اعداد گنگ یا نامتناهی دقیقا چیست؟

اعداد گنگ یا نامتناهی اعدادی حقیقی هستند که نمی توان آنها را به صورت کسر یا نسبت دو عدد صحیح بیان کرد. آنها به اشکال متفاوتی نامتناهی محسوب می‌شوند. به عنوان مثال عدد پی با توجه به اعشار بینهایت خود (3.14159…) و خود بینهایت به دلیل نامتناهی بودن شکل عددی‌ گنگ محسوب می‌شوند.

مفهوم پشت اعداد گنگ این است که آنها مقادیری را نشان می دهند که نمی توانند دقیقاً اندازه گیری شوند. به عنوان مثال، اگر ما فواصل واحد های اندازه خود را هرچقدر کوچک و دقیق تر کنیم، همواره می‌تواند دقیق تر از قبل شود، اما هیچ‌گاه به دقت کامل نمی‌رسد. اعداد گنگ همچنین کاربردهایی در فیزیک، مهندسی، امور مالی و سایر زمینه‌ها پیدا می‌کنند که در آن اندازه‌گیری‌های دقیق مورد نیاز است، اما به دلیل غیردقیق بودن ذاتی آن‌ها مجبور به نمایش آن به صورت عدد گنگ هستیم.

در ریاضیاتِ بدون اعداد گنگ مانند هندسه متناهی تعریفی از بی نهایت وجود ندارد. تمام عملیات باید در محدوده های تعیین شده توسط سیستم مورد مطالعه، انجام شود. به عبارت دیگر، این سیستم‌ها نمی‌توانند با مقادیر بی‌نهایت بزرگ یا کوچک سروکار داشته باشند، زیرا فاقد درک درستی از چیزی هستند که یک عدد گنگ نشان‌دهنده آن است، چیزی که برای همیشه ادامه دارد اما هرگز به نقطه پایانی خود نمی‌رسد. این بدان معنی است که برخی از مشکلات را نمی توان در این سیستم ها حل کرد زیرا که در آنها همواره باید جوابی برای سوالی مانند «x مقدار معین در زمان معین چقد با نقطه پایان خود فاصله دارد» وجود داشته باشد. که محاسبه دقیق هر چیزی که شامل بی نهایت کوچک/بزرگ باشد را غیرممکن می کند. مانند مشتقات و انتگرال هایی که نیاز به محاسبات دقیق در فواصل پیوسته دارند.

مفهوم نقطه ملاقات یا نقطه تمایل در مورد اعداد گنگ بسیار مهم است زیرا آنها مانند اعداد گویا در یک نقطه خاص خاتمه نمی یابند. در عوض، مقادیر آن‌ها بینهایت به یکدیگر نزدیک و نزدیک تر می‌شوند، اما هرگز به محدودیت‌ها یا مرزهای معینی نمی‌رسند که به عنوان «نقاط ملاقات» شناخته می‌شوند. برای مثال، 0.99... نقطه تلاقی خود را در 1 دارد، زیرا بینهایت به آن نزدیک است اما در واقع دقیقاً برابر با 1 نیست، مهم نیست که چند 9 به آن اضافه کنید. هیچگاه به 1 نخواهد رسید. اما آنقدر این فاصله کوتاه می‌شود که در نهایت 1 در نظر گرفته می‌شود.

از لحاظ تاریخی ریاضیدانان برای اولین بار در زمان یونان باستان با این نوع ریاضیات عمومی روبرو شدند (ممکن است استدلال کنید که سیستم اعشاری در ایران و آسیا توسعه پیدا کرده است پس چطور یونانیان با این اعداد برخورد کرده اند، در جواب باید گفت که اعداد گنگ لزوما اعشاری نیستند، هر نامتناهی ای را (مثل خود بینهایت) می‌توان گنگ نام داد، ضمن اینکه یونانیان با اشکال متفاوتی از شکل امروزی اعشار، آنها را نمایش می‌دادند)، زمانی که سعی داشتند مسائل مربوط به هندسه و مثلثات را با استفاده از آنچه ما اکنون معادلات جبری گنگ می نامیم حل کنند. معادلاتی که حاوی متغیرهایی با ریشه های ناشناخته هستند که به جای اینکه دقیقاً حل شوند، قابل تقریب هستند. این نوع از ریاضی نامتناهی توسط بیشتر اعضای جامعه ریاضی پذیرفته شد، اما برخی از ریاضیدانان (در حال حاضر نیز این چنین جوامع ریاضی وجود داد) این نوع از ریاضیات را نپذیرفتند.

به طور کلی نامتناهی‌ها ابزارهای قدرتمندی را برای حل مسائل پیچیده مربوط به فیزیک و مهندسی در اختیار ریاضیدانان قرار می دهند زیرا به آنها اجازه می دهد تا به طور دقیق نتایج را حتی زمانی که با تغییرات بسیار کوچک در دوره های زمانی طولانی سر و کار دارند پیش بینی کنند!