حدود ۴۰ هزار سال پیش، در جایی که امروزه به نام کنگو شناخته میشود، برخی از نیاکان ما تکهای استخوان و ابزاری سنگی را برداشتند و به کار پرداختند. شیارهایی که بر آن حک کردند، آگاهانه و هدفمند بودند و بهروشنی قرار بود معنایی را منتقل کنند. امروزه این نشانهها را بهعنوان شکلهای اولیه ی شمارش میشناسیم. با دقت بیشتر، نکتهای حتی جالبتر آشکار میشود: این شیارها در گروههای متمایز سازماندهی شدهاند. این امر نشان میدهد که آنها بهطور جداگانه حک شدهاند تا شمارش چندین مورد آسانتر شود یا اعداد بزرگتری را نمایش دهند.
بنیادیترین عمل در ریاضیات شمارش است، اما برخلاف آنچه در نگاه نخست به نظر میرسد، شمارش کاری پیچیده از نظر شناختی است و کشف و تسلط بر آن زمان زیادی از ما گرفت. بسیاری از جانوران دیگر توانایی محدودی در شمارش دارند. شمارش، در ابتداییترین سطح خود، به حافظهٔ کوتاهمدت ما مربوط میشود. در آزمایشی مشهور با کلاغها، پژوهشگران دریافتند که آنها میتوانند تا ۵ مورد را بشمارند. کلاغها در آزمایشگاه آموزش دیدند تا به نشانههای دیداری و شنیداریای که یک عدد را نشان میداد پاسخ دهند (برای مثال، نماد یا آوایی که متناظر با عددی از ۱ تا ۴ بود). پرندگان باید همان تعداد آوا (قارقار) تولید میکردند و سپس با نوک زدن به صفحهای نشان میدادند که کارشان تمام شده است. اما حافظهٔ کوتاهمدت همهٔ ماجرا نیست؛ زیرا حتی در مقایسه با گونههای بسیار نزدیک مانند شامپانزهها، ما حافظهٔ کوتاهمدت قابلقیاسی نداریم. با این حال، میتوانیم تقریباً بدون محدودیت بشماریم! این چگونه ممکن است؟
نخستین شکلهای شمارش در گونهٔ انسان بر نوشتن و ثبت بیرونی تکیه داشتند؛ اغلب به صورت شیارهایی که بر استخوان، چوب یا سنگ حک میشدند و نشاندهندهٔ کارکردی ساده برای ثبت یا شمارش بودند. این کار به انسانها کمک کرد تا بار شناختیِ نگهداشتن همزمانِ چیزهای بسیار را از ذهن به بیرون منتقل کنند: شکلی از شناختِ گسترشیافته. اما همزمان، با پدید آمدن زبان، راههای تازهای برای شمارش در این ابزار شناختیِ مشترک یافتیم؛ یعنی زبان، که «اعداد» را در بیناذهنیت (Intersubjectivity) ما رمزگذاری میکند. به این ترتیب، ما اعداد و دستگاههای عددی را پدید آوردیم.
در کتاب «ذهنِ بازگشتی: خاستگاههای زبان، اندیشه و تمدن انسانی»، کوربالیس دیدگاه رایجِ سنتی را که زبان را عامل اصلی تمایز انسان از دیگر گونهها میداند، به چالش میکشد. او در عوض استدلال میکند که آنچه واقعاً ما را متمایز میسازد، توانایی اندیشیدنِ بازگشتی (recursive) است. این توانایی نهتنها به پیدایش زبان انجامید، بلکه امکان «اندیشیدن دربارهٔ اندیشیدن»، سفر ذهنی در زمان، نظریهٔ ذهن و در نهایت فرهنگ را فراهم کرد. انسانتباران نخستین در دورهٔ پلیستوسن با محیطهایی پیچیده روبهرو بودند که در آنها برنامهریزیِ انعطافپذیر و همکاری اجتماعی مزیتهای حیاتی برای بقا محسوب میشد. بازگشتپذیری به انسانها قدرت پیشبینی بهتر، حافظهٔ کارآمدتر و هماهنگی اجتماعیِ بالاتری بخشید.
زادگاه ریاضیات در همهٔ فرهنگها همواره با شمارش و نظامهای عددی گره خورده است. وجه مشترکِ همه ی این نظامهای عددی در سراسر جهان و در طول تاریخ آن است که همگی شیوههای تازهای برای نامگذاریِ گروهها و اعمالِ بازگشتپذیریاند. میتوان گفت مهمترین جنبه ی شمارش «بازگشتپذیری» است: ذهن میتواند بشمارد، زیرا قادر است اشیا را گروهبندی کند، سپس گروهها را گروهبندی کند، سپس گروهِ گروهها را، و همینطور ادامه دهد. در سادهترین حالت، این گروهبندی میتواند دو شیء باشد (زیرا گروههای یکتایی قابلِ بازگشت نیستند)، اما اگر بتوانید با انگشتانتان بشمارید، میتوانید در گروههای ۵ یا ۱۰ نیز بشمارید. بازگشتپذیری جوهرهٔ اعداد طبیعی و حساب است؛ چنانکه این امر را میتوان در اصل پنجمِ اصول موضوعهٔ پئانو نیز مشاهده کرد.
تمایز نهادن میان «تکرار» (repetition) و «بازگشتپذیری» (recursion) امری اساسی است. تکرارِ صرف شما را به همان سطح ساختاریای که از آن آغاز کردهاید بازنمیگرداند؛ بلکه فقط چیزهای بیشتری از همان نوع تولید میکند. اگر اشیا را بیهدف گروهبندی کنید، به جایی نمیرسید: مجموعهای از گروهها خواهید داشت، بیآنکه سازماندهی تازهای پدید آید. شمارش، در مقابل، بر گروهبندیِ بازگشتی استوار است: همان عمل نهفقط بر اشیا، بلکه بر خودِ گروهها نیز اعمال میشود. در مدرسه میآموزیم که نظامهای عددی بر بازگشتپذیریِ گروههای ۱۰تایی بنا شدهاند: اشیا را در دهتایی ها گروهبندی میکنیم، سپس آن گروهها را باز هم در ده تایی ها از دهتایی ها گروهبندی میکنیم، و این فرایند را بینهایت ادامه میدهیم.
این کنشِ ابتداییِ گروهبندی و بازگشتپذیری به ما کمک میکند اعداد بزرگتری مانند ۵۰ را درک کنیم، زیرا میتوانیم آن را بهصورت گروهی بازگشتی از ۱۰ و ۵ (یا برعکس) تصور کنیم. اما بهمحض آنکه به گروهبندیِ اشیا در قالب گروههای غیر بدیهی (بیش از یک) میاندیشیم، به وضعیتی جالب میرسیم: عملِ گروهبندی و تکرار برای همه ی اعداد کارساز نیست! برای مثال، اگر به عدد ۲۳ فکر کنید، هیچ راه تمیز و منظمی وجود ندارد که بتوان آن را بهطور بازگشتی تجزیه کرد، بیآنکه چیزی باقی بماند. چنین اعدادی، بهجای آنکه محصول ابزارِ بازگشتیِ ذهن باشند، خودْ گروههای بنیادین و اتمیاند. یونانیان باستان دریافتند که اعدادِ اول، آجرهای سازندهٔ ریاضیات و بهنوعی سازههای بنیادیِ جهاناند.
قضیهٔ بنیادیِ حساب نشان میدهد که هر عددی را میتوان بهطور تکراری به شمارشی مبتنی بر تعدادِ بازگشتها بر اعدادِ اولش فروکاست. برای نمونه، عدد ۱۲ را میتوان دو بار بر ۲ تقسیم کرد (ابتدا به دو گروه، سپس هر گروه دوباره بر ۲)، و یک بار نیز بر ۳ تقسیم کرد.
کنشِ بازگشتپذیری به تولد نوعی حافظهٔ مشترکِ نو در فرهنگ ما انجامید؛ حافظهای که دارای «ظرفیت اطلاعاتی» است. فضای لگاریتمی همان فضای «کُد» است، یا به بیان دیگر، شمارِ دفعاتی که بازگشتپذیری اعمال میشود. بدیهی است که این امر فراتر از اعداد میرود و به جبر، به کل ریاضیات، و حتی فراتر از آن گسترش مییابد. نظریهٔ برهان نشان میدهد که قضایا در ریاضیات ماهیتی بازگشتی دارند. بعدها، این مسیر به نظریهٔ محاسبه انجامید که بر حساب لامبدا استوار است؛ نظامی که کاملاً بازگشتی است. در سراسر علوم نظریِ رایانه، بازگشتپذیری همهجا حضور دارد: از ماشینهای تورینگ گرفته تا مدلهای نوین هوش مصنوعی (چه مدلهای زبانی و چه مدلهای انتشار).
بازگشتپذیری، بهعنوان ابزاری بنیادیِ ذهن، حقیقتی عمیق را آشکار میکند: بازگشتپذیری در اندازهٔ گروههایی که میتواند بر آنها عمل کند، محدودیت دارد. به بیان دیگر، بازگشتپذیری همواره چیزی را بیرون میگذارد که قابلِ بازگشت نیست! و این امورِ نو فقط میتوانند «ذخیره» شوند، نه «بازسازی»! این چیزهای نو، همانگونه که پیشتر نشان دادیم، همان اعدادِ اول یا اتمهای واقعیت ما هستند. فضای لگاریتمی—چه در بیناذهنیتِ ما از ذهن و زبان، و چه در شناختِ گسترشیافته از شیارهای حکشده بر استخوان تا رایانهها و مدلهای هوش مصنوعی—همواره دارای نوعی «ظرفیت اطلاعاتی» است.
«ظرفیت اطلاعاتی»ای که در میلیاردها پارامترِ مدلهای زبانیِ بزرگ متجلی شده، بازتابِ مقیاسِ یک فضای بازنماییِ مشترک است. برای فهم این موضوع، باید هم دانشِ گزارهای («دانستنِ اینکه») و هم دانشِ رویهای («دانستنِ چگونه») را بهعنوان اجزای یک فضای اطلاعاتیِ واحد در نظر بگیریم. دانستههای ما دربارهٔ جهان—مانند «پاریس پایتخت فرانسه است»—و نیز مهارتهایی چون ترجمهٔ زبانها، آشپزی بر اساس دستور غذا، یا نوشتن کد، همگی درون یک حافظهٔ تداعیگرِ مشترک رمزگذاری شدهاند.
این قلمروِ بازنماییِ مشترک را میتوان بهمنزلهٔ یک فضای لگاریتمی دید که تمام طیف دانش، از صریح تا ضمنی، را در بر میگیرد. در یادگیری ماشین، این فضا معمولاً «فضای پارامترها» نامیده میشود؛ جایی که این شکلهای متنوعِ دانش در کنار یکدیگر همزیستی میکنند و با هم برهمکنش دارند.
