ریاضی چهارم ابتدایی- داریوش باعفت

آموزش ریاضی چهارم ابتدایی

عددنویسی کلاس چهارم

الف) قوانین عدد نویسی در اعداد طبیعی :

بسته بندی اعداد

1- تمامی اعداد طبیعی ده تا ده تا بسته بندی می شوند و تبدیل به بسته های جدیدتر می شوند

مثال :

10 تا یکی تبدیل به یک بسته ی ده تایی می شود

10 تا ده تایی تبدیل به یک بسته ی صد تایی می شود

10 تا صدتایی تبدیل به یک بسته ی هزارتایی می شود

10 تا هزارتایی تبدیل به یک بسته ی ده هزارتایی می شو

10 تا ده هزارتایی تبدیل به یک بسته ی صده هزارتایی می شود

خواندن و نوشتن عدد:

اعداد به یک شکل خوانده می شوند اما به دو شکل نوشته می شوند :

1. نوشتن به زبان ریاضی یعنی به رقم
2. نوشتن به زبان فارسی یعنی به حروف

خواندن و نوشتن اعداد قوانین ، نکته ها و ابزار خاص خودش را دارد که باید آن ها را بدانیم و بکار بگیریم.

• یادآوری ارزش هر مرتبه :
  
• مرتبه ی یکان : این مرتبه بسته هایی با ارزش یکی را نشان می دهد.
• مرتبه ی دهگان : این مرتبه بسته هایی با ارزش ده تایی را نشان می دهد.
• مرتبه ی صدگان : این مرتبه بسته هایی با ارزش صدتایی را نشان می دهد.
• مرتبه ی یکان هزار : این مرتبه بسته هایی با ارزش یک هزارتایی را نشان می دهد.
• مرتبه ی دهگان هزار : این مرتبه بسته هایی با ارزش ده هزار تایی را نشان می دهد.
• مرتبه ی صدگان هزار : این مرتبه بسته هایی با ارزش صد هزار تایی را نشان می دهد.

الگویابی چهارم ابتدایی

الف) مفهوم الگو :

مبحث الگوها، نسبت به سایر مباحث ریاضی ، درس جدیدتری محسوب می شود که پس از آخرین تغییرات کتاب های درسی به مفاهیم ریاضی در تمام پایه ها از اول ابتدایی تا پایان دبیرستان اضافه شد.

وقتی چند شکل یا چند عدد براساس نظم مشخصی پشت سرهم قرار می گیرند تشکیل یک دسته یا مجموعه را می دهند. به نظمی که بین اعضای مجموعه وجود دارد اصطلاحاً « الگو » گفته می شود.الگو باید قابل تکرار باشد به این ترتیب تمام اعضای مجموعه بر اساس الگو یا نظم خاصی به وجود می آیند.

الگویی که بین اعضای مجموعه وجود دارد معمولاً پنهان است. و دانش آموز باید با انجام یک سری فعالیت های هوشمندانه الگوی پنهان را کشف کند. پس از کشف الگو، دانش آموز می تواند به پرسش های مربوط به مجموعه به درستی پاسخ دهد. در واقع الگوی یک راهنما است بدون کشف الگو و داشتن راهنما نمی توانیم به پرسش های خواسته شده پاسخ دهیم.

ب) الگوهای عددی و هندسی

به طور کلی الگوها را می توان به دو دسته ی بزرگ تقسیم کرد. الگوهای عددی و الگوهای هندسی.

الگوهای عددی :

وقتی چند عدد بر اساس نظم مشخصی پشت سر هم قرار می گیرند یک دنباله ی عددی می سازند که به این دنباله های عددی ، الگوهای عددی نیزگفته می شود. به طور کلی الگوها دو حالت دارند یا ثابت هستند یا متغیر. در الگوهای ثابت فاصله ی بین اعداد یکسان است. این فاصله می تواند به طور مساوی افزایش پیدا کند یا به طور مساوی کاهش پیدا کنید.

در پایه ی چهارم الگویابی وارد فاز جدیدیی می شود « فاز محاسباتی »  به این صورت که دانش آموز باید با کمک چهار عمل اصلی (ضرب ، تقسیم ، جمع و تفریق) الگوهای قدرتمند تری را کشف کند تا با کمک الگوهای کشف شده بتواند اعداد دور مجموعه را نیز کشف کند مثلاً ممکن است سوال شود پانزدهمین عدد این الگو چند است. در این صورت با شمارش نمی توانیم به جواب برسیم بلکه باید از الگوها ی محاسباتی استفاده کنیم.

نکته :

اگر در مجموعه ی داده شده اعداد روند افزایشی داشتند سعی می کنیم الگو را با کمک ضرب یا ترکیبی از ضرب و جمع یا ضرب و تفریق به دست بیاوریم.

الف) مفهوم ماشین ورودی – خروجی :

در دنیای حقیقی ماشین ها ساده یا پیچیده با دریافت مواد خام و طی کردن فرایندی یک محصول و خروجی تحویل می دهند. در دنیای ریاضی نیز گاهی مواقع با عبارت یا عبارت هایی رو به رو می شویم که کار ثابتی را انجام می دهند حال این کار ثابت می تواند یکی از چهار عمل اصلی جمع ، تفریق ، ضرب یا تقسیم باشد که در این صورت اصطلاحاً با یک ماشین ورودی خروجی ساده رو به رو هستیم. گاهی هم عبارت ما بیش از یک عمل را انجام می دهد یعنی می تواند ترکیبی از دو یا چند عمل جمع ، تفریق ، ضرب یا تقسیم باشد. در این صورت با یک ماشین پیچیده تر رو به رو هستیم

ب) قوانین ماشین ورودی – خروجی

هر ماشین 3 بخش اصلی دارد. در مسئله ها و تمرین های ماشین ورودی – خروجی عدد مربوط به دو قسمت داده می شود و با توجه به جایگاه عدد های داده شده ما باید عدد قسمت سوم را به دست آوریم. به این ترتیب سه نوع مسئله خواهیم داشت. که هر سه حالت را بررسی می کنیم.

حالت اول: عدد ورودی ماشین و نوع عملکرد ماشین مشخص است از ما می خواهند عدد خروجی را به دست آوریم. این حالت ساده ترین حالت ممکن است برای این کار عدد ورودی را طبق دستوری که در ماشین می دهد ( ضرب ، تقسیم ، جمع ، تفریق ) تغییر می دهیم تا عدد خروجی به دست آید.

معرفی میلیون ریاضی چهارم

وقتی بسته های صدهزارتایی ده برابر شوند بسته های یک میلیون تایی ،

بسته های یک میلیون تایی ده برابر شوند بسته های ده میلیون تایی و

بسته های ده میلیون تایی ده برابر شوند بسته های صد میلیون تایی ساخته می شوند.

به این ترتیب طبقه ی میلیون شکل می گیرد.

اولین مرتبه ی طبقه ی میلیون یکان میلیون است که نشان دهنده ی بسته های یک میلیون تایی است. دومین مرتبه ی طبقه ی میلیون دهگان میلیون  است که نشان دهنده ی بسته های ده میلیون تایی است و سومین مرتبه ی طبقه ی میلیون صدگان میلیون است که نشان دهنده ی بسته های صد میلیون تایی است

تقریب زدن

تقریب از نظر لغوی به معنای نزدیک است. محاسباتی که انجام می شود به طور کلی به دو دسته تقسیم می شوند؛ محاسبات دقیق، محاسبات تقریبی. ما در طول روز بیشتر از محاسبات تقریبی استفاده می کنیم تا محاسبات دقیق. در تقریب زدن قسمت هایی از عدد که از نظر ما کم ارزش هستند حذف می شوند و بخش های با ارزشی که باقی می مانند امکان محاسبه ی تقریبی را فراهم می کنند. برای تقریب زدن قوانینی وجود دارد که باید آن ها را بشناسیم و در هنگام تقریب زدن رعایت کنیم.

کسرها ریاضی چهارم

همان طور که در علوم یاد می گیریم مواد حالت های گوناگونی دارند (جامد ، مایع و گاز ) در ریاضی هم یاد می گیریم اعداد انواع گوناگونی دارند. بعضی از انواع اعداد عبارتند از : اعداد طبیعی ، اعداد حسابی ، اعداد صحیح و …
اعداد کسری هم یکی از انواع اعداد است که باید اصطلاحات ، کاربرد و قوانین مربوط به آن ها را به خوبی بشناسیم.

اصطلاحات کسری

یک کسر از سه قسمت تشکیل می شود : خط کسری ، مخرج و صورت

خط کسری

خط کسری خطی است که دو قسمت صورت و مخرج را از هم جدا می کند این خط، نماد پیشرفته ی تقسیم هم هست.

مخرج کسر

به جایگاه زیر خط کسری مخرج گفته می شود مخرج نشان دهنده ی تعداد قسمت های ایجاد شده روی یک واحد است و در واقع ارزش هر کسر از روی عدد مخرج مشخص می شود هر چقدر عدد مخرج کوچک تر باشد بسته های بزرگتری را نشان می دهد و کسر با ارزش تر است برعکس هرچه عدد مخرج بزرگ تر باشد نشان می دهد واحد به تکه های بیشتری تقسیم شده در نتیجه، کسر ایجاد شده ارزش کمتری دارد.

صورت کسر

به جایگاه بالای خط کسری صورت گفته می شود. صورت کسر نشان دهنده ی تعداد بسته هایی است که از بین بسته ای ایجاد شده انتخاب کرده ایم. در واقع عدد مخرج مشخص می کند یک واحد به چند قسمت تبدیل شود و عدد صورت تعیین می کند از قسمت های ایجاد شده چند تا مورد نظر ماست.

جمع و تفریق کسرها

جمع و تفریق هر نوع از اعداد قواعد خاص خود را دارد مثلا در جمع و تفریق اعداد طبیعی یکی ها با یکی ها ده تایی ها با ده تایی ها و …. جمع یا تفریق می شوند .

در جمع و تفریق اعداد کسری هم قواعد خاصی وجود دارد. برای جمع و تفریق اعداد کسری باید حتما مخرج  ها با هم مساوی باشند زیرا مساوی بودن مخرج ها نشان می دهد که کسر ها هم ارزش هستند یا به عبارت ساده تر بسته هایی که با هم جمع یا از هم کم می شوند هم اندازه هستند اگر مخرج ها نامساوی باشند به این معناست که بسته ها هم اندازه نیستند نمی توانیم بسته های غیر هم اندازه را با هم جمع یا از هم کم کنیم.

اگر مخرج کسر ها با هم مساوی باشند یکی از مخرج ها را می نویسیم و صورت کسرها را با هم جمع یا از هم  کم می کنیم.

تمرین

برای شکل و محور داده شده جمع مناسب بنویسید.

تساوی کسرها

در مورد تساوی کسرها سه نکته را باید یادبگیریم : مفهوم تساوی کسرها ، روش ساختن کسرهای مساوی و کاربرد کسرهای مساوی

مفهوم کسر مساوی

کسرهای مساوی کسرهایی هستند که اعداد صورت و مخرج آن ها مثل هم نیست اما چون این کسرها همگی یک مقدار را نشان می دهند با هم مساوی هستند. در کسرهای مساوی همان طور که گفته شده مقدار مورد نظر ثابت است اما این مقدار با دسته های مختلف کوچک و بزرگ نمایش داده می شود. دقت کنید فقط اندازه ی بسته ها تغییر می کند مقدار مورد نظر کم یا زیاد نمی شود. برای روشن تر شدن مفهوم کسرهای مساوی به این مثال توجه کنید.

فرض کنید شما به مغازه رفته و خریدکرده اید مبلغ خرید شما ده هزار تومان شده است. شما این مبلغ را می توانید با یک اسکناس ده هزارتومانی ( بسته ی بزرگ ) یا دو اسکناس پنج هزارتومانی ( دو بسته ی کوچک تر ) یا پنج اسکناس دو هزارتومانی یا ده اسکناس هزارتومانی و … پرداخت کنید در هر صورت شما ده هزار تومان پرداخت کرده اید.

روش ساختن کسرهای مساوی

از دو راه می توانیم کسر مساوی بسازیم. 1. ضرب 2. تقسیم.

ضرب کسرها سه بخش دارد

الف) ضرب عدد در کسر

ب) ضرب کسر در عدد

ج) ضرب کسر درکسر

از  این سه بخش ، ضرب عدد در کسر در کلاس چهارم آموزش داده می شود و دو بخش دیگر در کلاس پنجم آموزش داده خواهد شد.

الف) یادآوری رابطه ی جمع و ضرب

جمع و ضرب دو عمل افزایشی هستند. هر گاه چند دسته روی هم قرار بگیرند برای پیدا کردن مقدار کل از عمل جمع یا ضرب استفاده می کنیم. اگر اعداد دسته هایی که روی هم قرار می گیرند نامساوی باشند برای پیدا کردن مقدار کل فقط از جمع می توانیم استفاده کنیم. اما اگر دسته ها مساوی باشند برای پیدا کردن کل هم از جمع و هم از ضرب می توانیم استفاده کنیم. در واقع ضرب همان شکل سرعتی جمع است، در چنین شرایطی اولویت با ضرب است.

به یک مثال از سال گذشته توجه کنید.

ضرب دو عدد دو رقمی

این درس شامل 4 قسمت و چندین زیر مجموعه است

الف) ضرب یک رقم در چند رقم گسترده ( فرایندی )

ب) ضرب یک رقم در چند رقم تکنیکی ( کوتاه )

پ) ضرب دو رقم در دو رقم گسترده ( فرایندی یا مساحتی )

ت) ضرب دو رقم در دو رقم تکنیکی ( کوتاه )

ضرب یک مفهوم افزایشی و عملگرای سرعتی است. پس از درک مفهوم و شرایط استفاده از ضرب باید با تکنیک های محاسبه ی انواع ضرب ها آشنا شد.
ساده ترین محاسبات ضرب مربوط به ضرب یک رقم در یک رقم است که این محاسبات با کمک جدول ضرب انجام می شود. بعد از ضرب یک رقم در یک رقم باید محاسبه ی ضرب یک رقم در چند رقم ، دو رقم در دو رقم و چند رقم در چند رقم را به دو روش گسترده و تکنیکی یادگرفت .

ضرب یک رقم در چند رقم گسترده :

در این روش ابتدا عدد دو رقمی را گسترده می کنیم تا از مفهوم عدد برای ضرب کمک بگیریم، سپس عدد یک رقمی را در گسترده ی هر رقم ضرب می کنیم.
نکته : ضرب های گسترده که به آن ضرب فرایندی نیز گفته می شود از سمت چپ و با بزرگ ترین مرتبه شروع می شود. مزیت این روش در این است که در اولین مرحله از محاسبه، جوابی که به دست می آید با جواب واقعی کم ترین فاصله ی ممکن را دارد.

محاسبه ی حاصل ضرب

حاصل همه ی ضرب ها را از دو روش گسترده و تکنیکی که در بالا توضیح داده شده می توان به دست آورد.
اما بعضی از ضرب ها چون شرایط خاصی دارند علاوه بر دو راه گفته شده می توانیم حاصل آن ها را از راه
دیگری که سریع تر و کوتاه تر از روش های معمولی است به دست بیاوریم.

شرایط خاص  1

اگر سمت راست یکی از عامل های ضرب یا هردو عامل ضرب صفر باشد می توانیم به طور موقت صفر ها را حذف کنیم تا عدد کوچک تر شود پس از محاسبه ی بقیه ی اعداد در انتها صفرهای حذف شده را به حاصل اضافه می کنیم.

تقسیم بر عددهای یک رقمی

تقسیم هم مانند ضرب هم روش گسترده دارد هم روش تکنیکی آنچه امسال می خوانیم تقسیم به روش گسترده است.

قبل از عمل تقسیم باید عدد مقسوم را گسترده کنیم تا درک درستی از رقم های عدد داشته باشیم.عمل تقسیم از سمت چپ یعنی بزرگ ترین مرتبه شروع می شود. ابتدا رقم سمت چپ را با توجه مرتبه ی آن به صورت گسترده در نظر و با توجه به معنا آن را بر مقسوم علیه تقسیم می کنیم و جواب را در خارج قسمت

می نویسیم. پس از تقسیم اولین رقم از سمت چپ به سراغ رقم بعدی می رویم و همان کارهایی را که برای اولین رقم انجام دایم برای رقم دوم هم انجام می دهیم و جواب را در خارج قسمت زیر جواب قسمت اول می نویسیم.

تمام رقم های مقسوم به همین ترتیب بر مقسوم علیه تقسیم می شود و حاصل را در خارج قسمت زیر هم می نویسم پس از پایان تقسیم جواب های خارج قسمت را با هم جمع می کنیم.

مثال : حاصل تقسیم زیر را به دست آورید.

تقسیم بر عدد دو رقمی

در تقسیم چون بیشتر مواقع عدد مقسوم بزرگ است نمی توانیم عدد را در یک مرحله بر مقسوم علیه تقسیم کنیم به همین دلیل مجبور هستیم مقسوم را مرحله به مرحله از سمت چپ بر مقسوم علیه تقسیم کنیم.

و در انتها نتیجه ی به دست آمده در خارج قسمت را با هم جمع کنیم. در تقسیم بر عددهای دو رقمی چون مقسوم علیه دو رقم دارد، تقسیم را با دو رقم از سمت چپ مقسوم شروع می کنیم.

برای این که تقسیم آسان تر انجام شود هر مرحله را جداگانه در چک نویس با کمک راهبرد حدس و آزمایش و تقریب زدن انجام می دهیم تا خارج قسمت هر مرحله مشخص شود.

بریم با یک مثال روش تقسیم بر عدد های دو رقمی را حرفه ای یاد بگیریم.

مثال :  حاصل تقسیم زیر را به دست آورید.

تقسیم کلاس چهارم

تقسیم یک عمل کاهشی و شکل پیشرفته ی تفریق است. هرگاه از مقداری که داریم ( کل ) به صورت مساوی کم شود مسئله یا عبارت ما مفهوم تقسیم دارد و برای به دست آوردن جواب از عمل تقسیم استفاده می کنیم.

مثال :

می خواهیم 23 شکلات را در بسته های 6  تایی بسته بندی کنیم. چند بسته درست می شود؟ و چند شکلات باقی می ماند؟

حل مسئله با کمک رسم شکل :

همان طور که در شکل دیده می شود با 23 شکلات می توان 3 بسته ی 6 تایی

درست کرد و 5 شکلات باقی می ماند.

اصطلاحات تقسیم کلاس چهارم

هر یک از بخش های تقسیم اصطلاح و مفهوم خاصی دارد که باید این اصطلاحات و مفاهیم را به درستی بشناسیم.

مقسوم ، مقسوم علیه ،  خارج قسمت ، باقی مانده

محاسبه های تقریبی
در این درس شما با مفهوم تقریب ، انواع تقریب زدن و قوانین محاسبات تقریبی آشنا می شوید.

تقریب زدن نوعی محاسبه ی سریع است که در آن نه جواب دقیق بلکه جواب حدودی و نزدیک به جواب واقعی مورد نظر است . ما در زندگی روزمره از محاسبات تقریبی مدام استفاده می کنیم.

فرض کنید شما پنجا هزار تومان پول دارید و وارد مغازه می شوید و می خواهید 3 کالای مختلف بخرید از فروشنده قیمت کالاها را می پرسید او می گوید کالای اول 20850 تومان ، قیمت کلای دوم 10790 تومان  و قیمت کالای سوم 15480 تومان است.

شما برای این که مطمئن شوید پول شما برای خرید کافی است به جای  جمع دقیق قیمت هر سه کالا که زمان بر است، رقم های با ارزش آن ها را در ذهن خود جمع می کنید

مثلا قیمت کالای اول را 20000 قیمت کالای دوم را 10000 و قیمت کالای سوم را 15000 در نظر می گیرید و در ذهن خود جمع می زنید می شود 45000 تومان پس مطمئن می شوید که پول شما برای خرید هر سه کالا کافی است و خرید را انجام می دهید. با این کار شما هر سه عدد را تقریب زده اید زیرا رقم های کم ارزش را حذف کردید تا محاسبه ی رقم های با ارزش سریع تر انجام شود.

در فصل های آینده اندازه گیری زاویه اندازه گیری زمان اندازه گیری طول جمع و تفریق اعشاری ارزش مکانی عددهای اعشاری عدد مخلوط عمود موازی و مطالب متنوع دیگری را خواهید اموخت