کلاس فشرده انتگرال‌ها

منتشرشده در towardsdatascience
لینک مقاله اصلی: An Integrals Crash Course

چرا شما باید انتگرال‌ها را بشناسید

«علم داده» یک اصطلاح بسیار گسترده است. این اصطلاح شامل مشاهده داده‌ها، تحلیل داده‌ها، مهندسی داده‌ها، مدل‌سازی داده‌ها و غیره است. در مواردی که بیشتر روی تجسم داده‌ها و تحلیل داده‌ها تمرکز می‌کنید، انتگرال‌ها ممکن است لازم نباشند.

با این حال، برای کسانی که می‌خواهند وارد مدل‌سازی پیش‌بینی و آزمون فرضیه‌ها شوند، انتگرال‌ها یک بلوک ساختاری اساسی برای دانشمند داده‌ها بودن است. اگر قصد دارید در مورد آمار و توزیع‌های احتمالی با جزئیات بیشتر یاد بگیرید، شناخت اصول اولیه یکپارچه‌سازی و انتگرال‌گیری بسیار مفید خواهد بود.

در پایان این مقاله، شما ایده‌های اصلی انتگرال‌ها، ویژگی‌های اصلی انتگرال‌ها، و پادمشتق‌های رایج که دانستن آن‌ها مفید خواهد بود را درک خواهید کرد.

تخمین مساحت زیر منحنی‌ها با مجموع ریمان

تصور کنید که می‌خواهیم سطح زیر منحنی بین دو نقطه a و b را پیدا کنیم. یکی از روش‌ها تخمین سطح زیر منحنی با استفاده از مستطیل‌ها است.

توجه داشته باشید که هر چه مستطیل‌های بیشتری برای تخمین سطح زیر منحنی استفاده کنیم، تخمین دقیق‌تر خواهد بود. اگر سطح چهار مستطیل سمت راست را در نظر بگیریم، سطح زیر منحنی را خیلی بهتر از دو مستطیل سمت چپ تخمین می‌زنیم.

چهار راه اصلی برای استفاده از مجموع ریمان وجود دارد، اما ما می‌خواهیم بر روی ریمان چپ، ریمان راست و ریمان نقطه میانی تمرکز کنیم. تفاوت بین این سه این است که آن‌ها به سادگی تعیین می‌کنند که ارتفاع هر مستطیل باید چه باشد (مقدار y).

از آنجایی که مجموع ریمان نقطه میانی دقیق‌ترین است، مطلوب‌تر از مجموع ریمان چپ یا راست است. دو معادله وجود دارد که باید آن‌ها را بدانید:

دلتا x به ما می‌گوید که عرض هر مستطیل باید چقدر باشد. سپس از معادله بعدی برای جمع کردن مساحت هر مستطیل استفاده می‌کنیم. ساده است!

انتگرال معین به عنوان حد مجموع ریمان

همانطور که قبلا اشاره کردم، دقت کنید که چگونه تخمین یک ناحیه بخاطر استفاده از مستطیل‌های بیشتر برای تخمین یک ناحیه زیر یک منحنی بهتر می‌شود. در تئوری، اگر از تعداد بی‌نهایت مستطیل استفاده کنید، می‌توانید سطح دقیق زیر یک منحنی را پیدا کنید. وقتی که n (تعداد مستطیل‌ها) به بی‌نهایت نزدیک می‌شود، می‌توانیم این را به صورت یک حد بنویسیم.

این حد معادل معادله انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته می‌شود:

حالا که متوجه شدید انتگرال معین چیست، نگاهی به اصول اساسی انتگرال‌ها می‌اندازیم.

نگران نباشید، درک آن‌ها بسیار ساده است، پس اصلا نترسید.

اول، به دو قضیه اساسی حساب (که باعث مفیدتر شدن انتگرال‌گیری می‌شود) نگاهی می‌اندازیم، و سپس به ویژگی‌های مختلف انتگرال‌ها می‌پردازیم.

قضایای اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال

اولین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال

این قضیه به ما می‌گوید که چگونه می‌توانیم مساحت زیر یک منحنی را وقتی که انتگرال معادله را پیدا می‌کنیم، محاسبه کنیم.

دومین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال

این قضیه در اصل به این معنی است که انتگرال ضد مشتق است؛ یعنی برعکس پیدا کردن مشتق است. در واقع به ما می‌گوید که بین انتگرال‌ها و مشتقات رابطه وجود دارد.

ویژگی‌های انتگرال‌های معین

انتگرال‌های معین منفی

سطح بالای یک منحنی و تا محور x منفی است. به عنوان مثال، اگر می‌خواهید انتگرال تابع بالا بین نقاط a و b را به دست آورید، مساحت به جای ده، منفی ده می‌شود.

انتگرال معین بر روی یک نقطه

انتگرال یک نقطه منفرد، c، برابر با صفر است. این موضوع منطقی به نظر می‌رسد چون اگر در مورد آن فکر کنید، مساحت یک خط صفر است!

انتگرال معین یک نسخه مقیاس بندی شده از یک تابع

انتگرال تابعی ضربدر یک عدد مشخص برابر است با انتگرال آن تابع ضربدر همان عدد.

انتگرال‌های معین با جابه‌جایی محدوده

یک انتگرال با جابه‌جایی محدوده (a و b) برابر با انتگرال منفی است.

انتگرال‌های معین مجموع توابع

انتگرال از تابع f به علاوه انتگرال از تابع g برابر با انتگرال تابع f به علاوه g است.

انتگرال‌های معین در فواصل مجاور

انتگرال معین از نقطه a تا نقطه c برابر با مجموع انتگرال از نقطه a تا نقطه b و انتگرال از نقطه b تا نقطه c است.

انتگرال توابع رایج

مشابه با این که چگونه یاد گرفتید که مشتق x² برابر با ۲x و مشتق سینوس x برابر با کسینوس x است، در زیر انتگرال‌ها از توابع رایج که به شدت در هنگام یافتن سطح زیر منحنی توزیع احتمال به کار می‌روند آورده شده‌است.

انتگرال نامعین چندجمله‌ای‌ها (قانون توان معکوس)

شکل بالا تعمیمی از یافتن انتگرال از یک چند جمله‌ای است. شما می‌توانید این را بعدا با پیدا کردن مشتق انتگرال تایید کنید!

انتگرال‌های نامعین رادیکال‌ها

همانند نکته قبلی، معادله بالا تعمیمی از انتگرال‌ یک رادیکال است.

انتگرال‌های نامعین توابع نمایی

انتگرال‌های نامعین توابع مثلثاتی

از اینکه این مطلب را خواندید متشکرم!

با خواندن این مطلب، شما باید مفهوم اصلی انتگرال‌ها را به عنوان قوانین اصلی که به آن‌ها نیاز دارید، بدانید. باز هم، این برای کسانی که می‌خواهند درک بهتری از توزیع‌های احتمالی به دست آورند، بسیار مفید خواهد بود.

این متن با استفاده از ربات ترجمه مقاله علمی ترجمه شده و به صورت محدود مورد بازبینی انسانی قرار گرفته است.در نتیجه می‌تواند دارای برخی اشکالات ترجمه باشد.