فلسفه ریاضیات یک رشته مطالعاتی مشترک بین ریاضی و فلسفه است. این رشته به دنبال پاسخ به سؤالات اساسی در مورد ماهیت، هدف و ساختار ریاضیات است. در هسته آن این سوالات نهفته است: ریاضیات چیست؟ ماهیت اشیاء ریاضی چیست؟ چگونه آنها را بشناسیم؟ اثبات چه نقشی در درک ما از ریاضیات دارد؟ آیا ریاضیات به حد کافی دقیق هستند؟ ایا دقت مطلق یا بینهایت داریم؟ و از این قبیل سوالات. در این مقاله، به این پرسش ساده و در عین حال عمیق قرن ها مورد بحث دانشمندان بسیاری از رشته های مختلف بوده است می‌پردازیم.
فلسفه ریاضیات معتقد است که حقایق خاصی در مورد اعداد و سایر اشیاء ریاضی وجود دارد که می توان آنها را از طریق مطالعه دقیق و استدلال منطقی کشف کرد. این حقایق مستقل از هر واقعیت فیزیکی وجود دارند. آنها مشروط به چیزهایی مانند ادراک یا تجربه انسان نیستند. بنابراین، دانش ما در مورد اعداد به جای مشاهده یا آزمایش، مفهومی است که به عنوان عقل گرایی شناخته می شود یا به عبارتی از تفکر خالص ناشی می شود. این بدان معناست که وقتی ریاضیدانان یک قضیه را با استفاده از منطق قیاسی (یعنی شروع با مقدمات پذیرفته شده) اثبات می کنند، بدون توجه به اینکه دیگران آن را می دانند یا نه، می توانند مطمئن باشند که درست است. حقیقت، خارج از عقاید ذهنی یا سیستم های اعتقادی وجود دارد، زیرا می توان آن را به طور منطقی از حقایق ثابت شده بدون نیاز به شواهد تجربی برای پشتیبان گیری از نتایج آن استنتاج کرد.
ریاضیدانان همچنین در هنگام استنتاج از کار خود به استقرا تکیه می کنند که فرآیندی است که طی آن مشاهدات خاص را به نظریه های گسترده تر بر اساس الگوهای مشاهده شده در طول زمان تعمیم می دهیم (مثلاً: "همه پرندگان بال دارند"). استقرا به ما امکان می‌دهد بر اساس مجموعه داده‌های محدود پیش‌بینی کنیم. اما برخلاف استنتاج، این پیش‌بینی‌ها در صورتی که حقایق جدیدی فاش شوند، به طور بالقوه می‌توانند تغییر کنند. بنابراین باعث ایجاد عدم قطعیت در باورهای فرد در مورد مسائل مرتبط با ریاضی حتی پس از اعمال اثبات‌های دقیق می‌شود. در نهایت، ریاضیدانان اغلب از بدیهیات استفاده می‌کنند، گزاره‌های بدیهی که بدون نیاز به توضیح بیشتر به عنوان واقعیت در نظر گرفته می‌شوند تا استدلال‌های خود را بر اساس آنها اثبات کنند و نتایج مختلفی را در شاخه‌های مختلف نظریه ریاضی اثبات کنند. بدیهی سازی امکان ساختن مفاهیم انتزاعی بیشتر را در اختیار ما قرار می دهد تا در نهایت از طریق استدلال منطقی به نتیجه‌ی دلخواه برسیم.
همچنین از نظر فلسفه ریاضیات، ریاضیات را می توان به عنوان یک علم انتزاعی یا عینی بسته به دیدگاه فرد در نظر گرفت. از منظر انتزاعی، به عنوان مجموعه ای از ایده ها در نظر گرفته می شود که برای ایجاد سیستم های منطقی استفاده می شود که سپس در زمینه های مختلف مانند مهندسی و اقتصاد اعمال می شود. این دیدگاه به جای به خاطر سپردن فرمول ها یا معادلات، بر اهمیت منطق در درک مفاهیم ریاضی تاکید دارد. از سوی دیگر (از منظر دقیق تر) ریاضی را می توان به سادگی به عنوان اعداد در نظر گرفت. ابزاری که توسط انسان ها برای توصیف پدیده های فیزیکی مانند حرکت یا انتقال انرژی از طریق معادلات استفاده می شود. این دیدگاه بیشتر بر نحوه استفاده ما از ریاضی در زندگی روزمره متمرکز است تا مفاهیم فی نفسه‌‌ی فلسفی.
به طور خلاصه، می‌توان گفت که فلسفه ریاضیات به دنبال پاسخ به سؤالات اساسی در مورد ماهیت و ساختار ریاضیات است. این رشته با تمرکز بر استدلال منطقی و دقت بالا، به ما کمک می‌کند تا نحوه عملکرد ریاضیات را درک کنیم. رویکرد های مختلفی برای تعریف و تبیین ریاضیات وجود دارد که از دو دیدگاه انتزاعی و عینی می توان به آن نگریست. همچنین، استفاده از بدیهیات در استدلال‌های ریاضی، امری ضروری برای شکل دادن به مفاهیم انتزاعی و تعریف آنهاست. در کل، فلسفه ریاضیات به ما کمک می‌کند تا پایه‌های قوی‌تری برای فهم بهتر و توسعه پیشرفت‌های جدید در ریاضیات داشته باشیم اما شاخه های توصیف شده توسط آن نباید باعث مباحثه و ستیز میان ریاضیدانان شود، زیرا فارغ از اینکه چه دیدگاهی را در مورد ریاضی پذیرفته ایم، ریاضیات کار خود را می‌کند.
