پاسخ مسابقۀ محاسبۀ احتمال

پرسش «مسابقۀ محاسبۀ احتمال» این بود که آیا با تعویض دو گزینۀ A و C احتمال برنده شدن اتومبیل تغییر می‌کند یا نه؟

پاسخ مسابقه:

آری، با تعویض دو گزینۀ A و C احتمال برنده شدن اتومبیل 2 برابر می‌شود؛ یعنی از احتمال «1 در 3» به احتمال «2 در 3» تغییر می‌کند.

نکتۀ محاسبه:

شاید جالب باشد بدانید آنگاه که این معمّا در یک مسابقۀ تلویزیونی طرح و پاسخ داده شد بسیاری از ریاضی‌دانان نیز در پاسخگویی دچار یک اشتباه شده و به پاسخ مجری مسابقه اعتراض کردند، در حالی که از نظر محاسبۀ احتمالاتی پاسخ «آری» درست است.
اشتباه آنها که فکر می‌کردند احتمال برنده شدن هر دو گزینۀ A و C با هم برابر بوده و 1/2 یا 50 درصد است این است که آنها 3 گزینه را در 2 گزینه خلاصه کرده‌اند و به این نکته توجه نداشتند که مجری می‌داند اتومبیل پشت کدام درب است ولی شرکت‌کننده نمی‌داند.

استدلال محاسبه:

در چیدمان استدلالی یا همان صورت استدلال باید به این نکته توجه داشت که محاسبۀ احتمالِ برنده شدنِ اتومبیل باید در مورد همۀ حالت‌های ممکن در نظر گرفته شود، چرا که شرکت‌کننده بر خلاف مجری مسابقه نمی‌داند اتومبیل پشت کدام درب است. تنها چیزی که برای شرکت‌کننده مشخص است این است که او گزینۀ A را انتخاب کرده و مجری یکی از 2 درب دیگر یعنی B یا C را باز می‌کند و نشان می‌دهد که پشت آن درب یک بُز است. به این ترتیب این استدلال شامل محاسبه و مقایسۀ دو حالت گزینشی می‌شود: یکی آن که گزینه‌ها را تعویض نکنیم و دیگری آن که عوض کنیم.

حالت یکم؛ تعویض نکردن دو گزینه:

• اگر اتومبیل پشت درب A باشد، آنگاه مهم نیست که مجری کدام‌یک از 2 درب B و C را باز کند؛ برنده‌ایم.
• اگر اتومبیل پشت درب B باشد و مجری درب C را باز کند؛ بازنده‌ایم.
• اگر اتومبیل پشت درب C باشد و مجری درب B را باز کند؛ بازنده‌ایم.

حالت دوم؛ تعویض کردن دو گزینه:

• اگر اتومبیل پشت درب A باشد، آنگاه مهم نیست مجری کدام‌یک از 2 درب B و C را باز کند؛ بازنده‌ایم.
• اگر اتومبیل پشت درب B باشد و مجری درب C را باز کند؛ برنده‌ایم.
• اگر اتومبیل پشت درب C باشد و مجری درب B را باز کند؛ برنده‌ایم.

نتیجۀ مقایسۀ دو حالت:

احتمال برنده شدن اتومبیل در حالت یکم «1 در 3» است؛ برنده-بازنده-بازنده.
احتمال برنده شدن اتومبیل در حالت دوم «2 در 3» است؛ بازنده-برنده-برنده.
بنابراین درمی‌یابیم که با تعویض گزینۀ انتخابی خود با گزینه‌ای که مجری پیشنهاد می‌دهد، و همچنین با در نظر گرفتن همۀ حالت‌های ممکن، احتمال برنده شدن در مسابقه 2 برابر می‌شود.

حُسن ختام: احتمالات واقعی هستند ولی احتمال واقعیّت نیست.

منبع:

کتاب پارادوکس‌ها؛ نُه معمّای بزرگ فیزیک، نوشتۀ جیم الخلیلی، ترجمۀ جمیل آریا، انتشارات مازیار، چاپ اوّل 1398، صفحات 24، 25 و 26.

فَرازی از سخنان گُهربار امیرالمؤمنین علی (ع) در نهج‌البلاغه

لَیْسَتِ اؐلرَّوِیَّةُ کَاؐلْمُعَایَنَةِ مَعَ اؐلْإِبْصَارِ فَقَدْ تَکْذِبُ اؐلْعُیُونُ أَهْلَهَا وَ لَا یَغُشُّ اؐلْعَقْلُ مَنِ اؐسْتَنْصَحَهُ.
اندیشیدن همانند دیدن نیست، چه بُوَد که دیده‌ها چیزی را چنان که نیست نشان دهد، لیکن خِرَد با کسی که از آن نصیحت خواهد خیانت نمی‌کند.