چگونه ریاضی‌دانان از ریخت‌شناسی برای درک توپولوژی استفاده می‌کنند؟

منتشر‌شده در: quantamagazine به تاریخ ۱۱ می ۲۰۲۱
لینک منبع: How Mathematicians Use Homology to Make Sense of Topology

در ابتدا، توپولوژی می‌تواند مانند یک شاخه غیر‌دقیق از ریاضیات به نظر برسد. این مطالعه‌ای از اشکال نرم خمیربازی است که قادر به خم شدن ، کشش و فشرده سازی بدون محدودیت هستند. اما متخصصان سطح زمین محدودیت‌هایی دارند: آن‌ها نمی‌توانند حفره‌هایی در داخل اشکال ایجاد یا تخریب کنند. (این یک شوخی قدیمی است که زمین شناسان نمی‌توانند تفاوت بین فنجان قهوه و دونات را تشخیص دهند، چون هر دوی آن‌ها یک حفره دارند.) در حالی که این ممکن است فریادی دور از دقت جبر به نظر برسد، یک ایده قدرتمند به نام همولوژی به ریاضی‌دانان کمک می‌کند تا این دو جهان را به هم متصل کنند.

کلمه «حفره» در گفتار روزمره معانی زیادی دارد - حباب‌ها، نوارهای لاستیکی و کاسه‌ها همه انواع مختلف حفره دارند. ریاضی‌دانان علاقه‌مند به تشخیص نوع خاصی از حفره هستند، که می‌تواند به عنوان یک فضای بسته و توخالی توصیف شود. یک حفره یک بعدی شبیه یک نوار لاستیکی است. خط کج که یک نوار لاستیکی را شکل می‌دهد بسته می‌شود (بر خلاف یک رشته آزاد) و تهی است (بر خلاف یک پنی).

با گسترش این منطق، یک حفره دو بعدی شبیه یک توپ توخالی به نظر می‌رسد. انواع حفره‌هایی که ریاضی دانان به دنبال آن‌ها هستند -بسته و توخالی- در توپ‌های بسکتبال یافت می‌شوند اما نه در کاسه‌ها یا توپ‌های بولینگ.

اما ریاضیات با دقت حرکت می‌کند، و در حالی که فکر کردن در مورد حفره‌ها به این روش ممکن است به ما کمک کند تا شهود خود را به سمت نوارهای لاستیکی و توپ‌های بسکتبال سوق دهیم، برای واجد شرایط بودن به عنوان یک تعریف ریاضی، به اندازه کافی دقیق نیست. به عنوان مثال، به وضوح حفره‌ها در ابعاد بالاتر را توصیف نمی‌کند، و شما نمی‌توانید یک کامپیوتر را برای تشخیص فضاهای بسته و خالی برنامه‌ریزی کنید.

خوزه کوره از دانشگاه ایالتی میشیگان گفت: « تعریف خوبی از یک حفره وجود ندارد.»

بنابراین، در عوض، همولوژی حفره‌های یک شی را از مرزهای آن، یک مفهوم ریاضی دقیق‌تر، القا می‌کند. برای مطالعه حفره‌ها در یک شی، ریاضی‌دانان تنها به اطلاعاتی در مورد مرزهای آن نیاز دارند.

مرز یک شکل، مجموعه‌ای از نقاط در پیرامون آن است و مرز یک شکل همیشه یک بعد پایین‌تر از خود شکل است. به عنوان مثال، مرز یک بخش خطی یک بعدی شامل دو نقطه در هر دو انتها است. (نقاط با ابعاد صفر در نظر گرفته می‌شوند.) مرز یک مثلث توپر، مثلث توخالی است که شامل لبه‌های یک بعدی است. به طور مشابه، هرم توپر توسط یک هرم توخالی محدود می‌شود.

اگر دو بخش خطی را به هم بچسبانید، نقاط مرزی که آن‌ها با هم ملاقات می‌کنند ناپدید می‌شوند. نقاط مرزی مانند لبه یک صخره هستند - آن‌ها نزدیک به سقوط از خط هستند. اما زمانی که خطوط را به هم متصل می‌کنید، نقاطی که بر روی لبه‌ها قرار داشتند اکنون به طور ایمن در مرکز قرار دارند. به طور جداگانه، این دو خط دارای چهار نقطه مرزی کلی بودند، اما زمانی که به هم متصل می‌شوند، شکل حاصل تنها دو نقطه مرزی دارد.

مطالعه مقاله محاسبات کوانتومی چیست؟ توصیه می‌شود.

اگر بتوانید لبه سوم را وصل کنید و ساختار را ببندید و یک مثلث توخالی ایجاد کنید، آنگاه نقاط مرزی به طور کامل ناپدید می‌شوند. هر نقطه مرزی لبه‌های مولفه با نقطه دیگری حذف می‌شود و مثلث توخالی بدون هیچ مرزی باقی می‌ماند. بنابراین هر زمان که مجموعه‌ای از خطوط یک حلقه را شکل می‌دهند، مرزها لغو می‌شوند.

حلقه‌ها دوباره دور خودشان حلقه می‌زنند و یک منطقه مرکزی را محصور می‌کنند. اما این حلقه تنها در صورتی یک حفره را شکل می‌دهد که منطقه مرکزی خالی باشد، مانند یک نوار لاستیکی. دایره‌ای که بر روی کاغذ کشیده می‌شود یک حلقه تشکیل می‌دهد، اما این یک حفره نیست زیرا مرکز آن پر شده‌است. حلقه‌هایی که یک ناحیه توپر-از نوع غیر حفره‌ای-را محصور می‌کنند، مرز آن ناحیه دو بعدی هستند.

بنابراین، حفره‌ها دو ویژگی مهم و سخت دارند. اول، یک حفره هیچ مرزی ندارد چون یک شکل بسته را شکل می‌دهد. و دوم اینکه، یک حفره مرز چیز دیگری نیست، چون خود حفره باید تهی باشد.

این تعریف می‌تواند به ابعاد بالاتر بسط یابد. یک مثلث توپر دو بعدی توسط سه لبه محدود می‌شود. اگر چندین مثلث را به هم وصل کنید، برخی لبه‌های مرزی ناپدید می‌شوند. وقتی چهار مثلث در یک هرم قرار می‌گیرند، هر کدام از لبه‌ها با یک مثلث دیگر تقسیم می‌شوند. بنابراین دیوارهای یک هرم هیچ مرزی ندارند. اگر آن هرم تهی باشد-یعنی مرز یک بلوک توپر سه‌بعدی نیست-پس یک حفره دو بعدی را شکل می‌دهد. برای یافتن تمام انواع حفره‌ها در یک شکل توپولوژیکی خاص، ریاضی‌دانان چیزی به نام مجموعه زنجیره‌ای می‌سازند که داربست همولوژی را تشکیل می‌دهد.

بسیاری از اشکال توپولوژیکی را می توان با چسباندن قطعات در ابعاد مختلف ساخت. مجموعه زنجیری یک دیاگرام است که دستورهای مونتاژ برای یک شکل را می‌دهد. قطعات تکی شکل با ابعاد گروه‌بندی می‌شوند و سپس به صورت سلسله مراتبی مرتب می‌شوند: سطح اول شامل تمام نقاط، سطح بعدی شامل تمام خطوط، و غیره است. (همچنین یک سطح صفر خالی وجود دارد، که به سادگی به عنوان پایه عمل می‌کند.) هر سطح توسط فلش‌ها به سطح زیر آن متصل می‌شود، که نشان می‌دهد چگونه به هم چسبیده‌اند. به عنوان مثال، یک مثلث توپر به سه لبه متصل است که مرز آن را تشکیل می‌دهند.

ریاضی‌دانان یک شباهت شکلی را از مجموعه زنجیری استخراج می‌کنند، که داده‌های ساختاربندی شده‌ای را در مورد اجزای شکل و مرزهای آن‌ها فراهم می‌کند-دقیقا همان چیزی که شما برای توصیف حفره‌ها در هر بعد نیاز دارید. هنگامی که شما از مجموعه زنجیری استفاده می‌کنید، فرآیندهای پیدا کردن یک حفره ۱۰ بعدی و یک حفره یک بعدی تقریبا یک‌سان هستند (به جز اینکه یکی از آن‌ها بسیار سخت‌تر از دیگری است).

ممکن است مطالعه مقاله چگونه محاسبات کوانتومی می‌تواند علم شیمی را متاثر کند؟ برای شما جذاب باشد.

تعریف همولوژی به اندازه کافی سخت است که یک کامپیوتر بتواند از آن برای یافتن و شمارش حفره‌ها استفاده کند، که به ایجاد دقت مورد نیاز در ریاضیات کمک می‌کند. همچنین به محققان این امکان را می‌دهد تا از همولوژی برای هدفی بیش از پیش محبوب استفاده کنند: تجزیه و تحلیل داده‌ها.

به این دلیل که داده‌ها را می توان به صورت نقاط شناور در فضا مجسم کرد. این نقاط داده می‌توانند مکان‌های اشیاء فیزیکی، مانند سنسورها، یا موقعیت‌ها در یک فضای انتزاعی، مانند توصیف اولویت‌های غذایی، با نقاط نزدیک که نشان‌دهنده افراد دارای کام مشابه هستند را نشان دهند.

برای شکل دادن اشکال از داده‌ها، ریاضی‌دانان خطوط را بین نقاط همسایه رسم می‌کنند. هنگامی که سه نقطه به هم نزدیک باشند، پر می‌شوند تا یک مثلث توپر را تشکیل دهند. هنگامی که تعداد بیشتری از نقاط با یکدیگر خوشه‌بندی می‌شوند، اشکال پیچیده‌تر و با ابعاد بالاتر را تشکیل می‌دهند. پر کردن نقاط داده به آن‌ها بافت و حجم می‌دهد-تصویری از نقاط ایجاد می‌کند.

زیست‌شناسی این دنیای اشکال مبهم را به دنیای سخت جبر ترجمه می‌کند، شاخه‌ای از ریاضیات که ساختارهای عددی و تقارن‌های خاصی را مطالعه می‌کند. ریاضی‌دانان خواص این ساختارهای جبری را در یک میدان به نام جبر همولوژی مطالعه می‌کنند. از جبر آن‌ها به طور غیرمستقیم اطلاعاتی را در مورد شکل توپولوژیکی اصلی داده‌ها یاد می‌گیرند. زیست‌شناسی انواع مختلفی دارد که همه آن‌ها با جبر مرتبط هستند.

انسان شناسی یک ساختار آشنا است. مگی میلر از موسسه تکنولوژی ماساچوست گفت: « ما چیزهای جبری زیادی داریم که در مورد آن می‌دانیم.»

اطلاعات ارائه‌شده توسط همولوژی حتی عدم دقت داده‌ها را در نظر می‌گیرد: اگر داده‌ها اندکی تغییر کنند، تعداد حفره‌ها باید یک‌سان باقی بمانند. و هنگامی که مقادیر زیادی از داده‌ها پردازش می‌شوند، این حفره‌ها می‌توانند ویژگی‌های مهمی را آشکار کنند. برای مثال، حلقه‌ها در داده‌های متغیر با زمان می‌توانند تناوب را نشان دهند. حفره‌ها در ابعاد دیگر می‌توانند خوشه‌ها و حفره‌ها را در داده‌ها نشان دهند.

رابرت گریست از دانشگاه پنسیلوانیا گفت: "انگیزه واقعی برای داشتن روشهایی قوی و محکم برای بیرون کشیدن ویژگی‌های کیفی وجود دارد." « این همان چیزی است که همولوژی به شما می‌دهد.»

این متن با استفاده از ربات مترجم مقالات یادگیری ماشین ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.

مقالات لینک‌شده در این متن می‌توانند به صورت رایگان با استفاده از مقاله‌خوان ترجمیار به فارسی مطالعه شوند.