از من پرسیده بودی که چرا تا این اندازه به ریاضیات علاقه دارم، و چرا بین این همه گرایش، منطق ریاضی را انتخاب کرده‌ام. من این کنجکاوی تو را درک می‌کنم، چون خود من نیز کنجکاوی‌های مشابهی داشته‌ام. از آنجایی که گمان کردم برطرف کردن این کنجکاوی تو، هم برای تو سودمند است و هم به من منافعی می‌رساند، این نامه را برایت نوشتم تا هر دو بهره‌مند شویم. پس وقتت را برای دقایقی به من بسپار، تا داستان آشنایی خود با منطق ریاضی را برایت روایت کنم.
علاقه من به ریاضیات، از دوران دبیرستان شروع شد. یادم هست که در دوران ابتدایی و راهنمایی از مطالب ریاضی خیلی خوشم نمی‌آمد. اما وقتی وارد مقطع دبیرستان شدم، و شکوفه‌های درخت نوجوانی‌ام به تازگی شکفته بود، دانستم که چقدر ریاضیات را دوست دارم. آنقدر که هنگام انتخاب رشته برای دوم دبیرستان و مقاطع بعدی، بی‌درنگ ریاضیات را انتخاب کردم و استدلالم اینگونه بود:
«آخر بدون ریاضی چگونه می‌توانم زندگی کنم»؟!!
دیگر خودت حدیث مفصل را از این مجمل بخوان.
خلاصه که در دوران دبیرستان تا جایی که می‌توانستم و وقت و انرژی اجازه می‌داد، با ریاضیات عشق بازی کردم و مهرش بیش از پیش در دلم جای گرفت. تا اینکه بعد از کنکور، و برای انتخاب رشته دانشگاهی‌ام، «آموزش ریاضی» را انتخاب کردم و عزمم را جزم کردم که یک معلم ریاضی توانمند شوم. آخر همان‌قدر که ریاضیات را دوست داشتم، تدریسش را نیز دوست داشتم. با خود گفتم که «معلمی ریاضی» بهترین و متناسب ترین شغلی است که می‌توانم برای خودم انتخاب کنم. و با علاقه بسیار، و شور و شوقی وصف ناشدنی، قدم در راه دانشگاه گذاشتم و بدون هیچ دردسر و سدی که پیش رویم باشد، به حرکت ادامه دادم. برای تحصیل در مقطع کارشناسی، وارد دانشگاه فرهنگیان شدم و چهار سال را در آنجا سپری کردم. در متنی جداگانه، با عنوان «بیدارنامه» داستان زندگی‌ام را در این چهار سال روایت کردم و در این روایت، به سه پرسش پاسخ دادم:
با چه انگیزه‌ای وارد شدم؟
چگونه ادامه یافت؟
با چه تصمیمی به پایان رسید؟
اگر می‌خواهی و حوصله‌ات می‌کشد، می‌توانی آن را مطالعه کنی. اما در این نامه، همان طور که از عنوانش پیداست، قصد دارم برایت از منطق ریاضی بگویم. اینکه سر و کله‌ی منطق از کجا پیدا شد، و چه شد که دل به گیسوی پریشانش سپردم. در دوران کارشناسی، درس‌های ریاضی زیادی خواندم. با درس «مبانی ریاضی» و «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها» به طور دقیق تری با دنیای مجموعه‌ها و زبان ریاضی ارتباط برقرار کردم، و با درس «جبر مجرد» با سه جهان بزرگ، که از مجردترین جهان‌های ریاضی محسوب می‌شوند آشنا شدم؛ جهان گروه‌ها، جهان حلقه‌ها و جهان میدان‌ها. بعدا در درس «جبر خطی» جهان مجرد دیگری را شناختم که به جهان فضاهای برداری معروف است. هر کدام از این مفاهیم عمیق و زیبای ریاضی، برایم جذابیت ویژه‌ای داشتند و با حوصله آنها را مطالعه می‌کردم و لذت می‌بردم. در درس «آنالیز ریاضی» داستان شنیدنی آنالیز برایم روایت شد و خوشبختانه با سفینه دوست داشتنی «راسل گوردون» به دنیای آنالیز سفر کردم. سفینه‌ای که راسل به قدری ظریف و هنرمندانه آن را خلق کرده بود، که خستگی و دلزدگی در آن معنایی نداشت، و طعم لذیذ مفاهیم آنالیزی را با ادویه‌های خوش عطر مخصوصش، بیش از پیش دلپذیر می‌کرد.
«آمار و احتمال»، «نظریه گراف»، «معادلات دیفرانسیل»، «مبانی ترکیبات»، «توپولوژی» و ... هر کدام برایم جذابیت مخصوص خود را داشتند. واقعا همه آنها را دوست داشتم. اصلا هر چیزی که برچسب ریاضی روی آن خورده بود، مرا به سمت خود می‌کشاند. البته به جز ریاضیات عمومی. مطالبش جذاب بود اما به نظرم از دقت ریاضی کافی برخوردار نبود و مرا راضی نمی‌کرد. همان مفاهیم حد و پیوستگی و مشتق و انتگرال وقتی در آنالیز با دقت تعریف شدند و مورد بررسی قرار گرفتند، دوباره نظرم را جلب کردند. آری آن جنبه از ریاضیات که مرا شیفته خود کرده بود، دقتی بود که در تعریف‌ها و اثبات‌ها به کار می‌رفت. تلاش برای فهمیدن اثبات‌های ریاضی، و مشاهده‌ی زیباییِ خیره‌کننده‌‌ی ایده‌ها و مفاهیم عمیقی که پشت نمادها و متغیرها پنهان شده بودند، و تو باید با وقت و حوصله و ریاضت ذهنی پرده نمادها را پس می‌زدی که آن زیبایی را ببینی، لذت عمده من در مطالعه ریاضی به حساب می‌آمد. درست است که گاهی اثبات‌ها طولانی و پیچیده می‌شد و فهمیدن برخی از آنها بیش از اندازه دشوار بود، اما خب این دشواری، معمولا با زیبایی آن مفاهیم پنهان شده رابطه مستقیم داشت. به قول مریم میرزاخانی، لذت بخش ترین بخش مطالعه ریاضی آنجاست که می‌گویی: «آها»!. به تعبیر من جایی که می‌گویی «آها»، دقیقا همان جایی است که پرده‌ها را کنار می‌زنی و آن زیبایی پنهان را می‌بینی.
به هر حال، من در دوران کارشناسی مدام در حال کشف همین زیبایی‌ها بودم، و تقریبا همه دروس ریاضی در دوران کارشناسی این زیبایی را داشتند. اما دو درس بودند که رنگ و لعاب دیگری داشتند و حس و حال دیگری؛ «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها» و «مبانی هندسه». می‌خواهم درباره این دو درس، کمی مفصل‌تر صحبت کنم. «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها»، چهار مبحث کلی داشت؛ مجموعه و رابطه و تابع، مجموعه‌های متناهی و نامتناهی، کاردینال‌ها، اصل انتخاب و صورت‌های هم‌ارز آن. هر کدام از این مباحث را بیش از اندازه دوست داشتم. در فصل کاردینال‌ها، برای اولین بار کمی دقیق‌تر با چند مفهوم جالب منطقی آشنا شدم؛ «اثبات پذیری» و «ابطال پذیری». وقتی کمی از کاردینال فهمیدم، و معلوم شد که کاردینال مجموعه اعداد طبیعی با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی متفاوت است، سوالی پیش آمد:
آیا زیرمجموعه‌ای نامتناهی از اعداد حقیقی وجود دارد به طوری که کاردینال آن نه برابر با کاردینال مجموعه اعداد طبیعی باشد، و نه برابر با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی؟!
این سوال را می‌توان به شکل حدس بیان کرد؛ این حدس که به فرضیه پیوستار مشهور است به این شکل بیان می‌شود:
کاردینال هر زیرمجموعه‌ی نامتناهی از اعداد حقیقی، یا برابر با کاردینال مجموعه اعداد طبیعی است، یا برابر با کاردینال مجموعه اعداد حقیقی.
ریاضیدان‌ها و مخصوصا آن‌هایی که به مطالعه نظریه مجموعه‌ها علاقه‌مند بودند، تلاش کردند بفهمند این حدس درست است یا نه. اما در پاورقی کتاب «لین و لین» که مرجع اصلی درس بود، نوشته بود که تلاش برای یافتن جواب موفقیت آمیز نبود! ابتدا «کورت گودل» بدون اینکه بداند اثباتی برای این حدس وجود دارد یا نه، اثبات کرد که این حدس با پذیرفتن اصول نظریه مجموعه‌ها(منظور همان اصول ZFC است که شاید بعدها درباره آن نیز برایت نامه‌ای نوشتم) رد(ابطال) نمی‌شود! یعنی با فرض کردن اصول نظریه مجموعه‌ها، نمی‌توانیم نقیض فرضیه پیوستار را اثبات کنیم! این خبر برایم خیلی عجیب بود. گودل اثبات کرد که نقیض فرضیه پیوستار اثبات‌پذیر نیست! اینکه چگونه می‌توان اثبات‌کرد که جمله‌ای اثبات‌پذیر نیست، بدون اینکه درباره وجود اثباتی برای نقیض آن اطلاعی داشته باشیم، کنجکاوی دیوانه‌واری در من برانگیخت. به شدت مشتاق بودم که بدانم چگونه می‌توان چنین کاری را انجام داد. تا آن موقع، هر اثباتی که دیده بودم، اثبات یک جمله یا نقیض یک جمله ریاضیاتی بود. اما اثباتی که گودل آن را نوشته بود، گویی در جایی ورای ریاضیات زندگی می‌کرد؛ در فراریاضیات! در همان پاورقی نوشته بود که بعدها، «پاول کوهن» اثبات کرد که خودِ فرضیه پیوستار نیز با فرض اصول نظریه مجموعه‌ها اثبات‌پذیر نیست! و اثبات گودل و کوهن را اگر با هم ببینیم، نتیجه می‌شود که:
با فرض اصول نظریه مجموعه‌ها، فرضیه پیوستار نه اثبات می‌شود و نه ابطال!
به عبارتی، اثباتی وجود دارد که می‌گوید فرضیه پیوستار نه اثبات‌پذیر است و نه ابطال‌پذیر!
این حقیقت مرا بیش از اندازه تحت تاثیر قرار داد و به فکر فرو برد. یک میهمان ناخوانده بود که سرزده به خانه‌ی ذهنم آمده بود و نمی‌دانستم باید با آن چگونه برخورد کنم و چه واکنشی نشان دهم. مبهوت و حیرت‌زده این حقیقت را در ذهنم مرور می‌کردم و هر چه می‌گذشت تعجبم بیشتر می‌شد. «آخر چطور می‌شود چنین کاری انجام داد»؟ بدجوری کنجکاو شده بودم. این کنجکاوی به کنار، سوال دیگری نیز مدام در ذهنم رژه می‌رفت و پایش را محکم بر زمین ذهنم می‌کوبید:
اکنون که فرضیه پیوستار نه اثبات می‌شود و نه ابطال، آن را بپذیریم؟ یا نقیضش را بپذیریم؟ یا هر دو؟ یا هیچ‌کدام؟ همیشه به ما گفته بودند که یک خبر، یا درست است یا غلط! و خیلی بیراه هم نگفته بودند؛ بالاخره یا حسن در خانه است، یا حسن در خانه نیست، یا خدا وجود دارد یا خدا وجود ندارد و... . اما خود این خبر که «هر خبر یا درست است یا غلط»، درست است یا غلط؟!! آیا می‌توان گفت فرضیه پیوستار، یا درست است یا غلط؟! فرض کنیم اینگونه باشد. و فرض کنیم فرضیه پیوستار، مثلا درست باشد. اما اثبات که نمی‌شود! این چه درستی است که اثبات نمی‌شود؟! مگر جمله‌ای می‌تواند درست باشد اما اثبات نشود؟! و اگر اثبات نشود، از کجا معلوم که درست است؟! پس مجبورم این سوال را بپرسم که اصلا «درست» یعنی چه؟! و «اثبات» به چه معناست؟! و سوال‌های منطقی-فلسفی دیگری که یکی پس از دیگری به دیوار ذهن کوبیده می‌شوند. چه سوالات عمیق و چه کنجکاوی دیوانه‌کننده‌ای! و البته چه حال لذت بخش و محبوبی! این کنجکاوی رازگونه به قدری بود، که اگر شرایط اجازه می‌داد، واقعا دوست داشتم برای مدتی کافی، کنج خلوت بگزینم و آنقدر بخوانم و تحقیق کنم که جواب سوال‌هایم را پیدا کنم. اما زندگی روزمره چنین اجازه‌ای نمی‌داد. به هر حال من نیز انسان بودم و در خلأ زندگی نمی‌کردم! این سوال‌ها را در صندوقچه‌‌ی ذهنم منتظر گذاشتم، تا در زمانی مناسب از خجالتشان دربیایم. خب! این از فرضیه پیوستار و جذابیت منطقی-فلسفیش و راهی که نشان داد و کنجکاوی‌ای که برانگیخت.
برویم سراغ «اصل انتخاب و صورت‌های هم‌ارزش». آشنایی اولیه من و اصل انتخاب، داستان جالبی داشت. اصل انتخاب جمله‌ای بود که جنسش برایم با سایر جملات ریاضی متفاوت بود. چیزی می‌گفت که خیلی بدیهی به نظر نمی‌آمد، و صورت‌های هم‌ارز زیادی داشت که ظاهرشان با هم بسیار فرق داشت! در ریاضیات، منظور از هم ارزی دو جمله، یعنی اینکه با فرض یکی از جمله‌ها، می‌توان دیگری را اثبات کرد و برعکس. به عبارتی، از نگاه منطق، دو جمله‌ی هم‌ارز، با هم تفاوتی ندارند؛ به این دلیل که دارای ارزش یکسانند. درست بودن یکی یعنی درست بودن دیگری، و نیز غلط بودن یکی یعنی غلط بودن دیگری. اصل انتخاب نیز صورت‌های هم‌ارز زیادی داشت که چهار پنج تا از آنها را در کتاب آورده بود و هم‌ارزی آنها با هم را اثبات کرده بود. اینکه دانستم اصل انتخاب، اصلی بوده که برخی ریاضیدان‌ها در اثبات برخی جمله‌ها آن را به کار می‌بردند اما خودشان هم نمی‌دانستند دارند از چنین اصلی استفاده می‌کنند، برایم جالب بود. به عنوان یک ریاضیدان، وقتی می‌خواهیم جمله‌ای را اثبات کنیم، اگر کسی از ما بپرسد که داری از چه فرض‌هایی(جمله‌هایی که درستی آنها را از قبل پذیرفته‌ایم) استفاده می‌کنی، انتظار می‌رود توانایی لیست کردن فرض‌هایمان را داشته باشیم. اینکه فرضی از قلم بیفتد، به دور از منطق است. اما ظاهراً درباره اصل انتخاب، داستان به همین قرار بود و این اصل بیچاره، دیده نمی‌شد و از قلم می‌افتاد! پذیرش صورت‌هایی از اصل انتخاب خیلی هم دور از انتظار نبود، اما صورت‌های هم ارزی از آن یافت می‌شد که پذیرش آنها خیلی ساده نبود! آنقدر که برخی ریاضیدان‌ها حاضر نشدند اصل انتخاب را فرض کنند و در اثبات‌هایشان از آن استفاده کنند. مثلا یکی از هم‌ارزهای اصل انتخاب، اصل خوش‌ترتیبی است. این اصل می‌گوید که هر مجموعه‌ای خوش‌ترتیب شدنی است! پس در نتیجه، مجموعه اعداد حقیقی هم خوش‌ترتیب شدنی است. اما تا کنون هیچ خوش‌ترتیبی روی اعداد حقیقی معرفی نشده. صرفا می‌دانیم که اصل انتخاب تضمین می‌کند که حداقل یک خوش‌ترتیبی روی اعداد حقیقی وجود دارد! و کسی که تعریف خوش‌ترتیبی را بداند، درمی‌یابد که خوش‌ترتیب شدن اعداد حقیقی چه اندازه عجیب است؛ حداقل برای من عجیب است! به هر حال دعوای ریاضیدان‌ها سر پذیرش یا عدم پذیرش اصل انتخاب، داستانی بود که مطالعه آن مرا مسرور می‌کرد و دوست داشتم هر چه بیشتر از این داستان اطلاع پیدا کنم.
لذتی که در مطالعه فرضیه پیوستار و اصل انتخاب برایم وجود داشت، با لذت مطالعه جبر و آنالیز و ترکیبات و ... متفاوت بود. «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها» دید مرا نسبت به ریاضیات تغییر داد، و کاری کرد که بتوانم از بیرون ریاضی، به ریاضی نظر کنم. و ریاضیات را وقتی از بیرون می‌نگریستم، برایم جذاب‌تر جلوه می‌کرد. دوست داشتم بیشتر به سوال‌های بنیادی ریاضی بپردازم؛ اینکه «درستی» و «نادرستی» به چه معناست، «اثبات» دقیقا یعنی چه، برای پذیرفتن یک اصل، چه ملاک و معیاری وجود دارد؟ چرا باید جمله‌ای را به عنوان اصل بپذیریم و جمله‌ای دیگر را نه؟ و ...
پرداختن به این سوال‌ها که معمولا به آنها سوال‌های منطقی-فلسفی درباره ریاضی، یا سوال‌های فراریاضیاتی می‌گویند، برایم جذاب‌تر بود از پرداختن به سوالاتی در خود ریاضیات.
اکنون زمانش رسیده تا از درس «مبانی هندسه» بگویم و برایت تعریف کنم که این درس با من چه کرد!
مرجع اصلی درس، کتاب «هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی گرینبرگ» بود. شاید اسم کتاب، هندسه باشد، اما منطقی‌ترین کتابی بود که در دوره کارشناسی مطالعه کردم، و بسیاری از مطالب منطقی را به من آموخت، و مرا با حقایق منطقی جالب توجهی آشنا کرد. داستان علم هندسه، برای علم منطق، مثال خوبی به شمار می‌رود. اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد مسیح تلاش کرد همه مطالب هندسی را که تا آن زمان نوشته شده بود، هم جمع‌آوری کند، هم تدوین کند. اما یک سوال اساسی پیش رویش بود: از کجا بدانیم که یک جمله هندسی درست است؟ جوابش «اثبات» بود. او به خودش اطمینان داد که اگر بتوانیم جمله‌ای را اثبات کنیم، آن جمله حتما درست است. اما سوال مهم دیگر این بود که چگونه یک جمله را اثبات کنیم؟ بالاخره باید برای اثبات آن جمله از فرض‌هایی(جمله‌هایی که درستی آنها را از قبل پذیرفته‌ایم) استفاده کنیم. اما خود آن فرض‌ها چطور؟ آیا آنها درستند؟ ممکن است بگویی: «خب! آنها را هم اثبات می‌کنیم»! آری! اما برای اثبات آنها هم باید از فرض‌هایی استفاده کنیم! سوال این است که این فرآیند قصد دارد تا کجا ادامه پیدا کند؟ اگر قرار باشد تا بی‌نهایت ادامه پیدا کند، که اصلا هیچ جمله‌ای اثبات نمی‌شود! جوابی که شاید به ذهن برسد این است: «باید به فرضی برسیم که آنقدر بدیهی باشد که اصلا نیاز به اثبات نداشته باشد». اما خب، «بدیهی» یعنی چه؟ ملاک «بداهت» یک جمله چیست؟ آیا جمله‌ای که برای من بدیهی باشد، حتما برای دیگری نیز بدیهی است؟ و سوال‌های اساسی دیگری که مطرح می‌شود. ریاضیدان‌ها برای اینکه خود را از بند این سوالات برهانند، نگفتند بدیهی. گفتند اصل موضوع(axiom)! گفتند بالاخره باید تعدادی جمله را به عنوان اصل بپذیریم، یعنی بدون اینکه آنها را اثبات کنیم، فرضشان کنیم و با کمک آنها به اثبات جمله‌های دیگر بپردازیم. اقلیدس نیز همین کار را کرد. پنج جمله را به عنوان اصل موضوع در نظر گرفت و چند جمله‌ی منطقی را هم فرض کرد که بتواند از آن پنج جمله، به کمک قواعد منطقی، جملات هندسی دیگری را نتیجه‌گیری کند. او توانست با همین پنج اصل، و همان چند قاعده آشنای منطقی، تقریبا همه ریاضیات آن زمان را، یا حداقل بخش بسیار مهمی از ریاضیات آن زمان را اثبات کند. کتاب او معروف است به «اصول اقلیدس» و برخی آن را شاهکار منطقی او می‌نامند. کتاب هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی گرینبرگ، اصول اقلیدس را زیر ذره بین می‌برد و آنها را موشکافانه بررسی می‌کند. «دیوید هیلبرت»، ریاضیدان معروف آلمانی، توانست در نوشتار اقلیدس ایرادات منطقی زیادی پیدا کند! مهم‌ترین آن ایرادها، این بود که آن پنج اصل برای اثبات خیلی از جملات هندسی کافی نبودند، و اقلیدس بی‌آنکه بداند، از فرض‌های دیگری نیز استفاده کرده، اما به آنها تصریح نکرده است. این ایرادها به قدری بود که «برتراند راسل»، ریاضیدان نامدار انگلیسی می‌گوید: «در نام‌گذاری اثر اقلیدس به عنوان یک شاهکار منطقی، سخت مبالغه شده است»! هیلبرت برای برطرف کردن ایرادات منطقی اقلیدس، مجبور شد چند جمله دیگر نیز به اصول اقلیدس اضافه کند. هندسه‌ای که او بنا گذاشت، به «هندسه هیلبرت» معروف است که به نوعی چکش‌کاری همان هندسه اقلیدس به شمار می‌رود. اگر خودمان را به همان پنج اصل اقلیدس محدود کنیم، یک سوال اساسی پیش رویمان است:
از کجا معلوم که این پنج اصل، هیچ‌گاه به تناقض نمی‌انجامند؟!
به عبارت دیگر، از کجا معلوم که این پنج اصل، در تناقض با یکدیگر قرار ندارند؟!
فرض کنید توسط این پنج جمله، ۶۷۵ جمله ثابت کرده‌ایم. کسی چه می‌داند، شاید جمله‌ی ششصد و هفتاد و ششم که بعدا ثابت می‌شود، با جمله هفتاد و هشتم در تناقض باشد!
اگر این پنج اصل سازگار باشند، یعنی به هیچ تناقضی نینجامند، به آن دستگاه اصل موضوعی که با این پنج اصل ساخته می‌شود، یک دستگاه «سازگار» می‌گویند و در غیر اینصورت دستگاه را «ناسازگار» می‌نامند. این سوال، که یک دستگاه اصل موضوعی سازگار است یا نه، سوال مهمی است. چرا که اگر کاشف به عمل بیاید که اصول موضوع دستگاهمان ناسازگار بوده، گویی آب در هاون کوبیده‌ایم و در واقع داشتیم در باتلاقی از تناقض دست و پا می‌زدیم. اما متاسفانه جواب دادن به این سوال، هرگز ساده نیست! به راستی چگونه می‌توان سازگاری تعدادی اصل را با یکدیگر ثابت کرد؟! چه روشی وجود دارد؟! جواب دادن به چنین سوالی، همواره یک چالش بزرگ برای منطق‌دانان بوده و هست.
مفهوم سازگاری یک دستگاه اصل موضوعی که گرینبرگ در کتابش از آن سخت گفت، برایم مفهوم بسیار جذابی بود. باز هم یک مفهوم فراریاضیاتی. کم کم داشتم می‌فهمیدم که مرا برای فراریاضیات ساخته‌اند؛ بس که مباحث فراریاضیاتی برایم خوشایند بود. دانستم که جایگاه من آنجاست، و روزی به آنجا سفر خواهم کرد.
اما اصل پنجم اقلیدس، داستانی حیرت‌انگیز دارد. نمی‌دانید این اصل چه بلایی بر سر ریاضیدان‌ها آورده است! چهار اصل اول اقلیدس، راحت پذیرفته شدند. چون با شهود و فهم ما نسبتا سازگارند. مثلا اصل اول می‌گوید از هر دو نقطه، یک و تنها یک خط می‌گذرد، و اصل چهارم می‌گوید همه زاویه‌های قائمه با هم برابرند. اما اصل پنجم، محل دعوای ریاضیدان‌ها بود. آنها نتوانستند این اصل را به راحتی چهار اصل دیگر بپذیرند. این اصل بیان می‌کند که:
«اگر خطی، دو خط را قطع کند، این دو خط در سمتی یکدیگر را قطع می‌کنند که مجموع زاویه‌های ایجاد شده، کمتر از دو قائمه است»
همانطور که می‌بینید، حتی ظاهر این اصل هم با اصول دیگر اقلیدس متفاوت است. بعدا ثابت شد که اصل پنجم، هم‌ارز با این است که:
«از هر نقطه خارج از یک خط، یک و تنها یک خط می‌گذرد که با خط داده شده موازی باشد»
بسیاری از ریاضیدان‌ها، تلاش کردند که به کمک چهار اصل اول، اصل پنجم را اثبات کنند. اما همه آنها شکست خوردند! برخی نیز خواستند اصل پنجم را رد کنند؛ یعنی نقیض آن را به کمک چهار اصل دیگر اثبات کنند. اما همه آنها نیز شکست خوردند! همان طور که می‌بینید، گره کوری ایجاد شده بود که به دست هیچ‌کدام از ریاضیدان‌ها باز نمی‌شد. تا اینکه بالاخره، اثبات کردند که با فرض چهار اصل اول اقلیدس، اصل پنجم نه اثبات می‌شود و نه ابطال! انگار اصل پنجم اقلیدس همان رابطه‌ای را با چهار اصل اول دارد، که فرضیه پیوستار با اصول نظریه مجموعه‌ها. هنگامی که مباحث مربوط به اصل پنجم را در کتاب گرینبرگ می‌خواندم، دوباره همان بحث جذاب فرضیه پیوستار برایم تداعی شد و لذت مشابهی مرا مسرور ساخت. به علاوه، کتاب گرینبرگ توضیح داد که با چه روشی می‌توان اثبات کرد که جمله‌ای نه اثبات‌پذیر است و نه ابطال‌پذیر. یعنی سوالی که در درس «مبانی منطق و نظریه مجموعه‌ها» برایم مطرح شده بود، در درس «مبانی هندسه» جواب گرفت. و این جواب گرفتن مثل آب گوارایی بود که در کویری خشک و بی‌آب و علف به آن می‌رسم؛ همان‌قدر جذاب و دوست داشتنی!
حال که اینگونه است و اصل پنجم توسط چهار اصل اول، نه اثبات می‌شود و نه ابطال، چرا اصل پنجم را فرض کنیم؟ بیایید به جای فرض کردن اصل پنجم اقلیدس، ضد آن را فرض کنیم! به جای اینکه فرض کنیم:
«از هر نقطه خارج از یک خط فقط یک خط می‌گذرد که با خط داده شده موازی باشد»
فرض کنیم:
۱. «از هر نقطه خارج از یک خط، بیش از یک خط می‌گذرد به طوری که با خط داده شده موازی باشد»
یا اینکه فرض کنیم:
۲. «از هر نقطه خارج از یک خط، هیچ خطی نمی‌گذرد به طوری که با خط داده شده موازی باشد»
اگر به جای اصل پنجم اقلیدس، جمله ۱ یا جمله ۲ را فرض کنیم، هندسه‌ای که به آن وارد می‌شویم، «هندسه‌ی نااقلیدسی» نام دارد. آن هندسه نااقلیدسی که جمله ۱ را فرض کرده، هندسه هذلولوی، و آن هندسه نااقلیدسی که جمله ۲ را فرض کرده، هندسه بیضوی نام دارد. اما سوال منطقی-فلسفی مهم اینجاست:
بالاخره کدام یک درست است؟! اصل پنجم اقلیدس، جمله ۱؟ یا جمله ۲؟
آنها ضد و نقیضند! نمی‌توانند همزمان درست باشند، همین‌طور نمی‌توانند همزمان غلط باشند! بالاخره باید فقط یکی از آنها درست باشد. اما کدام یک؟! به فرض اصل پنجم اقلیدس درست باشد. پس چرا اثبات نمی‌شود؟ این چه درستی است که اثبات نمی‌شود؟ و اگر اثبات نمی‌شود از کجا معلوم که درست است؟ و سوال‌های دیگری که مشابه آنها درباره فرضیه پیوستار هم مطرح است.
فکر کنم روحیه مرا تا به اینجا به خوبی شناخته باشی و بدانی که این سوال‌ها چقدر برایم جذاب بودند.
خلاصه، درس «مبانی هندسه» مرا به دنیای زیبایی وارد کرد که هر قسمت از آن، شگفت‌آورتر و جذاب‌تر از قسمت دیگر بود.
نتیجه مطالعه این مطالب، این بود که من موضوع مورد علاقه خودم را پیدا کردم؛ فراریاضیات! دوست داشتم در فراریاضیات ادامه تحصیل بدهم و به سوالات بنیادی و منطقی-فلسفی در مبانی ریاضی بپردازم. همان موقع بود که دانستم گرایش منطق ریاضی در مقطع کارشناسی ارشد، دقیقا همان سفینه‌ای است که مرا به فراریاضیات می‌برد. دقیقا سوال‌هایی را می‌پرسد که من پرسیده بودم، و دقیقا به همان مطالبی می‌پردازد که من دوست دارم بپردازم. خب، چه از این بهتر؟! عزمم را جزم کردم که هر طور شده، در بهترین دانشگاه کشور که این گرایش را ارائه می‌دهد، ادامه تحصیل دهم. و اکنون، من در همان جهانی قرار دارم که دوست داشتم؛ در فراریاضیات... .
اینکه در فراریاضیات چه خبر است، داستان مفصل و جداگانه‌ای دارد. جهان قشنگی است. سعی می‌کنم به زودی برایت نامه بنویسم و اینجا را برایت توصیف کنم. سعی می‌کنم با نامه‌هایم، جلوه‌ای از زیبایی اینجا را به تو نیز نشان دهم. تو نیز برایم از زیبایی دنیایت بنویس.
