مقدار x = a تعریف شود، آنگاه:

این امر پس از آن آشکار می‌شود که شما به قضیه بنیادی نگاه کنید و ببینید که Fleft(aright)-Fleft(aright)=0 به این دلیل که آن‌ها همان مقدار را نشان می‌دهند.

دوم، یک انتگرال می‌تواند معکوس شود. این به چه معناست؟ این بدان معنی است که مرزهای انتگرال را می توان جا به جا کرد. عکس انتگرال تنها نسخه منفی آن است. در نماد حساب دیفرانسیل و انتگرال:

سوم، فرض کنید که تابع ما پیوسته بوده و در x = a، b، c روی یک بسته داخلی تعریف می‌شود. پس می‌توانیم بگوییم که

همچنین انتگرال‌ها را می‌توان در قضایای دیگر نیز جای داد. برای مثال، قضیه مقدار میانگین را می توان طوری تنظیم کرد تا در انتگرال‌ها اعمال شود. از دانش قبلی حساب دیفرانسیل و انتگرال خود به یاد بیاورید که قضیه مقدار میانگین معمولا به صورت زیر تعریف می‌شود:

می‌دانیم که قضیه مقدار میانگین زمانی اعمال می‌شود که تابع f یک تابع پیوسته و تعریف‌شده بین x= a و b باشد، سپس می‌دانیم که حداقل یک مقدار c وجود دارد به طوری که معادله بالا درست باشد. وقتی از انتگرال‌های معین استفاده می‌کنید، معادله به صورت زیر است:

قضیه مهم دیگری که از معین انتگرال‌ها استفاده می‌کند، قضیه بنیادی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال است. فکر نمی‌کنید آن‌ها می‌توانستند اسامی خلاقانه تری برای این قضایا پیدا کنند؟ ریاضی دانان گروهی بسیار ساده هستند. دومین قضیه بنیادی بیان می‌کند که اگر یک تابع در بازه دل‌خواه از x = a تا x = b پیوسته باشد، آنگاه تابع زیر در هر نقطه از این فاصله یک مشتق دارد

و در نتیجه

منطقی است، نه؟ من می‌دانم که این قضیه‌ها هیجان‌انگیزترین بخش انتگرال‌گیری نیستند، اما قطعا به اندازه توانایی حل یک انتگرال در محاسبات مهم هستند!

در اینجا ما یک مثال از یک سوال پاسخ آزاد برای شروع کار شما ارائه می‌دهیم.

مثال ۵:

یک ذره در امتداد محور y با سرعت داده‌شده به وسیله( vleft(tright)=rmtsin(t^2 برای tge0 حرکت می‌کند.

۱. در زمان t = ۱.۵ در کدام جهت (بالا یا پایین) ذره حرکت می‌کند؟ چرا؟

۲. شتاب ذره را در زمان t = ۱.۵ پیدا کنید. آیا سرعت ذره در حال افزایش است؟ چرا؟

۳. با توجه به اینکه تابع y موقعیت ذره در زمان t است و yleft(0right)=3،‌ مقدار تابع y برای ۲ را پیدا کنید.

۴. کل مسافت طی‌شده توسط ذره را از t = ۰ به t = ۲ پیدا کنید.

اول، بیایید یک گام به عقب برداریم و چارچوب مسئله را بررسی کنیم. مانند همه مسائل، این مثال دارای بخش‌های متعددی است که چیزهای مختلفی را از شما می‌خواهد. بخش‌های ۱ و ۲ به انتگرال‌گیری نیاز ندارند، بنابراین ما از این مسائل در این تمرین صرف‌نظر می‌کنیم.

بخش ۳ موقعیت ذرات را در یک زمان خاص می‌خواهد. ما می‌دانیم که سرعت مشتقی از موقعیت است، و بنابراین نیاز به انتگرال گیری از معادله داده‌شده برای حل پروفایل سرعت داریم. از انتگرل معنی استفاده می‌کنیم یا انتگرال نامعین؟ ما می‌بینیم که انتگرال معین به ما جابجایی کلی ذره را می‌دهد. ما این را نمی‌خواهیم. همچنین می‌بینیم که یک شرط اولیه برای ذره به ما داده شده‌است؛ بنابراین می‌توانیم از یک انتگرال نامعین استفاده کنیم و آن را برای مقدار ثابت حل کنیم!

بیایید با تنظیم انتگرال شروع کنیم:

می‌بینیم که برای حل این مسئله نیاز به جایگزینی داریم. فرض کنید u = t ^ ۲ باشد و در نتیجه du = ۲dt. با جایگزینی، ما به شکل زیر می‌رسیم:

ما می‌توانیم دو t را لغو کرده و انتگرال را از نظر u حل کنیم:

سپس دوباره بخش اصلی را جایگزین می‌کنیم و آن را به شکل زیر در می‌آوریم:

حالا می‌توانیم برای C با شرایط اولیه خود حل کنیم:

بنابراین، معادله موقعیت ما تبدیل به معادله زیر می‌شود:

حل برای زمانی که t = ۲ است، به دست می‌آید:

بخش ۴ نیز یک مساله انتگرال‌گیری است. کل مسافت طی‌شده توسط ذره راه دیگری برای درخواست جابجایی ذره از t = ۰ به t = ۲ است. بنابراین می‌دانیم که باید از انتگرال معین استفاده کنیم. همچنین می‌دانیم که اولین گام برای حل معادله انتگرال حل معادله انتگرال نامعین است که قبلا در بخش ۳ انجام داده‌ایم. بنابراین، می‌توانیم به استفاده از قضیه بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال روی آوریم:

ما متوجه می‌شویم که قبلا هر دوی این مقادیر را محاسبه کرده‌ایم! در نتیجه فقط جایگزین کرده و آن را حل می‌کنیم:

یوریکا! همانطور که دیدیم، انتگرال‌گیری خیلی بد نیست. حالا شما تمام ابزارهای لازم برای انجام انتگرال‌گیری را دارید! اما به خاطر داشته باشید که تمرین باعث عالی شدن در آن می‌شود!

این متن با استفاده از ربات ترجمه مقاله علمی ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.