یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات مفهوم فضای برداری یا فضای خطی است. وقتی این برچسب را به کلاسی از اشیا نسبت می دهیم، این مطلب مستفاد می شود که این کلاس یک ساختار دارد. به عنوان مثال اشیا آن کلاس را می توان توسط عملی به اسم جمع، جمع کرد و نیز می توان آن ها را توسط یک گونه از عمل ضرب، scale نمود. بنابراین می توان ترکیب خطی از اشیا آن کلاس ایجاد کرد و در صورتی که آن کلاس ویژگی های فضاهای ضرب داخلی برقرار باشد، می توان ضرب داخلی را تعریف کرده و پایه هایی را برای آن فضا تعریف نمود. با تعریف ضرب داخلی همچنین مفهوم تعامد اشیا قابل تعریف بوده و پایه های متعامد نیز قابل تعریف است.
یک مثال خوب از چنین کلاسی، کلاس بردارهای 3D است. مثال های دیگر شامل کلاس ماتریس ها، توابع، عملگرها و ... می شود. وقتی در یک فضای برداری صحبت می کنیم، عمدتا به هر یک از اعضا یک بردار گفته می شود. اما از آنجایی که لفظ بردار بیشتر برای فضای 3D به کار برده شده است، بهتر از کلمه ی المان استفاده شود.
حس بدیهی تر نسبت به فضای برداری یا خطی: مجموعه ی V را یک فضای برداری می گوییم هر گاه ترکیب خطی از اعضای آن قابل تعریف باشد. بسته بودن نسبت به یک عمل شرط اولیه برای تعریف آن عمل است. بنابراین وقتی می گوییم دو عمل جمع و ضرب اسکالر روی V تعریف شوند (ترکیب خطی قابل انجام باشد) خود به خود این مطلب دریافت می شود که هر ترکیب خطی روی هر تعداد از اعضای V حتما عضوی از V خواهد بود.
حال مسئله ی جالب این است که اگر n تا از اعضای V را انتخاب کنیم و همه ی ترکیب خطی آن ها را در نظر بگیریم به مجموعه ای مثل S می رسیم که اصطلاحا به آن span این بردارها گفته می شود. اما نکته ی جالب این است که این مجموعه نیز خود مانند V یک فضای برداری است. زیرا هر عضو آن که scale شود باز هم در S است. (هر عضو آن ترکیب خطی از n بردار بود حال اگر آن را در یک عدد ضرب کنیم باز هم ترکیب خطی از همان بردارهاست) و نیز اگر دو عضو آن را جمع کنیم حاصل در S خواهد بود (زیرا هر یک از اعضا ترکیب خطی از بردارهای اولیه بود و جمع آن ها نیز ترکیب خطی از آن هاست).
لذا S حتما زیرمجموعه V است.
پایه های فضا:
حال n برداری که انتخاب کردیم دو مفهوم کلی را ایجاد خواهند کرد:ی که انتخاب کردیم دو مفهوم کلی را ایجاد خواهند کرد:پایه های فضا:حال n برداری که انتخاب کردیم دو مفهوم کلی را ایجاد خواهند کرد:ی که انتخاب کردیم دو مفهوم کلی را ایجاد خواهند کرد:
1- آیا این n بردار می توانند V را بسازند؟ به عبارت بهتر آیا S=V .
2- آیا در خود n بردار می توان یکی را بر حسب دیگران نوشت یا نه؟ به عبارت بهتر آیا این بردارها از هم مستقل اند یا وابسته اند (مستقل خطی اند یا نه)
اگر بردارها مستقل خطی باشند و نیز S=V باشد آنگاه این بردارها را پایه هایی برای فضای V می گوییم و تعداد ابعاد این فضا را n تعریف می کنیم. پایه ها از این منظر هم هستند که اگر ما ریاضیاتمان را بر روی پایه ها بسط دهیم خود به خود روی کل فضا بسط داده ایم زیرا ترکیب خطی آن ها فضا را می سازد.
